(完整版)二元一次方程组知识点整理
第五章 二元一次方程组 知识点整理
知识点1：二元一次方程（组）的定义
1、二元一次方程的概念
含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程 注意：1、(1)方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数. (2)含有未知数的项的次数都是1.
(3)二元一次方程的左右两边都必须是等式. （三个条件完全满足的就是二元一次方程）
2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。 即若ax m
+by n
=c 是二元一次方程，则a ≠0，b ≠0且m=1,n=1
例1：已知（a －2）x －by
|a|－1
＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____．
例2：下列方程为二元一次方程的有_________
①y x =-52，②14=-x ，③2=xy ，④3=+y x ，⑤22
=-y x ，⑥22=-+y x xy ，⑦71
=+y x
⑧y x 23+，⑨1=++c b a 【巩固练习】
下列方程中是二元一次方程的是（ ） A ．3x-y 2
=0 B ．2x +1y =1 C ．3x -5
2
y=6 D ．4xy=3 2、二元一次方程组的概念
由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组
注意：①方程组中有且只有两个未知数。②方程组中含有未知数的项的次数为1。③方程组中每个方程均为整式方程。 例：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A 、2284
23119 (23754624)
x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=??=???
?
?
?+=-==-=???? 【巩固练习】1，已知下列方程组：（1）32x y y =??=-?，（2）324x y y z +=??-=?，（3）1310x y x y ?+=??
??-=??
，（4）30x y x y +=??-=?，
其中属于二元一次方程组的个数为（ ）
A ．1 B. 2 C ． 3 D ． 4 1、 若75331
3=+--m n m y x
是关于x 、y 二元一次方程，则m =_________，n =_________。
知识点2：二元一次方程组的解定义
一般地，使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。 类型题1 根据定义判断 例：方程组??
?=+=-4
22
y x y x 的解是（ ）
A ．??
?==21
y x
B ．??
?==1
3
y x
C ．??
?-==2
y x
D ．??
?==0
2
y x
【巩固练习】1，当1-=m x ，1+=m y 满足方程032=-+-m y x ，则=m _________. 2、下面几个数组中，哪个是方程7x+2y=19的一个解（ ）。 A 、 3
1x y =??
=-? B 、
3
1x y =??=? C 、 3
1x y =-??
=? D 、 3
1
x y =-??
=-? 类型题2 已知方程组的解，而求待定系数。
此类题型只需将解代入到方程中，求出相应系数的值，从而求代数式的值
例1：已知??
?==12y x －是方程组???=++=-2
74123ny x y mx 的解，则m 2－n 2
的值为_________．
例2： 若满足方程组??
?=-+=-6
)12(4
23y k kx y x 的x 、y 的值相等，则k ＝_______．
【巩固练习】 1、若方程组??
?=++=-10
)1(23
2y k kx y x 的解互为相反数，则k 的值为 。
2、若方程组?????=+=+52243y b
ax y x 与?????=-=-5
24
3y x by x a 有相同的解，则a= ，b= 。 ,类型3 列方程组求待定字母系数是常用的解题方法．
例： 若???-==20y x ，??
?
??==311y x 都是关于x 、y 的方程ax ＋by ＝6的解，则a ＋b 的值为
例： 关于x ，y 的二元一次方程ax ＋b ＝y 的两个解是??
?-==11y x ，???==1
2
y x ，则这个二元一次方程是
【巩固练习】 如果???=-=21y x 是方程组?
??=-=+10
cy bx by ax 的解，那么，下列各式中成立的是 （ ）
A 、a ＋4c ＝2
B 、4a ＋c ＝2
C 、a ＋4c ＋2＝0
D 、4a ＋c ＋2＝0
知识点3：二元一次方程组的解法
方法一：代入消元法 【典型例题】 例
27838100
x y x y -=??
--=?
我们通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解，这种解法叫做代入消元法。 用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来. （2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数. （3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解. 【巩固练习】1，方程x 4y 15-+=-用含y 的代数式表示，x 是（ ）
A ．x 4y 15-=-
B ．x 154y =-+
C ．x 4y 15=+
D ．x 4y 15=-+ 2、把方程7x 2y 15-=写成用含x 的代数式表示y 的形式，得（ ）
A ．x=
215152715157 (7)
7
2
2x x y
x x B x C y D y ----=
=
=
3、用代入法解方程组2521
38
x y x y +=-??
