四川省成都市第七中学2020届高三数学零诊模拟试题理(含解析)

四川省成都市第七中学2020届高三数学零诊模拟试题 理（含解析）

第Ⅰ卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.

1.已知集合{}

11A x x =-<，{

}

2

10B x x =-<，则A B =（ ）

A. ()1,1-

B. ()1,2-

C. ()1,2

D. ()0,1

【答案】B 【解析】

由2

{|11

},{|10}A x x B x x =-<=-<得：{}|02A x x =<<，{}|11B x x =-<<， 则()1,2A B ?=-，故选B. 2.若

1122ai

i i

+=++，则复数a =（ ） A. 5i -- B. 5i -+

C. 5i -

D. 5i +

【答案】D 【解析】

解：由题意可知：()()()12125ai i i i +=++= ， 则51

5i a i i

-=

=+ . 本题选择D 选项.

3.设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x <<时，()2

f x x x =-，则52f ??

-

= ???

（ ） A. 1

4

-

B. 12

-

C.

14

D.

12

【答案】C 【解析】 分析】

根据()f x 的周期为2，则5122f f ????-=- ? ?????

，再根据奇函数()()f x f x =--求解.

【详解】因为()

f x的周期为2，

所以

551

2

222

f f f

??????

-=-+=-

? ? ???????

；

又()

f x是奇函数，

所以

11

22 f f

????

-=-

? ?????

所以

2

51111

22224 f f

??

??????

-=-=--=

??

? ? ?

??????

??

??

故选B.【点睛】本题考查根据函数奇偶性、周期性求值.方法：根据奇偶性、周期性把自变量化到有解析式的区间. 4.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程???y bx a=+，其中???0.76,b a y bx==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A. 11.4万元 B. 11.8万元 C. 12.0万元 D. 12.2万元【答案】B 【解析】

试题分析：由题，，所

以

．

试题解析：由已知

，

又因为???y

bx a =+，???0.76,b a y bx ==- 所以

，即该家庭支出为

万元．

考点：线性回归与变量间的关系．

5.设D 为ABC ?中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则（ ）

A. 51

66BO AB AC =-+ B. 11

62BO AB AC =

- C. 51

66

BO AB AC =-

D. 11

62

BO AB AC =-+

【答案】A 【解析】

由平面向量基本定理可得：

()

1151

3666

BO AO AB AD AB AB AC AB AB AC =-=

-=+-=-+，故选A. 6.执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）

A. 1

B. 2

C.

12

D. 1-

【答案】D 【解析】 【分析】

易知当1024y =时，循环结束；再寻找x 的规律求解. 【详解】计算过程如下：

x

2 －1

12

2

1-

…

1-

y

0 1 2 3 4 … 1024 1024y <

是

是

是

是

是

是

否

当1024x =时，循环结束，所以输出1x =-. 故选D.

【点睛】本题考查程序框图，选择表格计算更加简洁.当循环次数较多时，要注意寻找规律. 7.等差数列{}n a 中的2a 、4032a 是函数()3

214613

f x x x x =

-+-的两个极值点，则()2220174032log a a a ??=（ ）

A. 24log 6+

B. 5

C. 23log 3+

D.

24log 3+

【答案】C 【解析】 由()3

214613

f x x x x =

-+-，得()286f x x x =-+'，由()2860f x x x =-+='，且24032a a 、是()321

4613

f x x x x =-+-的极值点，得24032201728a a a +==，240326a a ?=，

∴20174a =，则()222017403222log ?

·log 243log 3a a a ==+，故选C. 8.以下三个命题正确的个数有（ ）个.①若225a b +≠，则1a ≠或2b ≠；②定义域为R 的函数()f x ，函数()f x 为奇函数是()00f =的充分不必要条件；③若0x >，0y >且

21x y +=

，则11

x y

+的最小值为3+A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

【答案】D 【解析】 【分析】

①根据原命题与逆否命题真假关系；②根据奇函数的定义与性质判断；③根据基本不等式判断.

