市级公开课《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学设计新部编版

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]

任教学科：_____________

任教年级：_____________

任教老师：_____________

xx市实验学校

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时）

一．教学内容解析

（一）教材的地位和作用

“分类加法计数原理和分步乘法计数原理”（以下简称“两个计数原理”）是人教A版高中数学课标教材选修2-3“第一章计数原理”第1.1节的内容，教学需要安排4个课时，本节课为第1课时．

两个计数原理是人类在大量的实践经验的基础上归纳出的基本规律，是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法也贯穿在解决本章应用问题的始终，在本章中是奠基性的知识．由于排列、组合及二项式定理的研究都是作为两个计数原理的典型应用而设置的，因此，理解和掌握两个计数原理，是学好本章内容的关键。

从认知基础的角度看，两个计数原理实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的拓展应用，是体现加法与乘法运算相互转化的典型例证．

从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂的计数问题分解为若干“类别”，再分类解决；运用分步乘法计数原理解决问题则是将一个复杂的计数问题分解为若干“步骤”，先对每个步骤分类处理，再分步完成．综合运用两个计数原理就是将综合问题分解为多个单一问题，再对每个单一问题各个击破．也就是说，两个计数原理的灵魂是化归与转化的思想、分类与整合的思想和特殊与一般的思想的具体化身．

从数学本质的角度看，以退为进，以简驭繁，化难为易，化繁为简，是理解和掌握两个计数原理的关键，运用两个计数原理是知识转化为能力的催化剂．

（二）教学目标

1.知识与技能：

（1）正确理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理；

（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；。

2.过程与方法：

经历由实际问题推导出两个原理，再回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于

生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程．

3.情感、态度与价值观：

培养主动探究的学习态度和协作学习的能力，进一步提高学习数学、研究数学的兴趣．（三）教学重点与难点

重点：理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题.

难点：正确地理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”.

二．学生学情分析

1.认知基础：计数问题学生并不陌生，在不同的学段都有相应的接触，特别是在高中数学《必修2》中学习“古典概型”时，学生又学会了用树状图、列举法解决最简单的计数问题；同时在学习和生活中，学生已经不自觉地会使用“分类”和“分步”的方法来思考和解决问题．

2.能力基础：高二学生有较强的观察能力和一定的数学抽象概括能力。

3.可能障碍：一是应用原理的意识淡薄，二是不能根据问题的特征，正确地选择原理解决问题。

两个计数原理虽简单朴素，易学好懂，但如何让学生借助已有的数学活动经验，抽象概括出两个计数原理，并领悟其中重要的数学思想方法，实现认知的飞跃，则是本课必须要突破的难点所在．为此，抓住以下两个要点尤为重要：

一是要通过典型丰富的实例来帮助学生完成归纳提炼的过程，加强学生应用两个计数原理解决问题的意识——这是有效提升学生抽象概括能力的契机；

二是要在解决问题的过程中，始终突出两个计数原理的核心要素，即弄清“完成一件事”的含义和区分“分步”与“分类”的特征——这是如何选择两个计数原理的关键．三．教学策略分析

（一）教法分析

对于两个计数原理，不仅仅在于规律本身，更在于学生从已有的方法中发现原理、归纳原理，进一步深刻认识原理，在发现的过程中学会学习，学会探究，提升思维的品质．拟定采取以退为进的教学策略，采用“情景引入—问题诱导—实例探究—抽象概括—原理应用—归纳总结—拓展铺垫”的探究发现式教学方法，紧紧围绕如何抽象、怎样概括、如何归纳和怎么应用等问题展开，通过典型丰富的实例引导学生归纳出两个计数原理，并能学会初步应用，加深对原理的区分和思想方法的理解．

（二）学法指导

学生已具备一定的计数能力（树状图、列举法等），能解决一些基本的计数问题，包括本节课所涉及的一些实际问题，只是还没有上升到理论的高度。但是要由实际问题转变为数学知识，必须借助于老师的引导和帮助。而当归纳总结得出分类加法计数原理之后，运用类比的方式得出分步乘法计数原理对学生来说就并不困难了。同时，对于两个原理的应用，关键是能否根据具体问题的特征选择相应的原理，要指导学生感悟两个计数原理的区别与联系及其应用的前提条件、应用的注意点。