+=?较为简便的方法是（ ）
A ．先把①变形
B ．先把②变形
C ．可先把①变形，也可先把②变形
D ．把①、②同时变形 方法二：加减消元法
例：对于方程组:20
240x y x y +=??+=?
分析：这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？?利用这种关系你能发现新的消元方法吗？ 解：②－①得，()()2x y x y 4022+-+=- 即x 18=, 把x 18=代入①得y 4=。 所以 4
y ??
=?x=18
定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程这种方法叫做加减消元法 ，简称加减法。 例1、方程组231
534
m n m n +=??
+=?中，n 的系数的特点是 ，所以我们只要将两式 ，?就可以消去未知数，
化成一个一元一次方程，达到消元的目的．
例2、用加减法解341
236x y x y +=??-=?
时，将方程①两边乘以 ，?把方程②两边乘以 ，可以比较简便地
消去未知数 ． 【方法掌握要诀】
用加减法解二元一次方程组时，两个方程中同一个未知数的系数必须相同或互为相反数，?即它们的绝对值相等．当未知数的系数的符号相同时，用两式相减；当未知数的系数的符号相反时，用两式相加。
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的整数乘方程两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；?
②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程；
④将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 【巩固练习】
1、 用加减法解方程组326
231x y x y +=??
+=?
时，要使方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形，以下四
种变形正确的是（ ）
966
961896186412
(1)(2)(3)(4)462462462693
x y x y x y x y x y x y x y x y +=+=+=+=?????
?
?
?
+=-=+=+=???? A ．（1）（2） B ．（2）（3） C ．（3）（4） D ．（4）（1）
对于方程组2353433x y x y -=??+=?
而言，你能设法让两个方程中x 的系数相等吗？你的方法是 ；若让
2、 两个方程中y 的系数互为相反数，你的方法是 ．
3、 用加减消元法解方程组235
37x y x y -=??
=+?
正确的方法是（ ）
A ．2x 5+=①②得
B ．3x 12+=①②得
C ．3x 75++=①②得
D ．x 3y 7x 2-=-=-先将②变为③，再①③得 以下教科书中没有的几种解法 （可以作为培优学生的拓展）
(一)加减-代入混合使用的方法. 例1, 13x+14y=41 (1)
14x+13y=40 (2)
解:(2)-(1)得 x-y=-1 x=y-1 (3)
把(3)代入(1)得 13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2
把y=2代入(3)得x=1 所以:x=1, y=2
特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.
(二)换元法
例2，(x+5)+(y-4)=8
(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为m+n=8 m-n=4 解得m=6,n=2
所以x+5=6, y-4=2 所以x=1, y=6
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
（三）另类换元
例3，x:y=1:4
5x+6y=29
令x=t, y=4t 方程2可写为：5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4
知识点4：实际问题与二元一次方程组
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：
（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；
（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；
（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.
列方程组解应用题中常用的基本等量关系
1.行程问题：
(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；；；
(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。
(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；
②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；
③顺水速度－逆水速度＝2×水速。
注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.
3．商品销售利润问题：
(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；
标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；
打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）
4．储蓄问题：
①利息＝本金×利率×期数
②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。
④税后利息＝利息×(1－利息税率) 。
5．配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。
6．增长率问题：
解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；原量×(1－减少率)＝减少后的量.
7．和差倍分问题：
解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
8．数字问题：
解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字
9．优化方案问题：
在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。
经典例题透析
类型一：列二元一次方程组解决——行程问题
例：甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
举一反三：【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？
类型二：列二元一次方程组解决——工程问题
例：一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？
(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？
举一反三：【变式3】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.
类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题
例：有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？
举一反三：【变式
（注：获利= 售价—进价）
求该商场购进A、B两种商品各多少件；
类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题
例：小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）
举一反三：李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%）
类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题
例：某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
举一反三：【变式7】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题
例：某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？
【变式10】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。
类型七：列二元一次方程组解决——和差倍分问题
例：“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？举一反三：【变式11】(2011年北京门头沟区中考一模试题) “地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议．号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活．中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动．
类型八：列二元一次方程组解决——数字问题
例：一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？
举一反三：【变式12】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？
类型九：列二元一次方程组解决——浓度问题
例：现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？
举一反三：【变式14】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？
类型十：列二元一次方程组解决——几何问题
例：用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？
举一反三：【变式16】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？
类型十一：列二元一次方程组解决——年龄问题
例：今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？
举一反三：【变式17】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.
类型十二：列二元一次方程组解决——优化方案问题：
例：某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？
举一反三：【变式18】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？