最全函数概念及基本性质知识点总结及经典例题(汇编)
函数及基本性质
一、函数的概念
(1)设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到
B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.
(2)函数的三要素:定义域、值域和对应法则.
注意1:只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )
⑴3)
5)(3(1+-+=x x x y ,52-=x y ;
⑵111-+=
x x y ,)1)(1(2-+=x x y ;
⑶x x f =)(,2)(x x g =;
⑷()f x ()F x =
⑸21)52()(-=x x f ,52)(2-=x x f 。 A .⑴、⑵ B .⑵、⑶ C .⑷ D .⑶、⑸ 2:求函数的定义域时,一般遵循以下原则:
①()f x 是整式时,定义域是全体实数.如:943)(2-+=x x x f ,R x ∈ ②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.如:()6
35
-=
x x f ,2≠x ③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.如()1432+-=x x x f ,
13
1
>
于零且不等于1。如:(
)
2
12
()log 25f x x x =-+
⑤tan y x =中,()2
x k k Z π
π≠+
∈.
⑥零(负)指数幂的底数不能为零.如:2)32()(-+=x x f
⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初
等函数的定义域的交集.如:)2(log 22x y --=
⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数
[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.如:()[]()x f x f 28,2,的定义域是的定义
域为 822≤≤x
⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. 例:求函数()())1lg(lg x k x x f -+-=的定义域。
⑩有实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.
例2. 函数0y
=
__________________
例3. 求1
112
2--+-=x x x y 的定义域
例4.
考点3:求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的。事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同。 求函数值域与最值的常用方法:
①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值“直线类、反比例
函数类”。一次函数的值域:R 反比例函数:{}0/≠y y ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确
定函数的值域或最值。“二次函数”用配方法求值域; 例5:求函数562+--=x x y 的值域。
③判别式法:行如()不同时为零212
2221121,a a c x b x a c x b x a y ++++=的函数用判别式法求值域。
例6:求函数x
x y 1
+
=的值域。
④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值(一正二定三相等)。 ⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的。行如:()
x f y 1
=
的函数,可令()t x f =;
行如)0(≠+±+=ac d cx b ax y 的函数,可令d cx t +=;行如22x a y -=的函数,可令[]πθθ,0,cos ∈=a x 或令??
?
???-
∈=2,2,sin ππθθa x 例7:求函数x x y -+=142的值域。
⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值。形如()0≠++=
a b
ax d
cx y 的函数用反函数法求值域。 例8:求2
1
3-+=
x x y 的值域。 ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值。 ⑧函数的单调性法。
例9:求函数41++-=x x y 的值域。 法一(数形结合法): 法二(单调性): 练习1 求下列函数的值域
(1)x x y -+=43 (2)3
425
2
+-=x x y (3)x x y --=21
例10已知函数2
()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2,求a 、b 的值。
练习2 设,αβ是方程2
4420,()x mx m x R -++=∈的两实根,当m 为何值时, 2
2
αβ+有最
小值?求出这个最小值.
(3)函数的表示法:解析法(用数学表达式表示两个变量间的对应关系)、列表法(列出表格来表示两个变量间的对应关系)、图像法(用图像来表示两个变量间的对应关系) 二、函数的基本性质 (1)函数的单调性 ①定义:
②判别方法:a.定义法:
例11:已知函数()y f x =的定义域为R ,且对任意,a b R ∈,都有()()()f a b f a f b +=+,且当0x >时,()0f x <恒成立,证明:(1)函数()y f x =是R 上的减函数;
(2)函数()y f x =是奇函数。
b.性质法:
“()())(为常数与c c x f x f +有相同单调性”
“()())(为常数与c x cf x f 当c>0时具有相同的单调性,当c<0时具有相反的单调性” “增+增=增,减+减=减,增-减=增,减-增=减”
“当()()x g x f 、都是增(减)函数,则()()x g x f 当两者都恒大于0时也是增(减)函数,当两者都恒小于0时也是减(增)函数”
C.“同增异减”:对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为
增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x = 为增;若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减. 例12:求函数()2
2
2-+=x x x f 的单调区间。
例13:已知函数()()
a ax x x f 3log 22+-=在区间()+∞,2上是增函数,求a 的取值范围。
④打“√”函数()(0)a
f x x a x
=+
>的图象与性质 ()f x
分别在(,-∞
、)+∞
上为增函数,分别在[
、上为减函数.
(2)最大(小)值定义
①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤;
(2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作max ()f x M =.
②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.
