《高等数学1(一)》课程考试试卷A及答案

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《高等数学1（一)》课程考试试卷(A 卷参考答案)

注意:1、本试卷共3页; ２、考试时间:120分钟; 3、姓名、学号必须写在指定地方。

一. 单项选择题，请将答案填入题后的方括号内(每小题2分， 共２０分）

1.

与函数()f x =[ C ]. Ａ．lnx B.

21

()2

ln x C ．lnx Ｄ.ln x

2．若(1)(2)(3)(4)(5)

lim (32)

x x x x x x x αβ→∞-----=-,则α与β的值为［ D ]. Ａ．11,3αβ== B ．15,3αβ== C.511,3αβ== D ．51

5,3

αβ==

３．设函数()y f x =在点0x 处可导,dy 为()f x 在0x 处的微分,当自变量x 由0x 增加

到0x x +?时， 极限0lim

x y dy

x

?→?-?等于[ B ]．

A ．－１ Ｂ.0 C ．1 D.∞

4.若()f x 在x a =的某个邻域内有定义,则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是[ D ].

A ．1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在 Ｂ．0(2)()

lim h f a h f a h h

→+-+存在

Ｃ.0

()()lim

2h f a h f a h h →+--存在 D.0()()

lim h f a f a h h

→--存在

5．已知函数1sin ,0(),0

x x f x x

ax b x ?>?

=??+≤?在(,)-∞+∞内连续，则a 与b 等于[ C ]．

A.1,1a b ==

B.0,a b R =∈ C ．,0a R b ∈= D.,a R b R ∈∈

6.若函数32

()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-,则下列结论中正确的

是[ B ].

Ａ.3,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极小值点

B.0,3a b ==-,且1x =为函数()f x 的极小值点 C ．1,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极大值点

D.0,3a b ==-,且1x =为函数()f x 的极大值点

７．设1

()1f x x =

-，其n 阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项()n R x 等于[ Ｃ ]. A.11,(01)(1)(1)n n x n x θθ++<<+- B ．1

1

(1),(01)(1)(1)n n n x n x θθ++-<<+-

C.

12,(01)(1)n n x x θθ++<<- D.1

1

(1),(01)(1)n n n x x θθ++-<<-

8.若sin 2x 为函数()f x 的一个原函数，则()xf x dx ?

等于[ Ｄ ]． A.sin 2cos2x x x C ++ B ．sin 2cos2x x x C -+

Ｃ．1sin 2cos 22x x x C -

+ D.1

sin 2cos 22

x x x C ++

9．若非零向量,,a b c 满足0a b ?=与0a c ?=，则b c ?等于[ A ]． A ．0 B ．-1 C.1 D.3

10.直线20

20

x y z x y z -+=??

+-=?与平面1x y z ++=的位置关系是[ Ｃ ］.

A ．直线在平面内

B ．平行

C ．垂直 D.相交但不垂直

二.填空题(每小题2分，共１0分)

1.一质点作直线运动，其运动规律为42

6s t t t =-+,则速度增加的时刻t = １ . 2．若21

arctan (1)2

y x x ln x =-+，则dy =arctan xdx . ３．已知

21a

dx x π+∞

-∞=+?，则a = １ .

４．已知()x

f x e =，则()f lnx dx x

'=? x C + ． 5.设向量,,m n p 满足0m n p ++=,且6m =，8n =,10p =,则

m n n p p m ?+?+?= 1４4 ．

三．求解下列各题（每小题5分，共10分）

1．1

1lim(1)21

n n n +→∞-+

解：原式=((21)(1)1)/2

1lim(1)

21

n n n -+-+→∞-+ 2 ＝(21)(1/2)(1/2)

11lim(1)lim(1)2121

n n n n n -+-→∞→∞-?-++ ４

1/2e -= ５

2．20(13)

lim (sec cos )

x ln x x x →+-

解:原式＝203cos lim (1cos )(1cos )

x x x

x x →-+ 2

=20

2

3cos lim

1(1cos )2

x x x x x →+ 4

=6 5

四. 求解下列各题（每小题6分,共12分）

1.若方程arctan 1xy

y e =+确定了y 是x 的函数,求函数y 的微分dy . 解：原方程两边同时对x 求导，有

2

()1xy

y e y xy y ''=++ 则22(1)1(1)xy xy y y e y x y e +'=-+ ４ 则22(1)1(1)xy

xy

y y e dy dx x y e +=

-+ 6

2．设参数方程21cos x t y t

?=+?=?确定了y 是x 的函数,求22d y

dx .

解：sin 2dy t

dx t

-=

３ 222cos sin 122t t t

d y t dx t

-=- 5 3

sin cos 4t t t

t

-= 6

五.求解下列各题(每小题６分,共18分)

1.

222()lnx dx xlnx +?

解：原式=21

2

()()d xlnx xlnx ? ４

2

C xlnx

-=+ 6 2.

222

max{,}x x dx -?

解：原式＝

012

2

22

1

x dx xdx x dx -++?

?? 4

323012

201[][][]323

x x x -=++ 5

＝１1/2 ６

3．设2

1sin ()x t

f x dt t =

?,求10()xf x dx ?

解：2

1100()()()2

x xf x dx f x d =?? ２

2211

00[()](())2

2x x f x d f x =-? 4

2211

2

200sin 02sin 2x x xdx x x dx x =-=-?? 210

1[cos ]2

x =cos11

2-= 6

六. (本题10分)

y

已知星形线33

cos sin x a t

y a t ?=?=?

如右图所示，其中0a >， a 1） 计算星形线的全长； a - ０ a x

2） 求星形线与坐标轴所围成图形的面积.

解：1）长度

4

L =?

2 a -

4=?

４

6a = ５

2)面积0

2420

2

4

43sin cos a S ydx a t tdt π==-?

? 8

2

4220

12sin cos a

t tdt π

=?

2

38

a π= 1０

七． (本题７分)

已知某直角三角形的边长之和为常数,求该直角三角形面积的最大值. 解：设两直角边与斜边分别为,,x y z ,其和为常数k ，所求面积为S

因x y z k ++=及222

x y z +=,则222()

kx k y x k -=- 3

则221224()kx xk S xy x k -=

=-，且22

2(24)()4()

k x kx k S x x k -+'=-

有驻点22x k -= ５

则22

max

34S k -==为所求 7

八. (本题7分）

求过点(2,1,3)M 且与直线

11321

x y z

+-==

-垂直相交的直线方程. 解：记直线111:321

x y z

L +-==

-,设过点(2,1,3)M 且垂直相交于直线1L 的平面为π 则平面π方程为3(2)2(1)(3)0x y z -+---= ２

令11321

x y z

t +-===-则13,12,x t y t z t =-+=-+=- 代入平面π得3/7t =，即交点为2133

(,,)777

A - 4

以12624

(,,)777

MA --=为所求直线的方向向量得到

所求直线为:213

214

x y z ---==

- 7

九. (本题6分）

设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续且0()1f x <<，试判断方程0

2()1x x f t dt -=?

在(0,1)内

有几个实根,并证明你的结论. 证：记0

()2()1x g x x f t dt =-

-?

则10

(0)10,(1)1()0g g f t dt =-<=-

>?

2

且0()1f x <<知()2()0g x f x '=->,即在闭区间[0,1]上单调增加 ４ 故0

2()1x x f t dt -

=?

在(0,1)内有一个实根 6