2018考研数学一真题及答案
2018考研数学一真题及答案
一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.
1.若函数1cos 0(),0x
x f x b x ?->?
=?≤?
在0x =处连续,则 (A )12ab =
(B )1
2
ab =-(C )0ab =(D )2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x
x f x ax ax a +++→→→-===
,0lim ()(0)x f x b f -
→==,要使函数在0x =处连续,必须满足11
22
b ab a =?=.所以应该选(A ) 2.设函数()f x 是可导函数,且满足()()0f x f x '>,则
(A )(1)(1)f f >- (B )11()()f f <- (C )11()()f f >- (D )11()()f f <- 【详解】设2
()(())g x f x =,则()2()()0g x f x f x ''=>,也就是()2
()f x 是单调增加函数.也
就得到()()22
(1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-,所以应该选(C )
3.函数2
2
(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为
(A )12 (B )6 (C )4 (D )2 【详解】
22,,2f f f
xy x z x y z
???===???,所以函数在点(1,2,0)处的梯度为()4,1,0gradf =,所以2
2
(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为
()01
4,1,0(1,2,2)23f gradf n n
?=?=?=?u u r r 应该选(D )
4.甲、乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:米)处,如图中,实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:米/秒),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位:米/秒),三块阴影部分的面积分别为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻为0t ,则( ) (A )010t = (B )01520t <<
(C )025t = (D )025t >
【详解】由定积分的物理意义:当曲线表示变速直线运动的速度函数时,2
1
()()T T S t v t dt =
?
表
示时刻[]12,T T 内所走的路程.本题中的阴影面积123,,S S S -分别表示在时间段
[][][]0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差,显然应该在25t =时乙追上甲,应该
选(C ).
5.设α为n 单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则
(A )T
E αα-不可逆 (B )T
E αα+不可逆 (C )2T
E αα+不可逆 (D )2T
E αα-不可逆 【详解】矩阵T
αα
的特征值为1和1n -个0
,从而
,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1L ;2,1,1,,1L ;
1,1,1,,1-L ;3,1,1,,1L .显然只有T E αα-存在零特征值,所以不可逆,应该选(A )
. 6.已知矩阵200021001A ?? ?= ? ???,210020001B ?? ?= ? ???,100020002C ??
?
= ? ???
,则
(A ),A C 相似,,B C 相似 (B ),A C 相似,,B C 不相似 (C ),A C 不相似,,B C 相似 (D ),A C 不相似,,B C 不相似
【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===.是否可对解化,只需要关心2λ=的情况.
对于矩阵A ,0002001001E A ??
?
-=- ? ???
,秩等于1 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两
个线性无关的特征向量,也就是可以对角化,也就是~A C .
对于矩阵B ,010*******E B -?? ?
-= ? ???
,秩等于2 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一
个线性无关的特征向量,也就是不可以对角化,当然,B C 不相似故选择(B ).
7.设,A B 是两个随机事件,若0()1P A <<,0()1P B <<,则(/)(/)P A B P A B >的充
分必要条件是
(A )(/)(/)P B A P B A > (B )(/)(/)P B A P B A < (C )(/)(/)P B A P B A > (D )(/)(/)P B A P B A <
【详解】由乘法公式:()()(/),()()((/)P AB P B P A B P AB P B P A B ==可得下面结论:
()()()()
(/)(/)()()()()1()()
P AB P AB P A P AB P A B P A B P AB P A P B P B P B P B ->?
>=?>- 类似,由()()(/),()()(/)P AB P A P B A P AB P A P B A ==可得
()()()()
(/)(/)()()()()1()()
P AB P AB P B P AB P B A P B A P AB P A P B P A P A P A ->?
>=?>- 所以可知选择(A ).
8.设12,,,(2)n X X X n ≥L 为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本,若1
1n
i i X X n ==∑,则
下列结论中不正确的是( )
(A )
2
1()n
i i X
μ=-∑服从2χ分布 (B )()2
1
2n X X -服从2χ分布 (C )
21
()n
i
i X
X =-∑服从2χ分布 (D )2()n X μ-服从2χ分布
解:(1)显然22
()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-?-=L 且相互独立,所以
21
()n
i
i X
μ=-∑服从2()n χ分布,也就是(A )结论是正确的;
(2)
2
22
22
1
(1)()(1)~(1)n
i
i n S X
X n S n χσ
=--=-=
-∑,所以(C )结论也是正确的;
(3)注意2
21
~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X n
μμμχ?-?-,所以(D )结论也
是正确的;
(4)对于选项(B )
:22111
()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-?
