合作博弈 shapley值PPT课件
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专题二合作博弈PPT课件
确定: x1+x2>=4 x1+x3>=3 x2+x3>=1 x1+x2+x3=5 xi>=0
其解为A={x=(x1,x2,x3)| x1+x2+x3=5, xi>=0}
内以(4,0,1,),(4,1,0),(3,2,0),(2,2,1)为顶点的四
边形，如图：
（0,0,5）
(4,1,0)
(2,2,1) 核
定义3：对于联盟博弈<N,v>，集合s(V)
I(v) 称为联盟博弈 <N,v>的稳定集，如果 以下条件成立：
（1）S (V) 中任意分配x都不优于 S (V)中的其 余分配 。
(说明稳定集内部任何两个分配无优超关系即 内稳定性)
（2）不属于S (V)中的任何分配y，总可以在 S (V)中找到优于y的分配x。（ 外稳定性）
v{1,2}= v{2,3}= v{1,3}= v{1,2,3}=2 三人利润分配是向量x=(x1,x2,x3)，满足
x1+x2+x3= v{1,2,3}=2, (x1,x2,x3)>=0 如果联盟{1，2}形成，即局中人1、2合伙，
则分配x=（1，1，0）是合理的。
否则，局中人1要求采取分配（1+ ，1- ， 0），其中 （0，1），那么局中人2与局
特征函数是研究联盟博弈的基础，确定特
征函数的过程实际就是一个建立合作博弈
的过程 定义1：称向量x=(x1,x2,…xm)是联盟
S={1,2,..m}的一个分配，如果它满足:
m
(1) xi v(S )
xii1
(2) v{i}, i=1,2,….,m
(整体合理性) （个体合理性）
其解为A={x=(x1,x2,x3)| x1+x2+x3=5, xi>=0}
内以(4,0,1,),(4,1,0),(3,2,0),(2,2,1)为顶点的四
边形，如图：
（0,0,5）
(4,1,0)
(2,2,1) 核
定义3：对于联盟博弈<N,v>，集合s(V)
I(v) 称为联盟博弈 <N,v>的稳定集，如果 以下条件成立：
（1）S (V) 中任意分配x都不优于 S (V)中的其 余分配 。
(说明稳定集内部任何两个分配无优超关系即 内稳定性)
（2）不属于S (V)中的任何分配y，总可以在 S (V)中找到优于y的分配x。（ 外稳定性）
v{1,2}= v{2,3}= v{1,3}= v{1,2,3}=2 三人利润分配是向量x=(x1,x2,x3)，满足
x1+x2+x3= v{1,2,3}=2, (x1,x2,x3)>=0 如果联盟{1，2}形成，即局中人1、2合伙，
则分配x=（1，1，0）是合理的。
否则，局中人1要求采取分配（1+ ，1- ， 0），其中 （0，1），那么局中人2与局
特征函数是研究联盟博弈的基础，确定特
征函数的过程实际就是一个建立合作博弈
的过程 定义1：称向量x=(x1,x2,…xm)是联盟
S={1,2,..m}的一个分配，如果它满足:
m
(1) xi v(S )
xii1
(2) v{i}, i=1,2,….,m
(整体合理性) （个体合理性）
博弈论的几个经典模型ppt课件
博弈论的几个经典模型
22
模型二、囚徒困境/非合作博弈
该博弈刻划了两大难题： • 冲突情形下，参与人的目标是什么？是采用(作 为个人 ) 他自己的最好策略，还是采用 ( 作为集 体的一员)他们共同的最好策略？前者导致均衡 策略 ( 坦白，坦白 ) ，支付为 (-8 ， -8) ；后者的最 好策略是 ( 抵赖，抵赖 ) ，支付为 (-1 ， -1) 。这里 反映了个体理性行为与集体理性行为之间的矛 盾、冲突。 • 此博弈只进行一次还是重复进行？如果博弈只 进行一次，参与人似乎只有坦白才是最好的策 略，因为没有理由相信对手会对你有信心，他 总认为你自己会坦白；因此，双方都采取坦白 策略。然而，若博弈进行多次，则结论将会发 生变化。
第四章 博弈论的几个经典模型
1
引言