(4)函数的奇偶性
①定义及判定方法
注意:①若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =.
②奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反.
③在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.“偶±偶=偶,奇±奇=奇,偶?偶=偶,偶÷偶=偶,奇?奇=奇,奇÷奇=奇,偶?奇=奇,偶÷奇=奇”
例14:设a 为实数,函数1||)(2
+-+=a x x x f ,R x ∈
(1)讨论)(x f 的奇偶性;
(2)求)(x f 的最小值。
例15:设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且
1
()()1
f x
g x x +=
-,求()f x 和()g x 的解析式.
三、
四、函数的图像 (1)作图
利用描点法作图:
①确定函数的定义域;②化解函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性);④画出函数的图象.
利用基本函数图象的变换作图:
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象. ①平移变换
0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=???????→=+左移个单位
右移|个单位
0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=???????→=+上移个单位下移|个单位
②伸缩变换
01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=????→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=????→=缩伸
③对称变换
()()x y f x y f x =???→=-轴
()()y y f x y f x =??
?→=-轴 ()()y f x y f x =???→=--原点
1()()y x y f x y f x -==????→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =???????????????→=去掉轴左边图象
保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =?????????→=保留轴上方图象
将轴下方图象翻折上去
f x f a x x a ()()与的图象关于直线对称2-= 联想点(x,y ),(2a-x,y)
20联想点(x,y),(2a-x,0)
--
与的图象关于点,对称
()()()
f x f a x a
(2)识图
对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系.
(3)用图
函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法。
例16
函数的性质知识点总结
1.函数的奇偶性 (1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x) ; (2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0(可用于求参数); (3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0); (4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性; (5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性; 2.复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法:若已知的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 (2)复合函数的单调性由“同增异减”判定; 3.函数图像(或方程曲线的对称性) (1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明图像C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然; (3)曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0); (4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称; (6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称; 4.函数的周期性 (1)y=f(x)对x∈R时,f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数; (2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数; (3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数; (4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2 的周期函数; (5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数; (6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ,则y=f(x)是周期为2 的周期函数; 5.方程 (1)方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域); (2)a≥f(x) 恒成立a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立a≤[f(x)]min; (3)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+); log a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1); (4)log a b的符号由口诀“同正异负”记忆;
三角函数的图象和性质典型例题
三角函数的图象和性质·典型例题 于P1,P2两点,过P1,P2分别作P1M1⊥x轴,P2M2⊥x轴,垂足分 k∈Z} 【说明】学会利用单位圆求解三角函数的一些问题,借助单位圆求解不等式的一般方法是:①用边界值定出角的终边位置;②根据不等式定出角的范围;③在[0,2π]中找出角的代表;④求交集,找单位圆中重叠的部分;⑤写出角的范围的表达式,注意加周期.
【例3】求下列函数的定义域: 解:(1)为使函数有意义,需满足2sin2x+cosx-1≥0 【说明】求函数的定义域通常是解不等式组,利用“数形结合”,借助于数轴画线求交集的方法进行.在求解三角函数,特别是综合性较强的三角函数的定义域,我们同样可以利用“数形结合”,在单位圆中画三角函数线,求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成. 【说明】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质,如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性,在进行三角函数的变形时,要注意三角函数的每一步变形都保持恒等,即不能改变原函数的自变量的取值范围. 【例4】求下列函数的值域:
∴此函数的值域为{y|0≤y<1} 【说明】求三角函数的值域,除正确运用必要的变换外,还要注意函数的概念的指导作用,注意利用正、余弦函数的有界性. 【例5】判断下列函数的奇偶性: 【分析】先确定函数的定义域,然后根据奇函数成偶函数的定义判断函数的奇偶性. ∵f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x) 【例8】求下列各函数的最大值、最小值,并且求使函数取得最大值、最小值的x 的集合. ∴使y取得最大值的x的集合为{x|x=(2kπ+1)π,k∈Z} ∴使y取得最小值的x的集合为{x|x=2kπ,k∈Z}