?-,
所以(B )结论是错误的,应该选择(B )
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.已知函数2
1()1f x x
=
+,则(3)
(0)f = .
解:由函数的马克劳林级数公式:()0
(0)()!
n n
n f f x x n ∞
==
∑
,知()(0)!n n f n a =,其中n a 为展开式中n
x 的系数. 由于[]2422
1
()1(1),1,11n n f x x x x x x
=
=-+-+-+∈-+L L ,所以(3)(0)0f =. 10.微分方程230y y y '''++=的通解为 .
【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程,特征方程2
230r r ++=有一对共共轭的
根1r =-
,所以通解为12()x y e C C -=+ 11.若曲线积分
221
L xdx aydy x y -+-?在区域{}22
(,)|1D x y x y =+<内与路径无关,则a = .
【详解】设 2222(,),(,)11
x ay P x y Q x y x y x y -=
=+-+-,显然 (,),(,)P x y Q x y 在区域内
具有连续的偏导数,由于与路径无关,所以有
1Q P
a x y
??≡?=-?? 12.幂级数
1
11
(1)
n n n nx ∞
--=-∑在区间(1,1)-内的和函数为
【详解】
1
1
1
12
1
1
11(1)
(1)
()(1)1(1)
n n n n
n n n n n x nx
x x x x ∞
∞
∞----===''????'-=-=-== ? ?++????∑∑∑ 所以2
1
(),(1,1)(1)s x x x =
∈-+
13.设矩阵101112011A ?? ?
= ? ???
,123,,ααα为线性无关的三维列向量,则向量组123
,,A A A ααα的秩为 .
【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ??????
? ? ?
=→→ ? ? ? ? ? ???????
,知矩阵A 的
秩为2,由于123,,ααα为线性无关,所以向量组123,,A A A ααα的秩为2.
14.设随机变量X 的分布函数4()0.5()0.52x F x x -??
=Φ+Φ ???
,其中()x Φ为标准正态分
布函数,则EX = .
【详解】随机变量X 的概率密度为4
()()0.5()0.25(
)2
x f x F x x ??-'==+,所以 4
()()0.5()0.25(
)2
4
0.25(
)0.252(24)()2
2()2
x E X xf x dx x x dx x dx x x dx t t dt t dt ?????+∞
+∞
+∞
-∞
-∞
-∞
+∞
+∞-∞
-∞+∞-∞
-==+-==?+==?
?
??
??
三、解答题
15.(本题满分10分)
设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数,(,cos )x
y f e x =,求0|x dy dx
=,202|x d y dx =.
【详解】
12(,cos )(,cos )(sin )x x x dy f e x e f e x x dx ''=+-,01|(1,1)x dy
f dx
='=; 2111
122222122(,cos )((,cos )sin (,cos ))cos (,cos )sin (,cos )sin (,cos )x x x x x x x x x x d y
e f e x e f e x e xf e x xf e x dx xe f e x xf e x ''''''=+--''''-+
20111
22|(1,1)(1,1)(1,1)x d y
f f f dx
=''''=+-.
16.(本题满分10分) 求21lim
ln 1n
n k k k n
n →∞
=??
+ ???∑ 【详解】由定积分的定义
1
20111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24
n
n n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞
→∞==????+=+=+ ? ?????=+=∑∑??
17.(本题满分10分)
已知函数()y x 是由方程3
3
3320x y x y +-+-=. 【详解】在方程两边同时对x 求导,得
2233330x y y y ''+-+= (1)
在(1)两边同时对x 求导,得
2222()0x y y y y y '''''+++=
也就是22
2(())
1x y y y y
'+''=-+
令0y '=,得1x =±.当11x =时,11y =;当21x =-时,20y = 当11x =时,0y '=,10y ''=-<,函数()y y x =取极大值11y =; 当21x =-时,0y '=,10y ''=>函数()y y x =取极小值20y =. 18.(本题满分10分)
设函数()f x 在区间[]0,1上具有二阶导数,且(1)0f >,0
()
lim 0x f x x
-
→<,证明: (1)方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根;
(2)方程2
()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根.
证明:(1)根据的局部保号性的结论,由条件0
()
lim 0x f x x
-
→<可知,存在01δ<<,及1(0,)x δ∈,使得1()0f x <,由于()f x 在[]1,1x 上连续,且1()(1)0f x f ?<,由零点定理,
存在1(,1)(0,1)x ξ∈?,使得()0f ξ=,也就是方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根;
(2)由条件0
()
lim 0x f x x
-
→<可知(0)0f =,由(1)可知()0f ξ=,由洛尔定理,存在(0,)ηξ∈,使得()0f η'=;
设()()()F x f x f x '=,由条件可知()F x 在区间
[]
0,1上可导,且
(0)0,()0,()0F F F ξη===,分别在区间[][]0,,,ηηξ上对函数()F x 使用尔定理,则存
在12(0,)(0,1),(,)(0,1),ξηξηξ∈?∈?使得1212,()()0F F ξξξξ''≠==,也就是方程
2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根.