博弈论又被称为对策论（Game Theory)， 按照2005年因对博弈论的贡献而获得诺贝尔经 济学奖的Robert Aumann教授的说法，博弈论 就是研究互动决策的理论。所谓互动决策， 即各行动方（即局中人[player]）的决策是相互 影响的，每个人在决策的时候必须将他人的 决策纳入自己的决策考虑之中，当然也需要 把别人对于自己的考虑也要纳入考虑之 中……在如此迭代考虑情形进行决策，选择 最有利于自己的战略(strategy)。
此外此外还与会计学还与会计学统计学统计学数学基础数学基础社会心理学社会心理学以及诸如认识论与伦理学等哲学分支有重要联以及诸如认识论与伦理学等哲学分支有重要联博弈论的几个经典模型按照按照aumannaumann所撰写的所撰写的新帕尔格雷夫经新帕尔格雷夫经济学大辞典济学大辞典博弈论博弈论辞条的看法辞条的看法标准的标准的博弈论分析出发点是理性的博弈论分析出发点是理性的而不是心理的而不是心理的或社会的角度或社会的角度
SHAPLEY值方法介绍
合作博弈
纳什均衡
……
SHAPLEY值
……
3
一、SHAPLEY值介绍
3.SHAPLEY值的思想
• 目的 在一个大联盟N中，根据给定不同合作方式 S对应的贡献函数v,得出最优利益分配（成 本分摊）方案。
• 思想 参与者所应获得的效益x(i)等于该参与者对 每一个它所参与的联盟的边际贡献的期望 值。
4
目录
最后，求得考虑投入因素时，应分利益
x’i(v)=xi(v)+ △xi(v)
13
THANK YOU.
14
博弈(N,v)的SHAPLEY值将大联盟的利益v(N)按照下述公式进行分摊：
w(S)表示概率，总和为1.
xi(v)
w(s)[v(S)- v(S- i)]; w(s) (s -1)!(n - s)!
S N
n!
对于联盟中的参与者i 的利益分配函数。
对于不同的S的边际收益。 即参与者加入系统而带来的收益。
1001/3 400
1200
2
w(S)
1/2
1/2
w(S)
1/2
1/2
w(S)[v(S)- v(S\{1})] 50
300
w(S)[v(S)- v(S\{1})] 50
200
解当得N=：{1x,21(}v时)=，40A0、. 同B各理分可得得3，50x2元(v；)=当35N0=, {x13(,3v)}=时2，50A. 、C各 分得250元。
权重可采用ANP、AHP、模
k，∑k=1.
糊数学等方法确定。
显然，各成员的各种投入为Cik,各成员i的投入Di= ∑Cik. k 可求得，各成员i实际承担的投入因子D’i=Di/∑Di, ∑D’i=1. 实际投入因子与理论均摊因子1/n的差值：△Di=D’i-1/n
纳什均衡
……
SHAPLEY值
……
3
一、SHAPLEY值介绍
3.SHAPLEY值的思想
• 目的 在一个大联盟N中，根据给定不同合作方式 S对应的贡献函数v,得出最优利益分配（成 本分摊）方案。
• 思想 参与者所应获得的效益x(i)等于该参与者对 每一个它所参与的联盟的边际贡献的期望 值。
4
目录
最后，求得考虑投入因素时，应分利益
x’i(v)=xi(v)+ △xi(v)
13
THANK YOU.
14
博弈(N,v)的SHAPLEY值将大联盟的利益v(N)按照下述公式进行分摊：
w(S)表示概率，总和为1.
xi(v)
w(s)[v(S)- v(S- i)]; w(s) (s -1)!(n - s)!
S N
n!
对于联盟中的参与者i 的利益分配函数。
对于不同的S的边际收益。 即参与者加入系统而带来的收益。
1001/3 400
1200
2
w(S)
1/2
1/2
w(S)
1/2
1/2
w(S)[v(S)- v(S\{1})] 50
300
w(S)[v(S)- v(S\{1})] 50
200
解当得N=：{1x,21(}v时)=，40A0、. 同B各理分可得得3，50x2元(v；)=当35N0=, {x13(,3v)}=时2，50A. 、C各 分得250元。
权重可采用ANP、AHP、模
k，∑k=1.
