2018年全国卷理科123卷数学含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试（1卷）

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。 1．设1i

2i 1i

z -=

++，则||z = A ．0

B ．

1

2

C ．1

D ．2

2．已知集合{}

2

20A x x x =-->，则A =R

A ．{}

12x x -<< B ．{}

12x x -≤≤ C ．}

{}{|1|2x x x x <->

D ．}

{}{|1|2x x x x ≤-≥

3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少

B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12-

B ．10-

C ．10

D ．12

5．设函数32

()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为

A ．2y x =-

B ．y x =-

C ．2y x =

D ．y x =

6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A

．

31

44

AB AC -

B ．

13

44

AB AC - C ．

31

44

AB AC + D ．

13

44

AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为

A ．172

B ．52

C ．3

D ．2

8．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为2

3

的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?= A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ?≤=?

>?，，

，，

()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）

B ．[0，+∞）

C ．[–1，+∞）

D ．[1，+∞）

10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为

直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则

A ．p 1=p 2

B ．p 1=p 3

C ．p 2=p 3

D ．p 1=p 2+p 3

11．已知双曲线C ：2

213

x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分

别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．

3

2

B ．3 C

． D ．4

12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最

大值为 A

B

C

D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤??

-+≥??≤?

，则32z x y =+的最大值为_____________．

14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．

15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________

种．（用数字填写答案）

16．已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17．（12分）

在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；

（2

）若DC =，求BC . 18．（12分）

如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.

19．（12分）

设椭圆2

2:12

x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 20．（12分）

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为)10(<

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为)(p f ,求)(p f 的最大值点0p ． （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为

p 的值．已知每

件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．学.科网

（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ; （ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21．（12分）

已知函数1

()ln f x x a x x

=

-+． （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：

()()

1212

2f x f x a x x -<--．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐

标系，曲线2C 的极坐标方程为2

2cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；

（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程. 23．[选修4–5：不等式选讲]（10分）

已知()|1||1|f x x ax =+--.

（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；

（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.

参考答案：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C

B

A

B

D

A

B

D

C

A

B

A

13.6 14.63- 15.16 16.33

- 17.（12分）

解：（1）在ABD △中，由正弦定理得

sin sin BD AB

A ADB

=

∠∠. 由题设知，

52

sin 45sin ADB

=

?∠，所以2sin 5ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠

=. （2）由题设及（1）知，2

cos sin 5

BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中，由余弦定理得

2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-???∠

225825225

=+-???

25=.

所以5BC =. 18.（12分）

解：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF . 又BF ?平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD . （2）作PH ⊥EF ，垂足为H .由（1）得，PH ⊥平面ABFD .

以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，||BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H ?xyz .

由（1）可得，DE ⊥PE .又DP =2，DE =1，所以PE

又PF =1，EF =2，故PE ⊥PF .

可得32

PH EH =

=.

则33(0,0,0),(1,,0),(1,22H P D DP --

=HP =为平面ABFD 的法向量. 设DP 与平面ABFD 所成角为θ

，则3

4sin ||||||3

HP DP HP

DP θ?===?.

所以DP 与平面ABFD . 19.（12分）

解：（1）由已知得(1,0)F ，l

的方程为x =1.

由已知可得，点A 的坐标为

或(1,. 所以AM

的方程为2y x =-

+2

y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=?.

当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.

当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，

1221(

,),(,)A y x y x B ， 则12x x <

MA MB x x y y

k k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得

121212(23()42)(2)

MA MB x x x x k k x x k

k k -+++=

--.

将(1)y k x =-代入2

212

x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.

所以，21221222422

,2121

x x x k k k x k -+==++.

则3131322244128423()4021

k k k k k

k k k k x x x x --++-++=

=+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠. 20.（12分）

解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为2218

20()C (1)f p p p =-.因此 2182172172020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--.

令()0f p '=，得0.1p =.当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>；当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<. 所以()f p 的最大值点为00.1p =. （2）由（1）知，0.1p =.

（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)Y B ，20225X Y =?+，

即4025X Y =+.

所以(4025)4025490EX E Y EY =+=+=.

（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于400EX >，故应该对余下的产品作检验. 21.（12分）

解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，222

11()1a x ax f x x x x

-+'=--+=-. （i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.

（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x -=或2a x +=.

当24

(0,

()22

a a a x +-∈+∞时，()0f x '<；

当(

22a a x -+∈时，()0f x '>.所以()f x 在(0,),()22

a a ++∞单

调递减，在单调递增. （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.

由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于

121212212121212

22

()()ln ln ln ln 2ln 1

1221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以

1212()()2f x f x a x x -<--等价于222

1

2ln 0x x x -+<.

设函数1

()2ln g x x x x

=

-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.

所以

2221

2ln 0x x x -+<，即1212

()()2f x f x a x x -<--. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为2

2

(1)4x y ++=．

（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．

由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为

2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有

两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．学#科网 当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2

2=，故43k =-或0k =．

经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4

3

k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．

当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2

2=，故0k =或43k =．

经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4

3

k =

时，2l 与2C 没有公共点．

综上，所求1C 的方程为4

||23

y x =-

+． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-??

=-<

故不等式()1f x >的解集为1{|}2

x x >．

（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以2

1a

≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2].

2018年普通高等学校招生全国统一考试（2卷）

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.

A. B. C. D.

2.已知集合A=｛（x，y）｜x 2+y 2≤3，x∈Z，y∈Z｝，则A中元素的个数为

A.9

B.8

C.5

D.4

3.函数f（x）=e 2-e-x/x 2的图像大致为

A.

B.

C.

D.

