一元二次方程、二次函数知识点总结
一元二次方程重要知识点
1. 一元二次方程的定义及一般形式:)0(2≠++=a c bx ax y
(1) 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数式2(二次)
的方程,叫做一元二次方程。
(2) 一元二次方程的一般形式: 20(0)ax bx c a ++=≠。其中a 为二次项系数,b 为
一次项系数,c 为常数项。
注意:三个要点,①只含有一个未知数;②所含未知数的最高次数是2;③是整式方程。
2. 一元二次方程的解法
(1)配方法:将方程整理成(x+p)2
=q ,方程的根是x=-p ±q
注:x 2系数是1和不是1时配方注意事项;x 2系数是负数时配方注意事项。 (2)公式法:242b b ac x a -±-=(240b ac -≥)
(3)因式分解:十字相乘法:0)(2=+++pq x q p x 0))((=++?q x p x 3.一元二次方程根的判别(2
4b ac ?=-) (1)△>0,方程有两个不相等的实数根 (2)△=0,方程有一个实数根或者两个相等的实数根
(3)△<0,方程没有实数根,方程无解
4.韦达定理(根与系数关系)
一元二次方程ax 2+bx+c =0,设它的两个根是1x 和2x ,则1x 和2x 与方程的系数a ,b ,c 之间有如下关系:
1x +2x =b a -; 1x .2x =c a
5.一元二次方程的应用
①“审”,弄清楚已知量,未知量以及他们之间的等量关系;
②“设”指设元,即设未知数,可分为直接设元和间接设元;
③“列”指列方程,找出题目中的等量关系,再根据这个关系列出含有未知数的等式 ④“解”就是求出说列方程的解;
⑤“答”就是书写答案,检验得出的方程解,舍去不符合实际意义的方程
二次函数重要知识点
1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,
,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 注意 :和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,
可以为零. 2. 平移规律:
(1)将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,;
(2)左加右减(h ):x 值的变化,上加下减(k):y 值的变化
3.二次函数2y ax bx c =++图象的画法
绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向(a)、对称轴(h)及顶点坐标(k),然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,.
4.二次函数2y ax bx c =++的性质
(1)当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???,. 当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a
=-时,y 有最小值2
44ac b a
-. (2) 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a
=-时,y 有最大值2
44ac b a
-. 5.二次函数解析式求法
(1)一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);需要三个坐标点
(2) 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);顶点坐标和其他任一坐标 6.二次函数的图象与各项系数之间的关系
(1)a :抛物线开口的方向(a 的正负)与大小(|a|)
(2)b:在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴(2b x a
=-
)的位置(正负).对称轴在y 轴右侧,a 、b 符号相反;对称轴在y 轴左侧,a,b 符号相同。
(3)c:抛物线与y 轴交点的纵坐标
7、二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况) 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况 ① 当240b ac ?=->时,图象与x 轴交于两点
② 当0?=时,图象与x 轴只有一个交点;
③ 当0?<时,图象与x 轴没有交点.
8、二次函数与应用题(与二次函数性质联系)
(1)求最值问题(利润、面积等问题)
(2)实际问题建坐标系(车过隧道、桥下水位等问题)
人教版小学数学知识点总结(完整版)
人教版小学数学知识点归纳 第一章数和数的运算 一概念 (一)整数 1、整数的意义自然数和0都是整数。 2 、自然数 我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数。 一个物体也没有,用0表示。0也是自然数。 3、计数单位 一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4 、数位 计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。 5、数的整除 整数a除以整数b(b ≠ 0),除得的商是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或者说b能整除a 。例如15÷3=5,所以15能被3整除,3能整除15。 如果数a能被数b(b ≠ 0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数。倍数和约数是相互依存的。 一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。 个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除,例如:202、480、304,都能被2整除。。个位上是0或5的数,都能被5整除,例如:5、30、405都能被5整除。。 一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除,例如:12、108、204都能被3整除。 能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数。0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数,100以内的质数有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53 、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数,例如 4、6、8、9、12都是合数。 1不是质数也不是合数,自然数除了1外,不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类,可分为质数、合数和1。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数,例如15=3×5,3和5 叫做15的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。例如把28分解质因数 28=2×2×7 几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数,例如12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有1、2、3、6、9、18。其中,1、2、3、6是12和1 8的公因数,6是它们的最大公因数。 公约数只有1的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况: 1和任何自然数互质。相邻的两个自然数互质。两个不同的质数互质。 当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。
初三.二次函数知识点总结
二次函数知识点总结 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项 系数0a ≠,而b c , 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结:
2. 2 =+的性质: y ax c 结论:上加下减。 总结:
3. ()2 =-的性质: y a x h 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 =-+的性质: y a x h k
总结: 1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法 如下:
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结: 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧, 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c , 关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.
最新一元二次方程知识点总结
一元二次方程 1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次 方程。 2、一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边十一个关 于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,其中2 ax 叫做二 次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系 数;c 叫做常数项。 3.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平 方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平 方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 (2)配方法:配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看 做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项 的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式 (3)公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方 法。一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式:)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤:就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为a ,一次项的 系数为b ,常数项的系数为c (4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单 易行,是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤:把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法(这里指的 是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以,就可以化为乘积的形 式 4.一元二次方程根的判别式:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元 二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式,通常用“?” 来表示,即ac b 42 -=? I 当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根;
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.