【详解】当1a =且2b =时，225a b +=成立， 根据原命题与逆否命题真假一致，故①正确； 定义域为R 的奇函数()f x 必有()00f =，

定义域为R 函数()f x 且满足()00f =不一定是奇函数，如()2

f x x =，故②正确；

若0x >，0y >且21x y +=，

则

2133112y x y y x x +=+++≥+=+

当且仅当2y x x y =即1x y ==时等号成立，故③正确；

【点睛】本题考查命题，充分必要条件，及基本不等式.原命题的真假比较难判断时，可借助逆否命题来判断；基本不等式注意成立的条件“一正二定三相等” .

9.甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A. 乙、丁可以知道自己的成绩 B. 乙可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 丁可以知道四人的成绩

【答案】A 【解析】 【分析】

根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.

【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，

又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，

又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，

又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A.

【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.

10.在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在直线1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（ ）

A. ?

???

B. ?

???

C. ??

D.

??

【答案】A 【解析】

首先根据图像找到直线与平面的夹角范围，再计算对应正弦值得到答案.

【详解】

由题意可得：直线OP 于平面1A BD 所成的角α 的取值范围：

111,[,]22AOA C OA ππ?

?∠?∠????

不妨取2AB = .

在1Rt AOA 中，1121

6

sin 322AA AOA AO ∠=

==+ .

()111sin sin 2C OA AOA π∠=-∠1sin 2AOA =∠

112sin cos AOA AOA =∠∠632262==>

sin α的取值范围是63?

??? . 故答案为：6????

. 【点睛】本题考查了线面夹角的正弦值，通过图形找到对应的角度是解题的关键. 11.函数()()

2

sin 4cos 1f x x x =?-的最小正周期是（ ）

A.

3

π B.

23

π C. π

D. 2π

【答案】B 【解析】 【分析】

利用二倍角公式和辅助角公式将()f x 化简为y=sin x+A ω?（）的形式，再利用周期函数求出

其最小正周期，可得答案.

【详解】解：()()

()2

sin 2cos cos 2sin 2cos cos cos 2f x x x x x x x x =+=?+

sin 2cos sin cos2sin3x x x x x =+=，可得其最小正周期为

23

π， 故选B.

【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换:二倍角公式和辅助角公式等，及三角函数的周期性的，属于中档题型

12.如图，已知ABC ?，其内部有一点O 满足OAB OAC OBC OCA θ∠=∠=∠=∠=，命题:p θ最大值有可能超过36度；命题:q 若三边长对应分别为,,a b c ，则a bc =2；则正确的选项为（ ）

A. p 真q 假

B. p 假q 假

C. p 真q 真

D. p 假q 真

【答案】D 【解析】 【分析】

根据正弦定理计算三边关系得到2a bc =，得到命题q 为真命题，根据角度关系得到内角和超过5θ，故命题P 为假命题，得到答案. 【详解】方法1：

在ACO ?中，根据正弦定理得()sin 2sin b m πθθ=-，即sin2sin b m θθ

= ①

在CBO ?中，根据正弦定理得

()

sin sin a m θαθ=

+，即()sin sin a m

θαθ

=+ ②

由①②得

()sin2sin b a θθα=+，即()

sin2sin b a θ

θα=+. 又()sin sin2,sin sin A C θθα==+，sin sin b A

a C = 在ABC ?中，根据正弦定理得

sin sin A a C c =，即得a b

c a

=， ∴2a bc =. ∴q 为真.

∵2a bc =，∴a 不是最长边，∴,B C ∠∠至少有一个超过2θ，∴内角和超过5θ，所以p 错误. 方法2：如图

延长AO 交BOC ?的外接圆于点D ，则2DBC DOC CAB θ∠=∠==∠，

BCD BOD ABO ABC θ∠=∠=+∠=∠

∴~ABC BCD ??，∴

AB BC BC DC

=. 又∵CDA CDO CBO CAD θ∠=∠=∠==∠，∴DC AC =. ∴

AB BC

BC AC

=，即2BC AC BA =?，即2a bc =. 【点睛】本题考查了命题的判断，计算量较大，意在考查学生的计算能力.

第Ⅱ卷

二、 填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分

13.命题p ：0x R ?∈，2

00220x x ++≤，写出命题p 的否定：_______________

【答案】x R ?∈，2220x x ++>

【解析】 【分析】

特称命题改为全称命题，把“0x ”改为“x ”，“存在”改为“所有”，再否定结论. 【详解】命题p 是特称命题，它的否定是全称命题， 所以命题p 的否定为：

x R ?∈，2220x x ++>

【点睛】本题考查含有量词的命题的否定.方法：先改量词，再否定结论. 14.曲线y x =

与直线(0)x a a =>

，0y =所围成封闭图形的面积为2a ，实数,m n 满足

190m n m n a n -≥??