19.(本题满分10分)
设薄片型S 是圆锥面z =
被柱面22z x =所割下的有限部分,
其上任一点的密度为
μ=C .
(1)求C 在xOy 布上的投影曲线的方程; (2)求S 的质量.M
【详解】(1)交线C
的方程为22z z x
?=??=??z ,得到22
2x y x +=.
所以C 在xOy 布上的投影曲线的方程为222.0x y x
z ?+=?=?
(2)利用第一类曲面积分,得
222222(,,)18
64
S
S
x y x
x y x
M x y z dS μ+≤+≤=====??????
??
20.(本题满分11分)
设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值,且3122.ααα=+ (1)证明:()2r A =;
(2)若123,βααα=+,求方程组Ax β=的通解.
【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A 是非零矩阵,也就是()1r A ≥. 假若()1r A =时,则0r =是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有()2r A ≥,又因为
31220ααα-+=,也就是123,,ααα线性相关,()3r A <,也就只有()2r A =.
(2)因为()2r A =,所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于
31220ααα-+=,所以基础解系为121x ??
?
= ? ?-??
;
又由123,βααα=+,得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111?? ?
? ???;
方程组Ax β=的通解为112111x k ???? ? ?
=+ ? ? ? ?-????
,其中k 为任意常数.
21.(本题满分11分)
设二次型222
123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为22
1122y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q .
【详解】二次型矩阵21411141A a -?? ?
=- ? ?-??
因为二次型的标准形为22
1122y y λλ+.也就说明矩阵A 有零特征值,所以0A =,故 2.a =
1
141
1
1
(3)(6)4
1
2
E A λλλλλλλ---=+=+---
令
0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==.
通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-
的特征向量1111ξ???
=-???,属于特征值特征值26λ=
的特征向量2101ξ-???=???,30λ=
的特征向量3121ξ???
=???, 所以(
)123,,0Q ξξξ? == ?为所求正交矩阵. 22.(本题满分11分)
设随机变量,X Y 相互独立,且X 的概率分布为{}1
0{2}2
P X P X ====,Y 的概率密度为2,01
()0,y y f y <=?
?其他
.
(1)求概率P Y EY ≤();
(2)求Z X Y =+的概率密度. 【详解】(1)1
202
()2.3
Y EY yf y dy y dy +∞
-∞
=
==?
?
所以{}2
30242.39P Y EY P Y ydy ?
?≤=≤==???
??
(2)Z X Y =+的分布函数为
{}{}{}{}
{}{}
{}[](),0,20,2,211
{}2221
()(2)2
Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=
≤+≤-=+-
故Z X Y =+的概率密度为
[]1
()()()(2)2
,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==
+-≤≤??
=-≤??
其他 23.(本题满分11分)
某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做了n 次测量,该物体的质量μ是已知的,设n 次测量结果12,,,n X X X L 相互独立且均服从正态分布2
(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=L ,利用12,,,n Z Z Z L 估计参数
σ.
(1)求i Z 的概率密度;
(2)利用一阶矩求σ的矩估计量; (3)求参数σ最大似然估计量. 【详解】(1)先求i Z 的分布函数为
{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσ
σ?-?=≤=-≤=≤????
当0z <时,显然()0Z F z =;
当0z ≥时,{}{}
()21i Z i i X z z
F z P Z z P X z P μμσ
σσ
?-???
=≤=-≤=≤
=Φ-?
? ???
?
?; 所以i Z
的概率密度为2
2
2,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-?≥'==
.
(2
)数学期望2
220
()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞
+∞
=
==
?
?
令11n i i EZ Z Z n ===∑,解得σ
的矩估计量1
22n
i i Z n
σ===
∑.
(3)设12,,,n Z Z Z L 的观测值为12,,,n z z z L .当0,1,2,i z i n >=L 时
似然函数为221
1
21
()(,)n
i i n n
z i i L f z σ
σσ=-
=∑=
=
∏
,
取对数得:2
2
1
1
ln ()ln 2ln(2)ln 22n
i
i n L n n z
σπσσ==---
∑
令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑,得参数σ
最大似然估计量为σ=