高中数学总结归纳 对数函数中的两类R问题

对数函数中的两类R 问题

对于形如[]log ()a y x ?=的定义域或值域为R 的问题，关键是抓住()t x ?=的定义域和值域．

要使[]log ()a y x ?=的定义域为R ，则对于任意实数x 恒有()0x ?>，特别是当2()(0)x ax bx c a ?=++≠时，要使[]log ()a y x ?=的定义域为R ，则有0a >且0?<；若[]log ()a y x ?=的值域为R ，则()x ?必须取遍(0)+，∞内所有的值，即对于函数()t x ?=而言，必须有()t x ?=的值域包含(0)+，∞．因为如果()(0)x m m ?>≥，则当1a >时，有[]log ()a y x ?=log a m ≥；当01a <<时，有[]log ()a y x ?=log a m ≤，因此其值域一定不为R ，特别是当2

()(0)x ax bx c a ?=++≠，要使[]log ()a y x ?=的值域为R ，则有0a >且0?≥．

例 已知函数221()log (1)4f x ax a x ?

?=+-+????

． （1） 若定义域为R ，求实数a 的取值范围；

（2） 若值域为R ，求实数a 的取值范围．

解：（1）要使()f x 的定义域为R ，则对任意实数x 都有21(1)04

t ax a x =+-+>恒成立．

当0a =时，不可能；

当0a ≠时，由二次函数图象可知． 0a >，且2(1)0a a ?=--<．

a <<

故所求实数a a <<

（2）要使()f x 的值域为R ，则须21(1)4

t ax a x =+-+的值域必包含(0)+，∞，当0a =时，显然成立；当0a ≠时，由二次函数图象可知，其二次函数图象必须与x 轴

相交且开口向上，故有20(1)0a a a >???=--?，，

≥

解得302a <≤

，或32

a +≥． 故所求实数a

的取值范围是302a -<≤

，或32a ≥．