4.已知向量a，b满足∣a∣=1，a·b=-1,则a·（2a-b）=

A.4

B.3

C.2

D.0

5.双曲线x 2/a 2-y 2/b 2=1（a﹥0，b﹥0）的离心率为，则其渐进线方程为

A.y=±x

B.y=±x

C.y=±

D.y=±

6.在中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=

A.4

B.

C.

D.2

7.为计算s=1-+-+…+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入

A.i=i+1

B.i=i+2

C.i=i+3

D.i=i+4

8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A. B. C. D.

9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为

A. B.

10.若f（x）=cosx-sinx在［-a，a］是减函数，则a的最大值是

A. B. C. D. π

11.已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）。若f（1）=2，则f（1）+ f（2）+ f（3）+…+f（50）=

A.-50

B.0

C.2

D.50

12.已知F1，F2是椭圆C: =1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为

A..

B.

C.

D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为________。

14.若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为_________。

15.已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=________。

16.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB

的面积为,则该圆锥的侧面积为________。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=-7，S1=-15。

（1）求{a n}的通项公式；

（2）求S n，并求S n的最小值。

18.（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型。根据2000

年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t。

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。

19.（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k>0）的直线l与C交于A，B两点，| AB|=8。（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程。

20.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点。

（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值。

21、（12分）已经函数f（x）=e x-ax2。

（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a。

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22、[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为，

（t为参数）。

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率。

23：[选修4-5：不等式选讲]（10分）

设函数f（x）=5-| x+a|-| x-2|。

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；

（2）若f（x）≤1时，求a的取值范围。

参考答案: 一、选择题 1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A 7.B 8.C 9.C 10.A 11.C

12.D

二、填空题

13.2y x =

14.9

15.12

-

16.

三、解答题 17. (12分)

解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.

由17a =-得d =2.

所以{}n a 的通项公式为29n a n =-.

（2）由（1）得22

8(4)16n S n n n =-=--.

所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16.

18.(12分) 解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

?30.413.519226.1y

=-+?=(亿元). 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

?9917.59256.5y

=+?=(亿元). （2）利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年

至2016年的数据建立的线性模型?9917.5y

t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.学.科网

（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.

以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19.(12分)

解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.

设1221(,),(,)A y x y x B ，

由2(1),4y k x y x

=-??=?得2222(24)0k x k x k -++=. 2

16160k ?=+>，故1222

24k x k x ++=.

所以1222

44

||||||(1)(1)x k AB AF BF k

x +=+=+++=. 由题设知22

44

8k k +=，解得1k =-（舍去），1k =. 因此l 的方程为1y x =-.

（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则

0022

0005,

(1)(1)16.2

y x y x x =-+???-++=

+??解得003,2x y =??=?或0011,6.x y =??=-? 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22

(11)(6)144x y -++=.

20.(12分)

解：（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且23OP =. 连结OB .因为2

2

AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，1

22

OB AC =

=. 由222OP OB PB +=知PO OB ⊥.

由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC .

（2）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.

由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23),O B A C P AP -=取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =.

设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-. 设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n . 由0,0AP AM ?=?=n n 得2230

(4)0

y z ax a y ?+=??+-=??，可取3(3,)a a a =--n ，

所以222

23(4)cos ,23(4)3a OB a a a -=

-++n .由已知得3

|cos ,|OB =

n 222

233223(4)3a a a -++.解得4a =-（舍去），43

a =. 所以83434()3=-n .又(0,2,23)PC =-，所以3

cos ,PC =n . 所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为3

4

.

21．（12分）

【解析】（1）当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10x

x -+-≤．

设函数2

()(1)e

1x

g x x -=+-，则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--．

当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥． （2）设函数2()1e x

h x ax -=-．

()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点． （i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；

（ii ）当0a >时，()(2)e

x

h'x ax x -=-．

当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >． 所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．

故24(2)1e

a

h =-

是()h x 在[0,)+∞的最小值．学&科网 ①若(2)0h >，即2

e 4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；

②若(2)0h =，即2

e 4a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；

③若(2)0h <，即2

e 4

a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点，

由（1）知，当0x >时，2e x x >，所以33342241616161

(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a

=-=->-

=->． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．

综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2

e 4

a =．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为22

1416

x y +=．

当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=?+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．

（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①

因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．

又由①得122

4(2cos sin )

13cos t t ααα

++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-??

=-<≤??-+>?

可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．

而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．

2018年普通高等学校招生全国统一考试（3卷）

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，

，，则A B =

A ．{}0

B ．{}1

C ．{}12，

D ．{}012，

， 2．()()1i 2i +-= A ．3i --

B ．3i -+

C ．3i -

D ．3i +

3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

4．若1

sin 3

α=，则cos2α=

A ．89

B ．

7

9

C ．79

-

D ．89

-

5．5

22x x ?

?+ ??

?的展开式中4x 的系数为

A ．10

B ．20

C ．40

D ．80

6．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2

222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26，

B ．[]48，

C ．232????，

D ．2232????

， 7．函数422y x x =-++的图像大致为

8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p = A ．0.7

B ．0.6

C ．0.4

D ．0.3

9．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为222

4

a b c +-，则C =

A ．π2

B ．π3

C ．π4

D ．π6

10．设A B C D ，，

，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为93锥D ABC -体积的最大值为 A ．123

B ．183

C ．243

D ．543

11．设12F F ，是双曲线22

221x y C a b

-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近

线的垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为

A

B ．2

C

D

12．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则

A ．0a b ab +<<

B ．0ab a b <+<

C ．0a b ab +<<

D ．0ab a b <<+

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．

14．曲线()1e x y ax =+在点()01，

处的切线的斜率为2-，则a =________． 15．函数()πcos 36f x x ?

?=+ ??

?在[]0π，的零点个数为________．

16．已知点()11M -，

和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =?∠，则k =________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；

（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 18．（12分）

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人。第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如