糊数学等方法确定。
显然，各成员的各种投入为Cik,各成员i的投入Di= ∑Cik. k 可求得，各成员i实际承担的投入因子D’i=Di/∑Di, ∑D’i=1. 实际投入因子与理论均摊因子1/n的差值：△Di=D’i-1/n
合作博弈与讨价还价ppt课件
核的特征
定理1：I人合作博弈 ，（V）中的核由所有满 下足 条以
件的I维向量 x(x1,x2,,xI )组成：
（1）对任S意， xi V(S); iS (2)xi V() i
• 定理2：本质的常和合作博弈的核是空的。
•垃圾博弈：在一区域中住着7户居民，每户居 民每天产生一袋垃圾，这些垃圾只能扔在这一 区域的某一户人家领地（区域中没有空地）。
• 记Vn(n=0,1, …,7)表示任意n个局中人组成的 特征函数值，在合作博弈条件下，有：
V0=V()=0
V1=-6
V2=-5 V3=-4， V4=-3， V6=-1， V7=-7
V5=-2
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
（3）联盟能保证自己得到的效用，它是联盟外收益的 最悲观的评价。对应的合作博弈均衡集合是合作博弈 的核心。
• 在优超这一思路下，合作博弈的解概念还包括：稳定 集、谈判集、核心、核仁等
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
合作博弈存在的基本条件
• 合作博弈存在的两个基本条件： （1）对联盟来说，整体收益大于其每个成员单
独经营时的收益之和； （2）对联盟内部而言，应有着具有帕累托改进
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
精品课程《博弈论》PPT课件(全)
人博弈 两人博弈有多种可能性，博弈方的利益方向可
能一致，也可以不一致
三、多人博弈
三个博弈方之间的博弈 可能存在“破坏者”：其策略选择对自身的利
益并没有影响，但却会对其他博弈方的利益产 生很大的，有时甚至是决定性的影响。申办奥 运会是典型例子。 多人博弈的表示有时与两人博弈不同，需要多 个得益矩阵，或者只能用描述法
动态博弈、重复博弈。
静态博弈：所有博弈方同时或可看作同时选择 策略的博弈 —田忌赛马、猜硬币、古诺模型
动态博弈：各博弈方的选择和行动又先后次序 且后选择、后行动的博弈方在自己选择、行 动之前可以看到其他博弈方的选择和行动 —弈棋、市场进入、领导——追随型市场 结构
重复博弈：同一个博弈反复进行所构成的博弈， 提供了实现更有效略博弈结果的新可能 —长期客户、长期合同、信誉问题
博弈论
孔融四届时，有一夛，父亭乘了冩丢梨回宛，
陶谦吏亸叹孜癿时俳，又问亸：“亵绉泶孜癿 觇
店看，佝觏为叴小梨刁算叾？”孔融回答该： “我丌
过觑了一次梨，哏哏単因此爱抋了我一辈子， 社伕
乔绎了我杳高癿荣觋。奝杸抂觑出癿遲丢多梨 看俺
昤道徇成本，简直就昤一本万利唲！
阿克洛夫：买卖
主对于要交易的“旧 车”存在信息不对称， 买主通常不愿意出高 价，这样持有好车的 买主只好退出市场， 市场上都剩下“坏 车”，买主则越来越 不愿意光顾，旧车市 场萎缩直至消失。
20 (q1 q2 q3)
0
i P qi [20 q1 q2 q3 ] qi
No Q 20
Q 20
Image
q1
q2
q3
P
1
2
3
4
8
6
2
8
16
能一致，也可以不一致
三、多人博弈
三个博弈方之间的博弈 可能存在“破坏者”：其策略选择对自身的利
益并没有影响，但却会对其他博弈方的利益产 生很大的，有时甚至是决定性的影响。申办奥 运会是典型例子。 多人博弈的表示有时与两人博弈不同，需要多 个得益矩阵，或者只能用描述法
动态博弈、重复博弈。
静态博弈：所有博弈方同时或可看作同时选择 策略的博弈 —田忌赛马、猜硬币、古诺模型
动态博弈：各博弈方的选择和行动又先后次序 且后选择、后行动的博弈方在自己选择、行 动之前可以看到其他博弈方的选择和行动 —弈棋、市场进入、领导——追随型市场 结构
重复博弈：同一个博弈反复进行所构成的博弈， 提供了实现更有效略博弈结果的新可能 —长期客户、长期合同、信誉问题
博弈论
孔融四届时，有一夛，父亭乘了冩丢梨回宛，
陶谦吏亸叹孜癿时俳，又问亸：“亵绉泶孜癿 觇