高考复习函数知识点总结
高考复习 函数知识点总结 一.函数概念的理解以及函数的三要素 (1)函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则(函数关系式)也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ; 满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ; 满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做 [,)a b ,(,]a b ; 满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞. 注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b < . (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① 分式的分母不为0; ② 偶次根式下被开方数大于0; ③ 0y x = ,则有0x ≠ ; ④ 对数函数的真数大于0,底数大于0切不等于1 注意:①解析式为整式的函数定义域为R ; ②若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则
其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集; ③对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知() f x的定义域 为[,] a g x b ≤≤解出. f g x的定义域应由不等式() a b,其复合函数[()] (4)求函数的值域或最值 常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量 的取值范围确定函数的值域或最值. ③判别式法:若函数() =可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程 y f x 2 ++=,则在()0 a y x b y x c y ()()()0 a y≠时,由于,x y为实数,故必须有 2()4()()0 ?=-?≥,从而确定函数的值域或最值. b y a y c y ④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. ⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代 数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题. ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的 值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法. (5)函数解析式 ①换元法;(用于求复合函数的解析式) ②配凑法;(用于求复合函数的解析式)
高中数学必修一《集合与函数的概念》经典例题
高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测 试题试题整理:周俞江 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正 确答案的代号填在题后的括号内(本大题共12个小题, 每小题5分,共60分). 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ,则=B A I ( ) A. }{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2. 若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<,则A Y B=( ) A . {}|0x x ≤ B .{}|2x x ≥ C .{0x ≤≤ D .{}|02x x << 3 .在下列四组函数中,f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A.x x y y ==,1 B .1,112-=+?-=x y x x y C.55 ,x y x y == D .2)(|,|x y x y == 4.函数x x x y +=的图象是( ) 5.0≤f 不是映射的是A .1:3f x y x ?? →= B .1 :2 f x y x ??→= C .1:4f x y x ??→= D .1:6f x y x ??→= 6.函数y =f (x )的图象与直线x =1的公共点数目是( ). A .1 B .0 C .0或1 D .1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数,则k 的范围是( ) A .2-≥k B .2-≤k C .2->k D .2- 9.有下面四个命题: ①偶函数的图象一定与y 轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点; ③偶函数的图象关于y 轴对称; ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f (x )=0(x ∈R ). 其中正确命题的个数是( ). A .1 B .2 C .3 D .4 10.图中阴影部分所表示的集合是( ) A.B ∩[C U (A ∪C)] B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.[C U (A ∩C)]∪B 11.若函数))(12()(a x x x x f -+= 为奇函数,则=a ( ) A.21 B.32 C.43 D.1 12.已知函数x x x x f 22 11)11(+-=+-,则函数)(x f 的解析式可以是( ) A.x x 21+ B.x x 212+- C.x x 212+ D.x x 21+- 13.二次函数y =x 2+bx +c 的图象的对称轴是x =2,则有( ). A .f (1)<f (2)<f (4) B .f (2)<f (1)<f (4) C .f (2)<f (4)<f (1) D .f (4)<f (2)<f (1) 14.已知函数[](]?????∈--∈-=5,2,32,13)(,2x x x x f x 则方程1)(=x f 的解是( ) A.2或2 B.2或3 C.2或4 D.±2或4 15.函数()f x 的定义域为),(b a ,且对其内任意实数12,x x 均有:1212()[()()]0x x f x f x --<,则()f x 在),(b a 上是 A .增函数 B .减函数 高一数学《函数的性质》知识点总结 二.函数的性质 函数的单调性 增函数 设函数y=f的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x12时,都有f2),那么就说f在区间D上是增函数.区间D称为y=f的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x12时,都有f>f,那么就说f在这个区间上是减函数.区间D称为y=f的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; 图象的特点 如果函数y=f在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f在这一区间上具有单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. 函数单调区间与单调性的判定方法 定义法: 任取x1,x2∈D,且x12; 作差f-f; 变形; 定号; 下结论. 图象法 复合函数的单调性 复合函数f[g]的单调性与构成它的函数u=g,y=f的单调性密切相关,其规律:“同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. .函数的奇偶性 偶函数 一般地,对于函数f的定义域内的任意一个x,都有f=f,那么f就叫做偶函数. .奇函数 一般地,对于函数f的定义域内的任意一个x,都有f=—f,那么f就叫做奇函数. 