+≤??≥?

，则2m n -的取值范围是________. 【答案】1,42??-????

【解析】 【分析】

先通过定积分计算面积得到a ，再通过线性规划得到答案. 【详解】曲线y x =

与直线(0)x a a =>，0y =所围成封闭图形的面积为2a

33

2220

224

0339

a

a xdx x a a a ===?=?

11

9400m n m n m n a m n n n -≥-≥????

+≤?+≤????≥≥??

根据图像知： 当53,22m n =

=时：1

22

m n -=-为最小值 当4,0m n ==时：24m n -=为最大值

2m n -的取值范围是：1,42??-????

故答案为：1,42

??-????

【点睛】本题考查了定积分的计算和线性规划，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.

15.已知抛物线2

2(0)y px p =>与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>有相同的焦点F ，P 是两曲线

的公共点，若5

6

PF p =，则此椭圆的离心率为_________. 【答案】12

e = 【解析】 【分析】

通过抛物线和椭圆性质得到P 点坐标，将P 点坐标代入椭圆得到答案. 【详解】设椭圆的左焦点为1F ，由题意抛物线的准线方程为

1,,0,,0,2222p p p p x F F c ????

=-

-= ? ?????

， 由抛物线的定义知点P 到准线的距离为

56p ，可得点P 的横坐标为5623

p p p

-= ，

则有2

22

115766

p p

PF PF ??+==

?????

，所以12||2a PF PF p =+= ， 则

122

p c e a p ===

故答案为12

e =

【点睛】本题考查了抛物线性质，椭圆的离心率，计算出P 点坐标是解题的关键.

16.定义在区间(0,2]上的函数(

)

2

()(2)ln f x x x x t =-?-+恰有2个不同零点，则实数t 的取值范围是__________. 【答案】

114t <≤或5

4

t = 【解析】 【分析】

首先的到2x = 这个零点，再利用参数分离的方法计算另外一个零点得到答案. 【详解】定义在区间(]

0,2上的函数()()()

2

2ln f x x x x t =-?-+恰有2个不同零点

易知：2x =是一个零点.

()0,2x ∈时：

()

2225

ln 0114

x x t x x t t x x t -+=?-+=?=-++?=

或11t -<≤ 且2

1

04

x x t t -+>?>

114t <≤或54

t = 故答案为：114t <≤或5

4

t =

【点睛】本题考查了函数的零点问题，参数分离法解决问题，意在考查学生的计算能力. 三、解答题（共70分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，写在答题卷上

17.在ABC ?中，角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，

c ，已知4

B π

=，cos cos20A A -=

（1）求角C ；

（2）若222b c a bc +=-+，求ABC S ?.

【答案】（1）12

C π

=（2

）1-

【解析】

试题分析：（1）化简条件得：1

cos 2

A =

，即可得角C ； （2）由余弦定理可得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，再结合条件可得22a a +=，进而得a ，再由正弦定理求得c ，进而可求面积. 试题解析：

（1）因为cos cos20A A +=，所以22cos cos 10A A +-=， 解得：1cos 2A =

，cos 1A =-舍去，所以3A π=，又4B π=，所以512

C π= （2）在ABC ?中，因

3

A π

=

，由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-

又222b c a bc +=++，所以22a a +=，所以2a =， 又因为562

sin sin

124

C π+==

，由正弦定理sin sin c a C A = 得：3263c +=

，所以13

sin 123

ABC S ac B ?==+. 18.为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下：

（1）估计该校男生的人数；并求出a 值

（2）估计该校学生身高在170~185cm 之间的概率；

（3）从样本中身高在170~180cm 之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在175~180cm 之间的概率。

【答案】（1）男生人数为400；12a =（2）0.5P =（3）()1

2

P A = 【解析】 【分析】

（1）根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解；（2）用样本身高在170~185cm 之间的频数除以样本总数来估计；（3）列举所有情况，根据古典概型的概率公式求解.