店看，佝觏为叴小梨刁算叾？”孔融回答该： “我丌
过觑了一次梨，哏哏単因此爱抋了我一辈子， 社伕
乔绎了我杳高癿荣觋。奝杸抂觑出癿遲丢多梨 看俺
昤道徇成本，简直就昤一本万利唲！
阿克洛夫：买卖
主对于要交易的“旧 车”存在信息不对称， 买主通常不愿意出高 价，这样持有好车的 买主只好退出市场， 市场上都剩下“坏 车”，买主则越来越 不愿意光顾，旧车市 场萎缩直至消失。
20 (q1 q2 q3)
0
i P qi [20 q1 q2 q3 ] qi
No Q 20
Q 20
Image
q1
q2
q3
P
1
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8
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16
合作博弈
I { A, B, C}
v( A) v( B) v(C ) 0
则
1 v( A, B) 1, v( A, C ) 1, v( B, C ) 0 w( 2) 6 1 w(3) v( A, B, C ) 1 3 P 2 / 3; P2 1 / 6; P3 1 / 6 1
v(1) v(2) v(3) v(4) 0
v(1,2) 3, v(1,3) 3, v(1,4) 0 v(2,3) 0, v(2,4) 0, v(3,4) 0 v(1,2,3) 3, v(1,2,4) 6 v(1,3,4) 6, v(2,3,4) 0
非合作博弈是研究人们在利益相互影响的局势中如何选决策 使自己的收益最大，即策略选择问题。（纳什均衡） Shapley 公平三原则 原则1：报酬与名字无关，只与各人的贡献有关； 原则2：利润属于工作者； 原则3：若有二件工作 ，可得二份酬劳。
符号说明
I {1,2,3,, n}
SI
——合作博弈的n方
v(1,2,3,4) 6
按Shapley值计算公式
P 3.25; P2 0.75; P 0.75; P4 1.25 1 3
收益分配模型的应用
权力问题：有ABC三个议员，A有两票，BC各有一票，这三个 人组成一个议会，对某项议题进行投票。假定此时获胜原则 是多数规则，即4票中获3票就通过，假定不存在弃权票，那 么他们各自的权力有多大呢？ 分析
——n方的子集合
v(S )
——相应的效益
Pi
——i在合作收益中应得到的一份收入
T
P (P (v), P2 (v),, Pn (v)) 1
分配公式为
——Shapley值
shapley value
shapley value
shapley value，通常被翻译为夏普利值、沙普利值，来源于合作博弈理论，是一种基于贡献的分配方式。
shapley value的由来
合作博弈在理论上的重要突破及其以后的发展在很大程度起源于夏普利（Shapley， 1953）提出的夏普利值的解的概念及其公理化刻画。
夏普利首先对主观的、公平、合理等概念给予了严格的公理化描述，然后寻求是否有满足人们想要的那些公理的解。
当然，如果对一个解的性质或公理要求太多，则这样的解可能不存在；另一方面，如果这些性质或公理要求得少，则又可能有许多解，即解存在但不唯一。
夏普利值是一个满足三个显而易见的公平性质的唯一解。
第六章、合作博弈 《经济博弈论基础》PPT课件
与摩根斯特恩提出来的概念，有时被 记为VN-M解。记所有可能分配组成的集合为E(V)，则稳定 集定义如下：
• 定义4：对于n人合作博弈(N,V)，分配集 W E(V )为稳定集， 则W满足:
(1)（内部稳定性）不存在 x, y W ，满足 x y； (2)（外部稳定性）对 y W ,x W，使得 x y 。
(N,V)，有 i[U V ] i[U] i[V ]
4、夏普利值（Shapley value）
• 公理 (S1)反映了帕累托最优性的要求，表示分配收益时，不
七、策略型博弈向特征函数型博弈的转化
对于特征函数的上述求法，主要的批评是：它忽略 了联盟外局中人使联盟面临最坏处境时，自己也将付 出代价（有时代价很高）。
Harsayni认为，特征函数的取值应该由联盟与其对 立联盟（联盟外所有局中人形成的联盟）之间的一次 谈判而决定。
第二节 合作博弈解
一、合作博弈求解思路 合作博弈理论求解的目的： 得到博弈的“理性”最终分配，主要方法有 两种：优超与赋值。
