离散数学考试题

离散数学测试题

一．选择题（10*2）

1.设L (x )：x 是演员，J (y )：y 是老师，A (x ,y )：x 佩服y. 那么命题“所有演员都佩服某些老

师”符号化为( )

(A) ),()(y x A x xL →? (B) ))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→? (C) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? (D) )),()()((y x A y J x L y x →∧??

2.令F(x):x 是有理数，G(x):x 是实数。将命题“所有的有理数都是实数，但有的有实数不是有理数”符号化为 （ ）

A.?x(F(x)∧G(x))∧?x(G(x)→?F(x))

B.?x(F(x)→G(x))∧?x(G(x)∧?F(x))

C.?x(F(x)∧G(x))∧?x(G(x)∧?F(x))

D.?x(F(x)→G(x))∧?x(G(x)→?F(x))

3．设R 是集合A={a,b,c,d}上的二元关系，

R={,,,,,,}，则R 具有关系的哪些性质（ ）

A.自反性、反对称性

B.反自反性、传递性

C.自反性、对称性

D.反对称性、传递性

4．设A ＝{1，2}，B ＝{a,b,c}，C ＝{c,d}，则A ×（B ∩C ）为（ ）

A ．{},1,2,c c <><>

B ．{}1,,2,c c <><>

C ．{},1,,2c c <><>

D ．{}1,,,2c c <><>

5．设A={a,b,c,d}，A 上的等价关系R={,,,}∪I A ，则对

应于R 的A 的划分是（ ）

A ．{{a},{b,c},{d}}

B ．{{a,b},{c},{d}}

C ．{{a},{b},{c},{d}}

D ．{{a,b},{c,d}}

6．设A ＝{a,b}，则A 的幂集P （A ）为（ ）

A ．{a,b}

B ．{Φ,{a},{b}}

C ．{Φ,{a,}}

D ．{Φ,{a},{b},{a,b}}

7、设A , B , C 都是集合，如果A ?C ＝B ?C ，则有( )

(A) A ＝B (B) A ≠B (C) 当A －C ＝B －C 时,有A =B (D) 当C =U 时, 有A ≠B

8．集合A ＝{1,2,3，4，5，6，7，8，9，10}，A 上的整除关系是一个偏序关系，

则元素10是集合A 的（ ）．

A ．最大元；

B ．最小元；

C ．极大元；

D ．极小元

9．设R 为实数集，映射f ：R →R ，f （x ）＝-x 2+2x-1，则f 是（ ）

A ．单射而非满射

B ．满射而非单射

C ．双射

D ．既不是单射，也不

是满射

10.集合A={},,,a b c d ，A 上的一个划分{}{}{}{}1,,,a b c d π=，则对应的等价关系1R π=（ ）。

A ．{,,,}A a b b a I <><>?

B ．{,,,,,,,}a b b a c c d d <><><><>

C ．{,,,,,,,}a a b b c c d d <><><><>

D ．{,,,}a b b a <><>

二．填空题（10*1 每个空一分）

1..设置F(x)：x 为整数，G(x)：x 是自然数，则命题“并不是每一个整数都是自

然数”符号化为____________________。

2.集合的表示方法有两种： 法和 法。

3.设f ＝{<1，2>，<2，2>，<3，4>}，g ＝{<2，5>，<3，1>，<4，2>}，则f g ＝

____________________。

4.Z 是整数集合，R 是Z 上的整除关系，则R 具有的性质是________________

5．设集合A ＝{a,b,c,d}，A 上的二元关系R ＝{,,}，则二元关

系2R ＝_________________

6．全集E ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，5}，B ＝{1，2，3，4}，C ＝{2，5}，则A

? ~ B ＝____，P （A ）? P （C ）＝____________。

7.设R 是集合A 上的二元关系，如果关系R 同时具有________、对称性和

________，则称R 是等价关系。

三．简答题

1.试将一阶逻辑公式()()()()()x R y yQ y x yP x ∨??∨??,化成前束范式。

2. 设R 和S 是集合}4,3,2,1{=A 上的关系，其中}

4,4,4,2,3,2,2,1{}

4,3,3,2,3,1,1,1{><><><><=><><><><=S R ，试求：（1）写出R 和S 的关系矩阵；（2）计算

111,,,---?R S R S R S R 。

3、设集合A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}，R是A上的整除关系，

1. 画出偏序集(A, R)的哈斯图；

2. 写出A的子集{2, 4, 6, 8}的上界，下界，最小上界，最大下界；

3. 写出集合A的最大元，最小元，极大元，极小元。

4. R＝｛｜x≡y（mod３），x，y∈Z｝是整数集合Z上模3的同余关系(Congruence Relation) ，可以证明R是等价关系，求各元素等价类及商集。

5.化简集合表达式：((A?B?C)?(A?C))－((C?(C－B)－A)

6.

