2015年杨浦区一模数学试卷(理)含答案

杨浦区2014学年度第一学期高三年级学业质量调研

数学学科试卷（理科） 2015.1.

考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．

2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接

填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知() , 0,1

sin 2

∈=απα

，则α=________________. 2．设{}

13A x x =≤≤，{}124,B x m x m m R =+≤≤+∈，A B ?，则m 的取值范围是________. 3．已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则通项公式为n a =________________. 4．已知直线l 经过点()()1,2,3,2A B --，则直线l 的方程是___________________. 5. 函数()()012<-=x x x f 的反函数()=-x f

1

．

6. 二项式9

1x x -?? ??

?的展开式（按x 的降幂排列）中的第４项是_________________.

7． 已知条件:12p x +≤；条件:q x a ≤，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．

8．向量()()2,3,1,2a b ==-，若ma b +与2a b -平行，则实数m =_________. 9．一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：

窗口

6排A 座

6排B 座

6排C 座

走廊

6排D 座 6排E 座

窗口

其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座

位之一，则座位的安排方式一共有__________种。

10．在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部溶化后，容器中液面的高度为_______________.（相同质量的冰与水的体积比为10：9）

11．不等式()

2log 431x

x ->+的解集是_______________________.

1,0i s ==

开始

1

i i =+

否 输出s

结束 是

第15题图

2

s s i =+12．设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若30a b c a b

a b c

++=+-，

则角C =_________. 13．已知132

2

i ω=-

+

，集合{

}

2*1,n A z z n N ωωω==+++

+∈，集合

1212{|,}B x x z z z z A ==?∈、（1z 可以等于2z )，

则集合B 的子集个数为__________.

14．如图所示，已知函数 2log 4y x =图像上的两 点 A 、 B 和函数 2log y x =上的点 C ，线段 AC 平行于 y 轴， 三角形 ABC 为正三角形时， 点 B 的坐标为 (),p q , 则

22q p ?的值为________.

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在

答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（ ） A ． 7i < B ．8i <

C ． 7i >

D ．8i > 16．下列命题中正确的是（ ） A ．若x C ∈，则方程3

2x =只有一个根 B ．若12,z C z C ∈∈且120z z ->，则12z z > C ．若z R ∈，则2

z z z ?=不成立

D ．若z C ∈，且2

0z <，那么z 一定是纯虚数

17．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个 圆的方程是（ ）

A ．01222=+--+y x y x

B ．04

1

222=---+y x y x

第14题图

A1

A

C1

C

B1

B

D1D

C ．01222=+-++y x y x

D ． 04

1222=+--+y x y x 18．对数列{}{}

,n n a b ，

若区间[],n n a b 满足下列条件：

①[]11,n n a b ++≠

?[]()

*

,n n a b n N ∈；②()lim 0n n n b a →∞

-=，

则称{}

,n n a b ????为区间套。下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ）

A

12,23n

n

n n a b ==??

??

? ?????； B. 21,31n

n n n

a b n ==+??

???

C ．1

1,13n

n n n a b n -==+?? ???

D ．32,21n n n n a b n n ++=

=++ 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规

定区域内写出必要的步骤 .

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ． 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，异面直线AD 与1BC 所成角的大小为

60?，求：

（1）线段1A 1B 到底面ABCD 的距离； （2）三棱椎11B ABC -的体积。

O

A

B

C

D M

N

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ． 如图，有一块扇形草地OMN ，已知半径为R ，2

MON π

∠=

，现要在其中圈出一块矩形场

地ABCD 作为儿童乐园使用，其中点A 、B 在弧MN 上，且线段AB 平行于线段MN （1）若点A 为弧MN 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积S ； （2）当A 在何处时，矩形ABCD 的面积S 最大？最大值为多少？

21．（本题满分14分）第一小题3分，第二小题5分，第三小题6分．

已知函数()21ax f x bx c

+=+是奇函数，,,a b c 为常数

（1） 求实数c 的值；

（2） 若,a b Z ∈，且()()12,23f f =<，求()f x 的解析式；

（3） 对于（2）中的()f x ，若()2f x m x ≥-

对()0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值

范围.

x

y

O

A

B

F 2

F 1

F 3F 4

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第一小题3分，第二小题7分，第三小题6分 如图，曲线Γ由曲线()2212

2

:

10,0x y C a b y a b +

=>>≤和曲线()2222

2

:

10x y C y a b -

=>组成，

其中点12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点， （1）若()()232,0,6,0F F -，求曲线Γ的方程；

（2）如图，作直线l 平行于曲线2C 的渐近线，交曲线1C 于点A 、B ，求证：弦AB 的中点 M 必在曲线2C 的另一条渐近线上；

（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点C 、D ，求1CDF ?面积的最 大值。

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

数列{}n a 各项均不为0，前n 项和为n S ，3

n n b a =，n b 的前n 项和为n T ，且2n n T S =

（1） 若数列{}n a 共3项，求所有满足要求的数列； （2） 求证：()*n a n n N =∈是满足已知条件的一个数列；

（3） 请构造出一个满足已知条件的无穷数列{}n a ，并使得20152014a =-；若还能构造其他

符合要求的数列，请一并写出（不超过四个）。