(2) 分配：合作博弈的一个分配是指对n个局中人来说，存
在一个向量 x (x1,, xn ) ，满足：
(1) xi V (N) ；(2) xi V (i)。
其中V(N)表示n个局中人总的最大收益，V(i)表示局中人i不 与任何人结盟时的收益。
三、分配定义中两个条件的含义
条件(1)是群体理性，说明个人分配的收益和正好 是各种联盟形式总的最大收益；
七、策略型博弈向特征函数型博弈的转化
V(Φ)=0，没有人的联盟是不会有任何收益的;
V(1)=0，局中人2能使局中人1面临的最坏情形是局中人2取
策略
s
1 2
，局中人1将不得不在0与-1之间选择。
• 定义4：对于n人合作博弈(N,V)，分配集 W E(V )为稳定集， 则W满足:
(1)（内部稳定性）不存在 x, y W ，满足 x y； (2)（外部稳定性）对 y W ,x W，使得 x y 。
(N,V)，有 i[U V ] i[U] i[V ]
4、夏普利值（Shapley value）
• 公理 (S1)反映了帕累托最优性的要求，表示分配收益时，不
七、策略型博弈向特征函数型博弈的转化
对于特征函数的上述求法，主要的批评是：它忽略 了联盟外局中人使联盟面临最坏处境时，自己也将付 出代价（有时代价很高）。
Harsayni认为，特征函数的取值应该由联盟与其对 立联盟（联盟外所有局中人形成的联盟）之间的一次 谈判而决定。
第二节 合作博弈解
一、合作博弈求解思路 合作博弈理论求解的目的： 得到博弈的“理性”最终分配，主要方法有 两种：优超与赋值。
(2) 分配：合作博弈的一个分配是指对n个局中人来说，存
在一个向量 x (x1,, xn ) ，满足：
(1) xi V (N) ；(2) xi V (i)。
其中V(N)表示n个局中人总的最大收益，V(i)表示局中人i不 与任何人结盟时的收益。
三、分配定义中两个条件的含义
条件(1)是群体理性，说明个人分配的收益和正好 是各种联盟形式总的最大收益；
七、策略型博弈向特征函数型博弈的转化
V(Φ)=0，没有人的联盟是不会有任何收益的;
V(1)=0，局中人2能使局中人1面临的最坏情形是局中人2取
策略
s
1 2
，局中人1将不得不在0与-1之间选择。
第七章 合作博弈 《博弈论与经济》 PPT课件
能取得的产出份额，如果 A 与 B 达成了协议，则分别以努力水 平 eA 0 ，eB 0 投入生产， A , B 的利润函数分别为
A (eA , eB ) xQ cA , B (eA , eB ) (1 x)Q cB
▪ 容易计算出纳什均衡努力水平
3
1
1
3
e*A
x 4 (1
3
x) 4
。
2
2
▪ 对于命题7.1中两式可解释如下：参与人 A, B 对于分割
单位
利益进行讨价还价。他们所达成的协议是，首先分给A 支付 u ，
分给 B 支付 v ，然后再平分剩余利益 u v 。
▪ 7.1.2 不对称纳什讨价还价（谈判）解 ▪ 一般的纳什讨价还价（谈判）解的概念 ▪ 纳什讨价还价解取决于可能的支付向量集合 S 与 d 无协议点 。此
x
(
3 4
,1)上严格递减。U
B
(
x)
上严格递减。因而，可
4
4
4
行支付向量集合 S 的帕累托有效边界为
。
{(u, v)
x [1 4
,
3 ]满足U 4
A (x)
u, U b
(x)
v}
▪ 纳什讨价还价解中 所得的协议x 是下述最大化问题的解
max U
x[ 1 , 3]
A
(
x)U
B
(
x)
44
▪ 其解为 x* 1
▪ 定义7.2 对于局中人集合 N {1,2,, n} 的任一子集 S，给定集合 S 的支
付v(S，) 如果 v满足
▪ v() 0 ，
▪ 则称 v() 为特征函数，称 N,v 为具有可转移支付的联盟博弈。
A (eA , eB ) xQ cA , B (eA , eB ) (1 x)Q cB
▪ 容易计算出纳什均衡努力水平
3
1
1
3
e*A
x 4 (1
3
x) 4
。
2
2
▪ 对于命题7.1中两式可解释如下：参与人 A, B 对于分割
单位
利益进行讨价还价。他们所达成的协议是，首先分给A 支付 u ，
分给 B 支付 v ，然后再平分剩余利益 u v 。
