测度论的知识要点与复习自测

第二章测度论的知识要点与复习自测

一、Lebesgue外测度的知识要点：

?熟练掌握Lebesgue外测度的定义和外测度的基本性质（包括基本性质：非负性、单调性、次可数可加性；Lebesgue外测度的特有性质：距离分离性）;

?会用定义或性质求一些典型集合的外测度（例如：R n中至多可数集，区间，Cantor （三分）集，黎曼可积函数（特别是连续函数）图象等的外测度）；

?特别注意零测集的含义和性质【如R n中的任何集合并上零测集或减去零测集外侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集】。

自测题：

1、叙述只“中Lebesgue外侧度的定义及性质，并用定义和性质解决如下问题：

（1）设Q n R n为有理点集，计算m*Q n0 ；

（2）设E R n为至多可数集，计算m*E 0 ；

3）设E, F R n，m*E 0，贝U m* F E m*F m* F E。

2、据理说明下面的结论是否成立：设 E R n，

（1）若E为有界集，则m*E ；

2）若m*E ，则E为有界集；

（3）若m*E ，则E为无界集；

4）若E为无界集，则m*E 。

3、设I R n为区间，证明：m*l I，其中I表示I的体积（注意I分有界和无界两种情况来证明）；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题：

（1）设P [0,1] R1为三分Can tor集，则m*P 0 ；（注意三分Ca ntor集的构造）

（2）设f（x）为定义在[a,b] R1上的黎曼可积函数，

G p（f）（x,y） y f（x）,x [a,b] R2，

f （x）在[a,b]的图像，贝9 m*G p（f） 0 ;（注意黎曼可积的充要条件的使用）

（3）设E R n有内点，贝V m*E 0 ；

（4）（外侧度的介值性）设E R1为有界集，m*E 0，则对任意0 c m*E，存在E1 E，使得，口*巳c ;（注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值性）（5）（外侧度的介值性的一般形式）设E R1,m*E 0,则对任意0 c m*E，存在E1 E，使得，m*E1 c。（注意：此结论要用到后面的等测包定理和单调递增可测集列的测度性质）

二、Lebesgue可测集的知识要点：

?熟练掌握Lebesgue可测集的卡氏定义（即定义）及等价条件（如：余集的可测性；对任意的A E和B E c，总有m* A B m*A m*B ），会用定义或等价条件来证明一些点集的可测性（例如：零测集，区间等）；

?熟练掌握可测集的并、交、差、余运算性质，并会熟练地运用这些性质来判断

(5)

mlim E k lim m( E k ) lim mE k ；

k

k

i k

k

集合的可测性；

?记 E R n E 是可测集，则

?熟练掌握单调可测集列测度的极限性质，

加上条件“其中至少有一个的测度是有限数”才能保证结论成立，并弄清楚此条件在 证明中所起的作用；

?熟练掌握下面的常用测度等式或不等式（以下集合都是 R n 中的可测集）

（1） 设E i , 设E i , 2c c ，其中c 为连续基数；

理解对单调递减的可测集列为什么要

E 2， -，E m 为互不相交的可测集，则

m

m

m E i mE i （有限可加性）；

i 1

i 1

E 2，

，E m 为可测集（注意没有互不相交的要求），则

m

m E i

i 1

i

(2) 设E i ,

E

2， - ， E

k ， m

mE i （次有限可加

性）。

i 1

-为互不相交的可测集，则

(3) (4) 设E i , m^E k mE k （可数可加性）；

k 1

E 2，

，E k ，-为可测集列（注意没有互不相交的要求），则

m E k

mE k （次可数可加性）。

k 1

k 1

差集测度的关系（注意思考：条件“ mE ”的作用） 设E

和G 都是可测集，且E G ，贝U

① mG m （G E ） mE ； ② 当 mE 时，m （G E ） mG mE 。 设E 和G 都是可测集，则

① mG m （G E ） mE ； ② 当 mE 时，m （G E ） mG mE 。

单调可测集列测度的极限性 （注意思考成立的条件）

设E k 为单调递增的可测集列，

m lim E k

m k

设E k 为单调递减的可测集列,

k1E

k k

immE k

；

且存在E k 0

，使得mE k 0

，则

m lim E k

一般可测集列测度的极限性

设E k 为可测集列，则

m k1E k k immE k

。

① mIjm E k

lim m( E k )

k

i k

lim mE k （关于测度的Fatou 定理【入不敷出】）;

