2019-2020学年天津市塘沽一中高二(下)第一次月考数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年天津市塘沽一中高二（下）第一次月考数

学试卷

一、选择题（本大题共5小题，共40.0分）

1.，若，则等于

A. B. 1 C. ln2 D. e

2.已知函数的图象在点处切线方程是，则

的值是

A. 2

B. 1

C.

D. 3

3.由0，1，2，3，5这5个数字可以组成三位没有重复数字的奇数个数为

A. 27

B. 36

C. 48

D. 21

4.若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是

A. B. C. D.

5.已知函数，，若对任意，

存在，使，则实数b的取值范围是

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共5小题，共40.0分）

6.当时，函数的最大值是______．

7.从3名男生和3名女生中选出3人分别担任三个不同学科课代表，若这3人中必须

既有男生又有女生，则不同的选法种数共有______用数字作答

8.函数的单调递减区间是______

9.函数在时有极值为10，则的值为______．

10.已知函数，，若关于x的方程在区间内有

两个实数解，则实数k的取值范围是______．

三、解答题（本大题共2小题，共40.0分）

11.已知函数．

Ⅰ当时，求函数的极值；

Ⅱ讨论函数的单调性；

Ⅲ令，若对任意的，，恒有成立，求实数k的最大整数．

12.设a，，已知函数，．

Ⅰ求的单调区间；

Ⅱ已知函数和的图象在公共点处有相同的切线，

求证：在处的导数等于0；

若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：B

解析：解：，

则，

，

，

故选：B．

可求出导函数，从而根据即可得出的值．

本题考查了基本初等函数的求导公式，积的导数的计算公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．

2.答案：A

解析：解：函数的图象在点处的切线方程是，

可得；，

即有，

故选：A．

由已知切线的方程，结合导数的几何意义，可得，，即可得到所求和．

本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确运用切线的方程是解题的关键，属于基础题．

3.答案：A

解析：解：根据题意，要求是三位没有重复数字的奇数，

则个位数字必须为1、3、5中的一个，则个位数字为3种情况，

剩下4个数字中，0不能在百位，则百位数字有3种情况，

在剩下的3个数字中任选1个，安排在十位，有3种情况，

则可以组成三位没有重复数字的奇数有个；

故选：A．

根据题意，依次分析个位、百位、十位数字的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．

4.答案：C

解析：解：，

函数在区间单调递增，

在区间上恒成立．

，

而在区间上单调递减，

．

的取值范围是：．

故选：C．

求出导函数，由于函数在区间单调递增，可得

在区间上恒成立．解出即可．

本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．5.答案：C

解析：解：函数，

，

若，，为增函数；若，或，为减函数；

在上有极值，

在处取极小值也是最小值；

，对称轴，，

当时，在处取最小值；

当时，在处取最小值；

当时，在上是减函数，；

对任意，存在，使，

只要的最小值大于等于的最小值即可，

当时，，解得，故b无解；当时，易知无解当

时，，解得，

综上：，

故选：C．

首先对进行求导，利用导数研究函数的最值问题，根据题意对任意，存在，使，只要的最小值大于等于的最小值即可，对的图象进行讨论根据对称轴研究的最值问题，从而进行求解；

本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间上的最大值与最小

值是通过比较函数在内所有极值与端点函数，比较而得到的，此题还涉及函数的恒成立问题，注意问题最终转化为求函数的最值问题上；

6.答案：e

解析：解：由可得，，

，，

当时，，函数单调单调递减，当时，

，函数单调单调递增，

又，，

故当时，函数取得最大值e．

故答案为：e

先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调区间，进而可求最值．

本题考查了函数的导数的应用，同时考查了函数在闭区间上最值，属于基础题．

7.答案：108

解析：解：根据题意，分2步进行分析：

，从3名男生和3名女生中选出3人，要求这3人中必须既有男生又有女生，

则有种情况，

，将选出的3人全排列，安排担任三个不同学科课代表，有种情况，

则有种选法；

故答案为：108．

根据题意，分2步进行分析：，从3名男生和3名女生中选出3人，要求这3人中必须既有男生又有女生，，将选出的3人全排列，安排担任三个不同学科课代表，由分步计数原理计算可得答案．

本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．

8.答案：，【写成也正确】．

解析：解：函数的定义域为；

函数的导数，令，

由得，解得，所以

即函数的单调递减区间为，

故答案为：，【写成也正确】．

求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系求出即可得到结论．

本题主要考查函数单调区间的求解，根据条件求出函数的导数，解导数不等式是解决本题的关键．

9.答案：

解析：解：对函数求导得，

又在时有极值10，

，

解得或，

验证知，当，时，在无极值，

故的值．

故答案为：

首先对求导，然后由题设在时有极值10可得，解方程得出a，

b的值，最后求它们的即可．

掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力．

10.答案：

解析：解：关于x的方程在区间内有两个实数解，等价于函数

与函数在区间内有两个交点，

，，

，

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，

，且当时，；当时，，

函数的大致图象，如图所示：

，

当时，函数与函数在区间内至多有一个交点，不满足

题意，

当时，

当经过点时，，此时函数与函数在区间

内有两个交点，满足题意，

当函数与函数在区间内相切时，设切点坐标为，，解得，，此时函数与函数在

区间内有一个交点，

结合图形可知满足要求的k只能介于这两种临界情况之间，

，

实数k的取值范围为，

故答案为：

先求出导数得到函数的单调性和最值，画出的大致图象，关于x的方程在区间内有两个实数解，等价于函数与函数在区间内有两个交点，利用数形结合法分析直线的斜率的范围，使得满足题意

即可．

本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数与方程的关系，是中档题．11.答案：解：Ⅰ当时，，，

当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

则有极小值为为1，无极大值；

Ⅱ函数的定义域为，．

当时，，在上单调递增；

当时，若，，单调递减，

若，，单调递增．

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增；

Ⅲ由Ⅰ知，，

恒成立，则只需恒成立，

则，

令，则只需．

，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

，

即，．

即k的最大整数为7．

解析：Ⅰ把代入函数解析式，求其导函数，得到导函数的零点，分析单调性，然后求极值；

Ⅱ，对a分类分析可得原函数的单调性；

Ⅲ由Ⅰ知，，则恒成立只需

恒成立，即恒成立，令，利用导数求其最小值，再由最

小值大于等于求解实数k的最大整数．

本题考查导数知识的运用，训练了利用导数研究函数的单调性与最值的求法，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．

12.答案：Ⅰ解：由，可得

，

令，解得，或由，得．

x

x

的单调递增区间为，，单调递减区间为；

Ⅱ证明：，由题意知，

，解得．

在处的导数等于0；

解：，，由，可得．

又，，

故为的极大值点，由知．

另一方面，由于，故，

由Ⅰ知在内单调递增，在内单调递减，

故当时，在上恒成立，从而在

上恒成立．

由，得，．

令，，

，

令，解得舍去，或．

，，，故的值域为．

的取值范围是．

解析：Ⅰ求出函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得的单调区间；

Ⅱ求出的导函数，由题意知，求解可得得到

在处的导数等于0；

由知且在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在

上恒成立．由，得，

构造函数，，利用导数求其值域可得b的范围．

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．