▪ 7.1.2 不对称纳什讨价还价（谈判）解 ▪ 一般的纳什讨价还价（谈判）解的概念 ▪ 纳什讨价还价解取决于可能的支付向量集合 S 与 d 无协议点 。此
x
(
3 4
,1)上严格递减。U
B
(
x)
上严格递减。因而，可
4
4
4
行支付向量集合 S 的帕累托有效边界为
。
{(u, v)
x [1 4
,
3 ]满足U 4
A (x)
u, U b
(x)
v}
▪ 纳什讨价还价解中 所得的协议x 是下述最大化问题的解
max U
x[ 1 , 3]
A
(
x)U
B
(
x)
44
▪ 其解为 x* 1
▪ 定义7.2 对于局中人集合 N {1,2,, n} 的任一子集 S，给定集合 S 的支
付v(S，) 如果 v满足
▪ v() 0 ，
▪ 则称 v() 为特征函数，称 N,v 为具有可转移支付的联盟博弈。
合作博弈 shapley值PPT课件
2 1/6
0
13
x1 =19.7, x2 =32.1,
x2最大，如何解释？
三 x3=城1在2.2总投资556中的分
城1 C(1)-x1=担210.4, 城2 C授(课2：)X-XxX2=127.8, 城3 C(3)- 14 x3=217.8
合作对策的应用 例2 派别在团体中的权重
• 90人的团体由3个派别组成，人数分别为40, 30, 20人. 团体表决时需过半数的赞成票方可通 •过若. 每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用 Shapley合作对策计算各派别在团体中的权重.
平均分配获利B
di xi
2）Nash解 1）协商解
授课：XXX
19
（3）最小距离解 记 x(x1, ,xn)为 x的上
模
mi n ( x i x i ) 2
i
型 s.t. xi B
xi xi
若令 xi Bbi
第i 方的边际效益
x i
xi 1n(xi B)
xi 1nbi bi B n
例 .b(4,5,7),B11 3）最小距离解
s S i
(ns)!(s1)! w(s)
n!
s~子集 s中的元素数目， Si ~包含i的所有子
集[v(s)v(s\i)] ~ i 对合作s 的“贡献” (is)
w( s ) ~由s决定的“贡献”的权重
授课：XXX
8
三人(I={1,2,3})经商中甲的分配x1的计算
x1 w (s)v [(s)v(s\1)] s S1
x (7 ,6 ,4 ),x i B 6 , 1）协商解
xx(2 ,2 ,2)(5 ,4 ,2)
授课：XXX
20
（4）满意解
合作博弈ppt课件
要讨论的问题，我们主要讨论的问题是局中人如何分配通过合作所获得 的收益或效用。
联盟与特征函数
设局中人集合 N{1,2,,n}，称 N的任一子集为一个联盟。为方便， 把 N 的空子集 也视为一个联盟。记所有联盟构成的集类为 B。
对 SB ，用 v ( S ) 表示联盟 S中的局中人通过合作所能获得的最大
分配的优超关系
为了比较哪个分配好些，给出以下定义。
定义7.4 设有分配 x, yI(v)，及联盟 SB ,如果
(1) 对 iS,xi yi ，
(2) x i v ( S )
i s
则称联盟
S 为分配
x优于分配
y，记作 x s
y。如果对于,I(v)，存
在一个联盟
TB，使
T
，则称 优于
，记为
v({1,2,3})=10，v () 显然满足超可加性，于是我们建立了联盟博弈 N , v 。
特征函数是研究联盟博弈的基础，确定特征函数过程实际就是一个建立 合作博弈模型的过程。有的问题，特征函数可以容易地得到，有的问题 需要仔细分析，甚至需要一些专业知识。
若对 S,TB， ST，都有 v(ST)v(S)v(T),则称 v满
(1) 每个工厂每天必须因每个直接向湖中排放污水的工厂（包括自身）花 费 c 美元净化它所用的水。
（2）每个工厂可以安装一个过滤器，在污水排回湖中之前就将水净化。 每个工厂每天的净水费用为 b 美元。
为使问题有意义，假设 0cbnc。
（3） s(1,2,,n)个局中人可以组成一个联盟 S，共同决定是否采用过
任何人结盟，余下1与3各持己见。(1,0,1) 不构成分配。同样，如果
{2 ,3} 结盟，y (0,1,1)是合理的分配 ；{1,3} 结盟，z (1,0,1) 是