k

②若存在k 0,使得

m ik 0E i

，则

③若lim E k E存在，且存在k o,

使得mE? ，则lim mE k存在，且

k k

k immE k mE。

（6）【可测集的直积的可测性及测度的计算公式】设A R p为可测集，B R q为可测集，则A B为R p+q上的可测集，且

m（A B） = mA mB。

自测题：

1、证明下面的差集测度或外侧度的关系（注意思考：条件“ mE ”的作用）

设E,G R n

（1）若E和G都是可测集，且E G ,则

①mG m（G E） mE ；

②当mE 时，m（G E） mG mE。

（2）若E和G都是可测集，则

①mG m（G E） mE ；

②当mE 时，m（G E） mG mE。

（3）若E和G不是可测集，则

①m G m （G E） m E ；

②当m*E 时，m*（G E） m*G m* E。

2、利用1和可测集的性质证明：

（1）设E,G R n都是可测集，则

m G E m G E mG + mE ；

【注意：m G E G E G E】

（2）利用（1）和等侧包定理证明：设E,G R n（不必为可测集），则

m* G E m* G E m*G + m*E。

3、试利用差集的测度关系以及区间的测度再证明：

（1）设P [0,1] R1为三分Cantor 集，则mP 0 ；

【注意：三分Can tor集的构造P [0,1] 口（廿,）），其中I"（i 1,2,|||,2n1）为

Cantor集的构造过程中第n步去掉的长度均为丄的幵区间】

31

（2）对于任意给定正数0 a 1,不改变Can tor集的构造思想，只是将在Can tor集的构造过程中每一步去掉的幵区间分别换为长度分别为撐，釁，宁，川,坍屮I 的幵区间（比如第n步换为去掉2n1个长度都为守的互不相交的幵区间），并记这样得到的集为P0（称为类Cantor集或一般Can tor 集，它是闭集也是完全集还是疏朗集），证明：mF0 a。

4、证明一般可测集列测度的极限性：

设E k为可测集列，则

①mlim E k lim m( E k ) lim mE k (关于测度的 Fatou 定理【入不敷 k

i k

出】）;

② 若存在k o ，使得m E j

，则

i k

o

mlim E k lim m （ E k ） lim mE k ；

k

k

i k

k

③ 若lim E k E 存在，且存在k o ，使得mE?

，则lim mE k 存在，且

k

7

k

lim mE k mE 。

k

④ 若 m *E k

，则lim E k 和ljm E k 都是零测集。

k 1

k

L

三、可测集的结构的知识要点：

? R n 中的几种常见的具体的可测集：零测集，任何区间，开集，闭集，

F 型集,

G 型集，Borel 集。

?熟练掌握并熟记下面的几种关系（可测集的结构）：

（1） 对任意E R n ，E 与G 型集的关系（等测包定理）; （2） 可测集与开集的关系，可测集与 G 型集的关系； （3） 可测集与闭集的关系，可测集与 F 型集的关系。

自测题：

1、仔细体会等测包定理的证明思想，解决下面的问题： （1）如何将一个G 型集表示成一列单调递减的开集的交集 2）设E R n ，则存在一列单调递减的开集列

G k ，使得，对每一个k 1，

（3）设E R n 有界，则存在一列单调递减的有界幵集列 G k ，使得，对每

一个 k 1，

注: （2）和（3）为等测包定理的更为细致的形式。

2、试利用等测包定理和单调递增可测集列测度的极限性质证明： 设E k R n （ k

1,2,川）为一列单调递增的集列，每个 E k 不必为可测集， 则

（1）存在一列单调递增的G 型集G k （ k 1,2,川），使得，对每一个k 1，

*

E k G k ，且 m E k mG k ；

1 一

k

E

*

m

k

G m

G k m ^H k

k

G n m

G k m ^H k

E m ^Hk

（单调递增集列的外侧度的极限性

质）。

3、试证明可测集与幵集和闭集的下面的关系（ 致的关系）：设E R n 是可测集，则

可测集与幵集和闭集的更细

k

G

m

(2) |im m E k m

E k

C m , x 1,2,川,m )

都为常数，E i

(x)为E 为全集时E i 的示性(特征)函

数, 则称f 在可测集E 上的一个非负简单函数。 试利用4 “可测集的直积的可测性及测度的计算公式

”解决下面的问题：设

f 是按定义2定义的可测集E 上的非负简单函数，G p f,E 的含义如定义1,则

(1) G p f,E ^E i [0,C i )，其中 E i [0,C i ) ( i 1,2,|||,m )互不相交;

(2) G p f,E 是R 2上的可测集；

m

(3) mG p f, E c mE i 。

i 1

四、记住一个在构造反例时有用的结论：对任意E R n ，只要m *E 0 ,则存在巳 E , 使得巳为不可测集(即R n 中一定存在不可测集)。

自测题： 据理说明：

(1)为什么R n 中的零测集中一定不存在不可测子集

(1) 对任意的 0,存在幵集

m G (2) 存在一列单调递减的幵集 口

1 E G k ，

m G k E

k

(3) 存存在一列单调递增的闭集

口 1 F k E ，.且 m E F k k

4、试利用可测集的结构和幵集的结构证明 的计算公式”，即,设A R p 为可测集，B 测集，

G ，使得E G ，且

E ；

G k ( k 1,2，卅),使得，对每一个k 1 ,

F k ( k 1,2,||| ),使得，对每一个 k 1 ,

“ 可测集的直积的可测性及测度

R q 为可测集，则A B 为R p+q 上的可

mB o

R 1为可测集，记 y f(x)

R 2，

m(A B) = mA

5*、定义1 :设f : E [0,)，其中E

G p f ,E (x, y) x E,0

则称G p f,E 为非负实函数f 在E 上的下方图形(相当于数学分析中定义在[a,b] 上的一元非负函数所构成的曲边梯形)

定义 2 :设E R 1为可测集，且E )E i ，其中 E i ( i 1,2,|||,m )都是 R 1 中

的可测集, 定义f : E

且互不相交(E [0,)如下：

^E i 称为可测集E 的一个有限不交的可测分解),现

f(x)

G, x C 2, x I

E 1

E 2

C 1

h m

E 1

(X )C 2 E 2

(X )屮 C m E m

(X )l C E i

(x) , X E

,

1

E m

|||,m )都为常数,

其中c 0

2）为什么R n中的不可测集总有外侧度，且外侧度一定大于零3）为什么R n中的不可测集一定是不可数集