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 确定f与f的关系; 作出相应结论:若f=f或f-f=0,则f是偶函数;若 f=-f或f+f=0,则f是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,再根据定义判定;由f±f=0或f/f=±1来判定;利用定理,或借助函数的图象判定. 函数的解析表达式 函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. 求函数的解析式的主要方法有: )凑配法 )待定系数法 )换元法 )消参法 0.函数最大值 利用二次函数的性质求函数的最大值 利用图象求函数的最大值 利用函数单调性的判断函数的最大值: 如果函数y=f在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f在x=b处有最大值f; 如果函数y=f在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f在x=b处有最小值f; 学生姓名: 年级: 班型:1对1 上课时间: (第 次课) 剩余课时: 上课内容:函数的基本性质 一、函数的单调性: 1、定义域为I 的函数f (x )在区间D 上的增减性 (1)共同条件:12 , ,D I x x D ??↓?∈?任意 (2)假设前提:12x x <。 (3)判断依据: ①若__________________,则f (x )在区间D 上是增函数; ②若__________________,则f (x )在区间D 上是增函数。 2、单调区间 如果函数y=f (x )在区间D 上是增函数或减函数,就说f (x )在区间D 上具有(严格的)___________,区间D 叫做f (x )的__________。 思考探究 1、把增(减)函数定义中的“任意两个自变量12,x x ”换成“存在两个自变量12,x x ”还能判断函数是增(减)函数吗? 2、把增(减)函数定义中的“某个区间D ”去掉,其余条件不变,能否判断函数的增减性? 3、所有的函数都具有单调性吗? 自主测评 1、下列说法正确的是( ) A 、定义在(,)a b 上的函数f (x ),若存在12x x <时,有12()()f x f x <,那么f (x )在(,)a b 上为增函数 B 、定义在(,)a b 上的函数f (x ),若有无穷多对12,(,)x x a b ∈使得12x x <时,有12()()f x f x <,那么f (x )在(,)a b 上为增函数 C 、若f (x )在区间I 1上为增函数,在区间I 2上也为增函数,那以f (x )在I 1 I 2上也一定为增函数 D 、若f (x )在区间I 上为增函数,且1212()()(,)f x f x x x I <∈,那么12x x < 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 ◆注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1)列举法:{a,b,c……} 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图: 4、集合的分类: (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是注意:B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集 函数的基本性质知识点归纳与题型总结 一、知识归纳 1.函数的奇偶性 2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 解题提醒: ①判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. ②判断函数f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个x,均有f(-x) =-f (x )或f (-x )=f (x ),而不能说存在x 0使f (-x 0)=-f (x 0)或f (-x 0)=f (x 0). ③分段函数奇偶性判定时,误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性. 题型一 函数奇偶性的判断 典型例题:判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=(x +1) 1-x 1+x ; (2)f (x )=? ???? -x 2+2x +1,x >0, x 2+2x -1,x <0; (3)f (x )=4-x 2 x 2; (4)f (x )=log a (x +x 2+1)(a >0且a ≠1). 解:(1)因为f (x )有意义,则满足1-x 1+x ≥0, 所以-1<x ≤1, 所以f (x )的定义域不关于原点对称, 所以f (x )为非奇非偶函数. (2)法一:(定义法) 当x >0时,f (x )=-x 2+2x +1, -x <0,f (-x )=(-x )2+2(-x )-1=x 2-2x -1=-f (x ); 当x <0时,f (x )=x 2+2x -1, -x >0,f (-x )=-(-x )2+2(-x )+1=-x 2-2x +1=-f (x ). 一次函数的图象和性质 一、知识要点: 1、一次函数:形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。 注意:(1)k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1; (2)当b=0时,y=kx,y叫x的正比例函数。 2、图象:一次函数的图象是一条直线, (1)两个常有的特殊点:与y轴交于(0,b);与x轴交于(-,0) (2)由图象可以知道,直线y=kx+b与直线y=kx平行,例如直线:y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。 3、性质: (1)图象的位置: (2)增减性 k>0时,y随x增大而增大 k<0时,y随x增大而减小 4.求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程,再转化为函数解析式,此类题一般在没有写出函数解析式前无法(或不易)判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 (3)用待定系数法求函数解析式。 “待定系数法”的基本思想就是方程思想,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程(组)来解决,题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数,一般就需列出几个含有待定系数的方程,本单元构造方程一般有下列几种情况: ①利用一次函数的定义 构造方程组。 ②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标,即由b来定点;直线y=kx+b平行于y=kx,即由k来定方向。 ③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 ④利用题目已知条件直接构造方程。 二、例题举例: 例1.已知y=,其中=(k≠0的常数),与成正比例,求证y与x也成正比例。 证明:∵与成正比例, 设=a(a≠0的常数), ∵y=, =(k≠0的常数), ∴y=·a=akx, 其中ak≠0的常数, ∴y与x也成正比例。 例2.已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1,判断 =(3-)是什么函数,写出两个函数的解析式,并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。 解:依题意,得 解得 n=-1, ∴=-3x-1,高一数学《函数的性质》知识点总结
函数的基本性质知识点和典型例题
人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点
函数的基本性质知识点归纳与题型总结
一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解
集合与函数知识点归纳