【详解】解（1）样本中男生人数为40，由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400。 由于以10%的比例抽取，所以样本中女生应该是30人，所以12a =

（2）由统计图知，样本中身高在170~185cm 之间的学生有141343135++++=人，样本容量为70，

所以样本中学生身高在170~185cm 之间的频率35

0.570

f =

=，所以由f 估计该校学身高在170~180cm 之间的概率0.5P =

（3）样本中女生身高在170~180cm 之间的人数为4，身高在175~180cm 之间的人数为1。 设A 表示事件“从样本中身高在170~180cm 之间的女生中任选2人，至少有1人身高在

175~180cm 之间”，通过列举可得()31162P A =-

=或者正面列举也是()1

2

P A =. 【点睛】本题考查分层抽样、样本估计总体及古典概型，属于综合题.分层抽样的要点是总体及各层的抽样比例相同；古典概型列举所有基本事件时要有逻辑顺序，不要遗漏. 19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.

（1）证明：1AC AB =； （2）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=?，1AB BC ==，求二面角111A A B C --的余弦值的绝对

值.

【答案】（1）证明见解析；（2）1

7

. 【解析】 【分析】

（1）连接1BC ，交1B C 于点O ，连接AO ，证明1B C AO ⊥且1B C 平分AO 得到答案. （2）O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立空间直角坐标O xyz -，计算相应点坐标，计算法向量，利用二面角公式计算得到答案. 详解】证明：（1）连接1BC ，交1B C 于点O ，连接AO ， 因为侧面11BB C C 为菱形，

所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点，又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO . 由于AO ?平面ABO ，故1B C AO ⊥. 又1B O CO =，故1AC AB =. （2）因为1AC

AB ⊥，且O 为1B C 的中点，所以AO CO =.

又因为AB BC =，所以BOA BOC ??≌，故OA OB ⊥，从而1,,OA OB OB 两两相互垂直，

O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立空间直角坐标O xyz -

因为160CBB ∠=?，所以1CBB ?为等边三角形，又AB BC =，则

113110,0,,(,0,0),0,,0,0,,02222A B B C ?????

?- ? ? ??????

?

111111131310,,,,0,,,,022222AB A B AB B C BC ??????

=-==-==-- ? ? ? ? ???????

设(,,)n x y z =是平面11AA B 的法向量，则

11100n AB n A B ??=??

?=??，即1

102

2310

2y z x z ?-=????-= 所以(1,3,3)n =. 设m 是平面111A B C 的法向量，则111100m A B m B C ??=???=??

，同理可取(1,3,3)m =-,

1

cos ,7

||||

n m n m n m ?=

=

，所以二面角111A A B C --的余弦值为17.

【点睛】本题考查线段相等的证明，建立空间直角坐标系解决二面角问题，计算量较大，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

20.已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>，与x 轴负半轴交于()2,0A -，离心率12e =

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，连接AM ，AN 并延

长交直线4x =于()33,E x y ，()44,F x y 两点，若

1234

1111

y y y y +=+，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标。

【答案】（1）22

143

x y +=（2）见证明

【解析】 【分析】

（1）由椭圆与x 轴交于()2,0A -可得a 得值，结合1

2

c e a =

=与,,a b c 即可求解；（2）由AM AE k k =，AN AF k k =和两点斜率公式即可分别用11,x y 表示3y ，22,x y 表示4y ，再联立直

线与椭圆方程，用韦达定理与直线方程代入化简即可求解. 【详解】（1）由题有2a =，1

2

c e a =

=. ∴1c =，∴2223b a c =-=. ∴椭圆方程为22

143

x y +=.

（2）法1：()

22222

,34841201.4

3y kx m k x kmx m x y =+??

?+++-=?+=?? ()()222222644344120129k m k m m k ?=-+->?<+ 122834km x x k -+=+，2122

412

34m x x k -=+.

又AM AE k k =∴

3113110062422y y y y x x --=?=+++，同理2

4262

y y x =+ 又

1234

1111

y y y y +=+

∴()1221121212121212

222666x y x y y y y y x x y y y y y y ++++++=+= ()1212214y y x y x y ?+=+

()()()1212214kx m kx m x kx m x kx m ?+++=+++ ()()12124280k m x x kx x m ?-+-+=

()()()2222

41224842800343434m k m km k m k m k k k

-+-?--+=?=+++ ∴m k =-，此时满足22129m k <+ ∴()1y kx m k x =+=- ∴直线MN 恒过定点()1,0

法2：设直线AM 的方程为：12x t y =-

则()1222

112

3412014

3x t y t y t y x y =-??