具体教学策略分成如下五个环节：

第一环节：创设情境，提出问题．从“神十的身份证号码”出发，引出“人造天体的编号问题”，通过问题设疑，引导学生在不断思考中获取两个计数原理的发现过程；

第二环节：实例探究，归纳原理．从以退为进的实例出发，通过先“两类”后“多类”，先“分类”后“分步”，先“加法”后“乘法”的逐步过渡，引导学生在加法与乘法相互转化的过程中提炼归纳两个计数原理；

第三环节：演练反馈，巩固提升．从选择两个原理解决计数问题的关键出发，通过“各取”“任取”等关键词的辨别，引导学生真正弄清“完成一件事”的具体含义，领会准确区分“分步”和“分类”的操作要领；

第四环节：归纳小结，认知升华．从放手让学生自主小结出发，通过提纲挈领的表格式

小结，引导学生进一步加深对两个计数原理本质的认识；

第五环节：课后检测，拓展铺垫．从引发学生进一步思考出发，通过设置有关涂色的思考题，为后继学习排列组合做好铺垫，激发学生进一步学习的欲望．

四．教学基本流程

五．教学手段

采用多媒体辅助教学，营造愉悦的学习情境。

六．教学过程：

(一)创设情境，提出问题

中国梦，航天梦．近年来，我国科技发展突飞猛进，“神十”的发射更是让世人瞩目，下面我们就一起来回顾这令人激动的时刻．

（视频：“神十”升天，飞入太空．）

“神十”升天，国人欢呼，世界瞩目．你知道他的“身份证号码”吗？它的国际编号为2013-029A.

人造天体的编号规则：

①发射年份+四位编码；

②四位编码前三位为阿拉伯数字，第四位为英文大写字母；

③前三位数字不能同时为0；

④英文字母不得选用I，O（I易与1混淆，O易与0混淆）．

按照这样的编号规则，2013年的人造天体所有可能的编码有多少种？

欣赏完激动人心的视频，我们来看看这个问题的设问方式，“按照这样的编号规则，2013年的人造天体所有可能的编码有多少种？”这就是一个典型的计数问题．所谓计数就是数数．其实类似的问题有很多：幼儿园时我们数有多少只鸭子？我们班有多少同学？甚至我们穿校服上衣和裤子有多少种不同的搭配种数等等，我们将这种方法数的计算问题都称之为计数问题．

计数问题：即计算完成一件事的方法数的问题．

小时候，我们是怎么数的呀？

当这个数很大时，列举的方法很难实施．比如，刚才这个问题“一个一个的去数”可以吗？比较复杂．看来我们有必要探究更有效的计数方法．

今天我们先来学习计数问题中两种最基本、最重要的方法。

（板书课题：1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理）

（二）实例探究，归纳原理

这个问题研究四位编码比较复杂，怎么办？我们不妨先退回来研究一位、两位的情形，从中探索出规律，从而解决四位的情形．

（1）师生共同探究，得出分类加法计数原理

问题1：如果用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给卫星编号，那么总共能够编出多少种不同的号码？

问题2：从甲地到乙地，可以乘动车，也可以乘汽车．一天中，动车有5班，汽车有6班．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

那这两个计数问题有什么共同特点呢？

列成表格，将共性总结成一个命题，即如果完成一件事有两类不同方案，在第一类方案中有种不同的方法，在第二类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N m n

=+种不同的方法．根据特点给它起个名字，就叫分类加法计数原理．

原理是在大量观察的基础上经过归纳、概括而得出的基本规律．同学们还要特别注意：这里的关键词是：完成一件事，分类，加法，每类中的任一种方法都能独立完成这件事．同学们试一试，能用自己得到的原理解决具体的问题吗？

例1 在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

A大学B大学

生物学数学

化学会计学

医学信息技术学

物理学法学

工程学

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？（5+4=9种）

如果还有C大学呢？

变式：在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B，C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

A大学B大学C大学

生物学数学新闻学

化学会计学金融学

医学信息技术学人力资源学

物理学 法 学

工程学

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？（5+4+3=12种）．

看来加法原理不仅对完成一件事有两类不同方案适用，也对分三类方案适用，对分n 类同样适用．

一般地，如果完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2

类中有2m 种不同的方法…，在第n 类中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有种

12n N m m m =+++L 不同方法．

下面，我们看大家能否用这个原理解决更复杂的问题！

（2）类比转化探究，得出分步乘法计数原理

问题3：如果用前六个大写英文字母中的一个和1～9九个阿拉伯数字中的一个，组成编码形如A 1，B 2的方式给卫星编号，那么总共能编出多少个不同的号码?