中考数学复习专题二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0.
总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
实际问题与一元二次方程题型归纳总结材料
实际问题与一元二次方程题型归纳总结 一、列一元二次方程解应用题的一般步骤: 与列一元一次方程解应用题的步骤类似,列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为:“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。 (1)审:审清题意,弄清已知量与未知量; (2)找:找出等量关系; (3)设:设未知数,有直接和间接两种设法,因题而异; (4)列:列出一元二次方程; (5)解:求出所列方程的解; (6)验:检验方程的解是否正确,是否符合题意; (7)答:作答。 二、典型题型 1、数字问题 例1、有两个连续整数,它们的平方和为25,求这两个数。 例2、有一个两位数,它的个位上的数字与十位上的数字的和是6,如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置,所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008,求调换位置后得到的两位数。 练习:1、两个连续的整数的积是156,求这两个数。 2、一个两位数等于它个位上数字的平方,个位上的数字比十位上的数字大3,则这个两位数为()A. 25 B. 36 C. 25或36 D. -25或-36
2、传播问题:公式:(a+x)n =M 其中a 为传染源(一般a=1),n 为传染轮数,M 为最后得病总人数 例3、有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 练习:有一个人患了流感,经过两轮传染后共有196人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感? 3、相互问题(循环、握手、互赠礼品等)问题 循环问题:又可分为单循环问题21n(n-1),双循环问题n(n-1)和复杂循环问题2 12n(n-3) 例4、(1)参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45场比赛,共有多少个队参加比赛? (2)参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90场比赛,共有多少个队参加比赛? 例5、一次会上,每两个参加会议的人都相互握手一次,一共握手66,请问参加会议的人
二次函数基础典型经典题型(全面超好)
二次函数精讲基础题型 一认识二次函数 1、y=mx m2+3m+2 是二次函数,则m 的值为( ) A 、0,-3 B 、0,3 C 、0 D 、-3 2、关于二次函数y=ax 2 +b ,命题正确的是( ) A 、若a>0,则y 随x 增大而增大 B 、x>0时y 随x 增大而增大。 C 、若x>0时,y 随x 增大而增大 D 、若a>0则y 有最大值。 二简单作图 1在一个坐标系内做出2 x y =,12 +=x y ,12 -=x y ,2 )1(-=x y ,2 )1(+=x y 你发现了什么结论 2同样的在同一个坐标系内做出2 x y -=,2 2x y -=,12 --=x y , 12+-=x y 2)1(--=x y ,2)1(+-=x y 的图像,你又发现了什么结论,并且与上一题的 图像比较的话,你又有什么样新的发现 3 已知抛物线y x x =-+1235 2 2,五点法作图。 2、已知y=ax 2 +bx+c 中a<0,b>0,c<0 ,△<0,画出函数的大致图象。 三,二次函数的三种表达形式,求解析式 1求二次函数解析式: (1)抛物线过(0,2),(1,1),(3,5); (2)顶点M (-1,2),且过N (2,1); (3)与x 轴交于A (-1,0),B (2,0),并经过点M (1,2)。
2 抛物线过(-1,-1)点,它的对称轴是直线x +=20,且在x 轴上截取长度为22的线段,求解析式。 3、根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 (1)当x=3时,y 最小值=-1,且图象过(0,7) (2)图象过点(0,-2)(1,2)且对称轴为直线x=2 3 (3)图象经过(0,1)(1,0)(3,0) (4)当x=1时,y=0;x=0时,y= -2,x=2 时,y=3 (5)抛物线顶点坐标为(-1,-2)且通过点(1,10) 三 图像与a,b,c 的符号之间的关系 1、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象是抛物线,其开口方向由_________来确定。 2、 已知y=ax 2 +bx+c 的图象如下,则:a _____0,b _____0,c _____0,a+b+c_______0, a-b+c__________0。2a+b________0, ac b 42 -_________0 3.已知函数c bx ax y ++=2 的图象如图 1-2-11所示,给出下列关于系数a 、b 、 c 的不等式:①a <0,②b<0,③c>0,④2a +b <0,⑤a +b +c >0.其中正确的不等式的序号为___________- 4.已知抛物线c bx ax y ++=2 与 x 轴交点的横坐标为-1,则a +c=_________.
小学数学超详细知识归纳总结(打印版)
小学数学超详细知识归纳总结(打印版) 基本概念 第一章数和数的运算 一、概念 (一)整数 1、整数的意义 自然数和0都是整数。 2、自然数 我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数。 一个物体也没有,用0表示。0也是自然数。 3、计数单位 一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。其中“一”是计数的基本单位。 10个1是10,10个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。
4、数位 计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。 5、整数的读法:从高位到低位,一级一级地读。读亿级、万级时,先按照个级的读法去读,再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来,其它数位连续有几个0都只读一个零。 6、整数的写法:从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0。 7、一个较大的多位数,为了读写方便,常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数。 ⑴准确数:在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。例如把1254300000 改写成以万做单位的数是125430 万;改写成以亿做单位的数12.543 亿。 ⑵近似数:根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个近似数来表示。例如:1302490015 省略亿后面的尾数是13 亿。⑶四舍五入法:求近似数,看尾数最高位上的数是几,比5小就舍去,是5或大于5舍去尾数向前一位进1。这种求近似数的方法就叫做四舍五入法。