?+-=?+=?? ∴0y =或1211234

t

y t =

+

∴211111122111268223434t t x t y t t t -=-=-=++，同理2

222

26834

t x t -=+，22221234t y t =+ 当3

4x =时，由3132x t y =-有31

6y t =

. ∴164,E t ?? ???，同理264,F t ??

???

又

1234

1111

y y y y +=+ ∴22

1212

123434121266t t t t t t +++=+，()()1212121234126

t t t t t t t t +++?= 当120t t +≠时，124t t =- ∴直线MN 的方程为()12

1112

y y y y x x x x --=

--

12

22

2112122

2212112

2

12121212343468686834343434

t t t t t t y x t t t t t t -??

++-?-=- ?--++??

-++ 211221121126843434t t y x t t t t ?

?-?-=- ?+++??

211

221212116812443434

t t y x t t t t t t -?=-?+++++

()

()

()()2121212

11243444134t x x t t t t t t t +=-=-++++ ∴直线MN 恒过定点()1,0，当120t t +=时，此时也过定点()1,0 综上直线MN 恒过定点()1,0

【点睛】本题考查直线与椭圆的应用.直线恒过定点问题要结合已知条件求出直线的点斜式方程，联立直线方程与椭圆方程消元，再利用韦达定理代入是常用方法. 21.设函数()()1

21x f x e

x ax +=?+-，其中1a <.

（1）当0a =时，()f x 的零点个数；

（2）若()0f x <的整数解有且唯一，求a 的取值范围. 【答案】（1）只有一个零点（2）3

12a e

≤< 【解析】 【分析】

（1）求导，根据导数求函数的单调性，结合极值即可判断；（2）易发现()00f <，再分0x >和0x <根据导数与函数单调性的关系讨论题设成立时a 的取值范围，求交集即可.

【详解】解：（1）()()1

21x f x e

x +?'=+，当1

2x >-时，()0f x '>，函数单增，

且0x =时函数值都已经大于0了；当2

1

x <-时，()0f x '<，函数单减，

且()0f x <，所以只有一个零点

（2）观察发现()00f <，下证除整数0外再无其他整数 ()()21x

f x e x a =?+-'，

①当0x >时，e 1x >，211x +>根据同向不等式乘法得到()211x

e x ?+>，因为1a <，

所以()()210x

f x e x a '=?+->，所以函数单增，且x 趋于+∞时函数值显然很大很大；

但要保证只有唯一整数0，需要()10f >，却发现恒成立，

②当0x <时，要保证只有唯一整数0，首先需要()10f -≥，得到32a e

≥ 当1x <-时，1x e e <，211x +<-根据同向不等式得到()121x

e x e ?+<-，又因32a e

>，

所以()()210x

f x e x a '=?+-<，所以函数在1x <-单减，且()10f ->

综上所述：()0f x <的整数解有且唯一时，

3

12a e

≤< 【点睛】本题考查函数零点与导数的应用. 函数零点个数问题常用方法：1、直接求出函数零点；2、根据函数单调性与极值判断；3、转化为两个函数的交点. 选修4-4：坐标系与参数方程

22.在极坐标系下，已知圆:cos sin O ρθθ=+和直线

()2:sin 0,0242l πρθρθπ?

?-=≥≤≤ ???

（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；

（2）当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标.

【答案】（1） 圆O 的直角坐标方程为x 2+y 2-x-y=0,直线l 的直角坐标方程为x-y+1=0 （2）

【解析】

试题分析：（1）根据2

2

2

cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+ 将圆O 和直线l 极坐标方程化为直角坐标方程（2）先联立方程组解出直线l 与圆O 的公共点的直角坐标，再根据

222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+化为极坐标

试题解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2＝ρ cos θ＋ρ sin θ，

故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0. 直线l ：ρsin

＝

，即ρsin θ－ρcos θ＝1，

则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.

(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得，

，解得

即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)，

将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．