问题4：从甲地到丙地，要从甲地先乘动车到乙地，再于次日从乙地乘汽车到丙地．一天中，动车有3班，汽车有2班，那么乘坐这些交通工具，从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

类比加法计数原理，归纳问题3和问题4的共同特点，我们可以得到什么结论？

如果完成一件事需要两个步骤，做第一步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N m n =?种不同的方法．

师：我们称它分步乘法计数原理．同学们还要特别注意：这里的关键词是完成一件事，分步，乘法，每步中的任一种方法都不能独立的完成这件事，只有各个步骤都完成才算做完这件事情．

例2 我班有男生28名，女生21名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加公益活动，共有多少种不同的选法？

变式：我班有男生28名，女生21名，任课老师10名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加公益活动，还要从中选派1名老师作领队，组成代表队，共有多少种不同选法？

由此又可以得到什么结论呢？

一般地，如果完成一件事要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有种12n N m m m =???L 不同方法．

我们已经归纳了两个计数原理，他们的共性是：为了计数．区别是：因为问题特征不同，有时需要分类，有时需要分步．希望以后用原理解决问题时，要清楚的用原理表达完成一件什么事，怎么完成，是分步还是分类呢？下面我们来做几个练习．

（三）演练反馈，巩固提升

练1书架的第1层放有4本不同的数学书，第2层放有3本不同的语文书，第3层放有2本不同的化学书．

（1）从书架的第1，2，3层各取一本书，有多少种不同取法？

（2）从书架中任取1本书，有多少种不同的取法？

变式：从书架中取2本不同学科的书，有多少种不同的取法？

还记得人造天体编号的问题吗？请同学们试一试，我们现在能解决了吗？

练2 【引例回放】“神十”的国际编号为2013-029A．人造天体的编号规则：

①发射年份+四位编码；

②四位编码前三位为阿拉伯数字，第四位为英文大写字母；

③前三位数字不能同时为0；

④英文字母不得选用I，O（I易与1混淆，O易与0混淆）．

这样的编号规则，2013年的人造天体所有可能的编码有多少种？

练3 【简单的综合应用】某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游人从上山到下山共有多少种不同的走法？

练4【应用访谈】你能举出生活中或其它学科中的运用两个原理的计数问题吗？

（汽车牌照、身份证后4位，从综合楼1楼到4楼……）

数学来自生活，又应用于生活，数学是有用的！生活丰富多彩，世界奥秘无穷，在知识的天空里，让我们借助数学的力量，像“神十”一样展翅飞翔吧！

（四）归纳小结，认知升华

我们今天探讨了一个问题就是如何计数？得出了计数方法的两个原理．这两个计数原理是怎么来的？是我们从实际生活中归纳出来的．那么应用这两个计数原理的关键是什么？就是关注它们的应用场合：有的要分类，有的要分步，有的既要分类又要分步．这两个计数原理的不同点是：分类加法原理中每类中的任一种方法都能独立的完成这件事；分步乘法计数原理中，每步中的任一种方法都不能独立的完成这件事，只有各个步骤都完成才算做完这件事情．它们的异同点如下表：

立完成这件事情步中的每一种方法不能独立完成这件

事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，缺一不可

（五）课后检测，拓展铺垫

（1）阅读作业：阅读教材第6页至第10页；

（2）书面作业：教材第6页练习1，2，3；教材第10页练习1

（3）（思考题）

如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?

如果颜色是2种、4种、5种，结果又如何呢？

附：板书设计

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

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列举法

计数问题分类加法计数原理

两个计数原理

分步乘法计数原理