设V1= ：是正实数R+上的乘法×；

V2= ：是实数R上的加法+。

令f: R+ R f(x)=lgx ，

证明f是V1 到V2 的同构映射。

7.设S=R-{-1}，S上定义运算*：

a*b=a+b+ab，试证明是群。

答案：

一：

BBDBD DCCDA

二：

1.?x(F(x) ∧﹁G(x))

2.列举；描述；

3.{<3,2>,<4,2>}

4.___自反性、反对称性和传递性__。 5_{,}_

6 {5} {?,{5}}

7.自反性，传递性 三．

1.解：

()()()()()

()()()()()

()()()()

()()()()x R z Q y x P z y x x R z Q z y x yP x x R y Q y y x yP x x R y yQ y x yP x G ∨?∨???=∨??∨??=∨??∨??=∨??∨??=,,,,

2.

解：（1）

?????

???????=????????????=1000000011000010,0000100001000101S R M M （2）S R ?={<1，3>，<2 ，4>}

S R ?={<1，1>，<1，2>，<1，3>，<2，3>，<2，4>，<3，4>，<4，4>} 1-R ={<1，1>，<3，1>，<3，2>，<4，3>}

11--?R S ={<3，1>，<4，2>}

3 . 集合A ＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}(1) 半序集(A, R)的哈斯图

(2) 子集{2, 4, 6, 8}无上界，下界是1,2，无最小上界，最大下界是2.

(3) A 无最大元，最小元是1，极大元是8, 12，极小元是1。

4.

解：各元素等价类如下(其中k ∈Z)：

［0］＝｛…，-6，-3，0，3，6，…｝={x|x=3k}

［1］＝｛…，-5，-2，1，4，7，…｝= {x|x=3k+1}

［2］＝｛…，-4，-1，2，5，8，…｝= {x|x=3k+2}

商集：Z ／R ＝｛［0］，［1］，［2］｝

＝｛ {x|x=3k} ， {x|x=3k+1} ， {x|x=3k+2} ｝ 5.

((A ?B ?C )?(A ?C ))－((C ?(C －B )?～A )

＝(A ?C )－（C ?～A ）(两次用吸收律)

=((A ?C )?(～C ?A )

=(A ?～C )?(C ?～C)?A ?(A ?C )

=(A ?～C )???A =A

6.

证明：

(1)同态关系式

x ,y ∈ R+ ， f(x ×y)=lg(x ×y)=lgx+lgy=f(x)+f(y)

(2)f 的性质

单射性： x ,y ∈ R+ ，若x ≠ y ，则lgx ≠ lgy ；

满射性： y ∈ R ， x=10y ∈ R+ ，使得 f(x)=lg(10y)=y ； 综上知，f 是R+ R 上的双射函数，即V1 ≌ V2

7.

证明：

1)运算*在S 上封闭：

任意a ，b ∈S ，有a*b=a+b+ab ∈R ，且a ≠ -1，b ≠ -1。

若a*b= -1即a+b+ab= -1，则a= -1或b= -1，与题设矛盾，故a*b ≠ -1. 所以a*b ∈S ，即运算*在S 上封闭。

2) 运算*满足结合律：

任意a ，b ，c ∈S ，有

(a*b)*c=(a+b+ab)*c=a+b+ab+c+(a+b+ab)c

=a+b+c+ab+ac+bc+abc,且

a*(b*c)=a*(b+c+bc)=a+b+c+bc+a(b+c+bc)

=a+b+c+ab+ac+bc+abc, 1 2

4

8 3 6 12

所以，(a*b)*c=a*(b*c)，即*满足结合律。

3) 存在幺元：

若幺元e存在，则对任意a∈S，满足

a*e=a a+e+ae=a

e*a=a 即e+a+ea=a

得 e = 0 ,即幺元存在且为0。

4) 每个元素存在逆元：

对于任意a∈S,设a-1存在且a-1 ∈S ，则

a*a^-1=0 a+a^-1+a*a^-1=0 a^-1*a=0 即a^-1+a+a^-1*a=0

得a-1 =(-a)/(1+a) ∈S。

综上知是群。