数值分析习题集及答案

数值分析习题集

（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）

长沙理工大学

第一章 绪 论

1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.

2. 设x 的相对误差为2％,求n

x 的相对误差.

3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出

它们是几位有效数字:

*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====?

4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:

********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****

1234

,,,x x x x 均为第3题所给的数.

5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?

6. 设028,Y =按递推公式

1n n Y Y -=( n=1,2,…)

计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?

7. 求方程2

5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).

8. 当N 充分大时,怎样求

2

11N

dx x +∞

+?

?

9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2

? 10. 设

2

12S gt =

假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对

误差增加,而相对误差却减小.

11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y ≈(三位有效数字),计

算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?

12.

计算6

1)f =,

1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好

?

3

--

13.

()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式

ln(ln(x x =-

计算,求对数时误差有多大?

14. 试用消元法解方程组{

101012121010;

2.

x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?

15. 已知三角形面积

1sin ,2s ab c =

其中c 为弧度,

02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足

.s a b c

s a b c ????≤++

第二章 插值法

1. 根据(

2.2)定义的范德蒙行列式,令

2000011211

121

()(,,,,)11

n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x

x x ----==

L L L L L L L L L

证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -L ,且

101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--L L .

2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.

3.

4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究

用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.

5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.

6. 设

j

x 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:

i) 0()(0,1,,);

n

k k

j j j x l x x

k n =≡=∑L

ii) 0

()()1,2,,).

n

k j

j j x

x l x k n =-≡0(=∑L

7. 设

[]2

(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21

()()().

8max max a x b

a x

b f x b a f x ≤≤≤≤≤-"

8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x e 的近似值,要使截

断误差不超过6

10-,问使用函数表的步长h 应取多少? 9. 若2n n y =,求4n y ?及4

n y δ.

10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ?=+-,证明()f x 的k 阶差分

()(0)k f x k m ?≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +?=为正整数).

11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?. 12. 证明1

1

0010

.

n n k

k

n n k k k k f g

f g f g g f --+==?=--?∑∑

13. 证明

12

00

.

n j n j y y y -=?

=?-?∑

14. 若1011()n n

n n f x a a x a x a x --=++++L 有n 个不同实根12,,,n x x x L ,证明

{

10,02;

, 1.

1

()

n k n

j

k n a k n j j

x f x -≤≤-=-==

'∑

15. 证明n 阶均差有下列性质: i)

若()()F x cf x =,则

[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =L L ;

ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]01

0101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+L L L .

16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ???

?L 及0182,2,,2f ????L . 17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是

(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈

并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次

埃尔米特插值的误差限.

19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件

(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.

20. 设

[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()

n x ?并证明当n →∞时,()n x ?在[

],a b 上一致收敛到()f x .

21. 设

2

()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,

计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.

22. 求2

()f x x =在[

],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差. 23. 求4

()f x x =在[

],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.

试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)

(0.25)(0.53)0.S S "="=

25. 若

[]2

(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)

[][][][]2

2

2

()()()()2()()()b

b

b

b

a

a

a

a

f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx

"-"="-"+""-"?

??

?;

ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==L ,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=L ,则

[][][]

()()()()()()()()()b

a

S x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'?

.

26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)

式的表达式).

第三章 函数逼近与计算

1. (a)利用区间变换推出区间为[

],a b 的伯恩斯坦多项式.

(b)对()sin f x x =在[

]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的

马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:

(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.

3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[

]0,2π的最佳一致逼近多项式.

4. 假设()f x 在[

],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.

5. 选取常数a ,使

301

max x x ax

≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?

6. 求()sin f x x =在[

]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.

7. 求()x

f x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.

8. 如何选取r ,使2

()p x x r =+在[

]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?

9. 设4

3

()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.

10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求

***

0123(),(),(),()T x T x T x T x . 11. 试证{}*

()n

T x 是在[]0,1

上带权

ρ=

的正交多项式.

12. 在[

]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.

13. 设()x

f x e =在[

]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞

-有界,

证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使

11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤

14. 设在[]1,1-上

2345

11315165()128243843840x x x x x x ?=-----,试将()x ?降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[

]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.

16. ()f x 是[

],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式

*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.

17. 求a 、

b 使[]2

2

sin ax b x dx π

+-?为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较. 18. ()f x 、

[]1

(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();

b b

a

a

a f g f x g x dx

b f g f x g x dx f a g a =''=''+??

问它们是否构成内积?

19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6

1

01x dx x +?的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,

并比较其结果.

20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1

1

2221

1

(),x ax dx x ax dx

----?

?.

21. 设空间

{}{}

10010121,,,span x span x x 1?=?=,分别在1?、2?上求出一个元素,使得其为

[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.

22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ?=上的最佳平方逼近.

23.

sin (1)arccos ()n n x u x +=

是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系

()()()112n n n u x xu x u x +-=-.

24. 将

1

()sin 2f x x

=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