联盟与特征函数
设局中人集合 N{1,2,,n}，称 N的任一子集为一个联盟。为方便， 把 N 的空子集 也视为一个联盟。记所有联盟构成的集类为 B。
对 SB ，用 v ( S ) 表示联盟 S中的局中人通过合作所能获得的最大
分配的优超关系
为了比较哪个分配好些，给出以下定义。
定义7.4 设有分配 x, yI(v)，及联盟 SB ,如果
(1) 对 iS,xi yi ，
(2) x i v ( S )
i s
则称联盟
S 为分配
x优于分配
y，记作 x s
y。如果对于,I(v)，存
在一个联盟
TB，使
T
，则称 优于
，记为
v({1,2,3})=10，v () 显然满足超可加性，于是我们建立了联盟博弈 N , v 。
特征函数是研究联盟博弈的基础，确定特征函数过程实际就是一个建立 合作博弈模型的过程。有的问题，特征函数可以容易地得到，有的问题 需要仔细分析，甚至需要一些专业知识。
若对 S,TB， ST，都有 v(ST)v(S)v(T),则称 v满
(1) 每个工厂每天必须因每个直接向湖中排放污水的工厂（包括自身）花 费 c 美元净化它所用的水。
（2）每个工厂可以安装一个过滤器，在污水排回湖中之前就将水净化。 每个工厂每天的净水费用为 b 美元。
为使问题有意义，假设 0cbnc。
（3） s(1,2,,n)个局中人可以组成一个联盟 S，共同决定是否采用过
任何人结盟，余下1与3各持己见。(1,0,1) 不构成分配。同样，如果
{2 ,3} 结盟，y (0,1,1)是合理的分配 ；{1,3} 结盟，z (1,0,1) 是
shap value原理
shap value原理1. 简介SHAP（Shapley Additive Explanations）是一种解释机器学习模型预测结果的方法，它基于博弈论中的Shapley值概念。
SHAP值能够量化每个特征对于模型预测结果的贡献程度，从而提供了对模型预测的解释能力。
2. Shapley值Shapley值是博弈论中用于衡量合作博弈中每个参与者对于合作收益的贡献程度的方法。
在机器学习中，我们可以将模型预测看作是一个合作博弈，特征是参与者，模型预测结果是合作收益。
Shapley值通过对所有可能的特征子集进行加权平均来计算每个特征的贡献程度。
Shapley值的计算方法是通过对特征子集进行排列组合，计算每个特征在不同的特征子集中的平均贡献。
具体而言，对于每个特征，我们将其加入到不同的特征子集中，计算模型预测结果的变化，从而得到该特征的贡献值。
最后，对所有可能的特征子集进行加权平均，得到每个特征的Shapley值。
3. SHAP值的计算方法在实际应用中，计算所有可能的特征子集的Shapley值是不可行的，因为特征的数量通常很大。
为了解决这个问题，SHAP提出了一种近似计算Shapley值的方法，即基于特征的重要性排序。
具体而言，SHAP方法首先对特征进行排序，然后依次计算每个特征的Shapley值。
在计算每个特征的Shapley值时，只考虑该特征之前已经计算过的特征子集，而忽略该特征之后的特征子集。
这样可以大大减少计算量，提高计算效率。
4. SHAP值的应用SHAP值可以用于解释机器学习模型的预测结果，帮助我们理解模型是如何做出预测的。
通过分析每个特征的SHAP值，我们可以得到以下几个方面的信息：4.1 特征重要性通过分析每个特征的SHAP值，我们可以得到每个特征对于模型预测结果的贡献程度。
这可以帮助我们确定哪些特征对于模型的预测结果起到了重要作用，从而进行特征选择或者特征工程。
4.2 特征相互作用SHAP值还可以帮助我们分析特征之间的相互作用。
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授课：XXX
3
Shapley值算法缺点
、
授课：XXX
4
效益的合理分配
授课：XXX
5
例 甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元， 甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元， 三人合作获利11元. 又知每人单干获利1元. 问三人合作时如何分配获利？
记甲乙丙三人分配为
x(x,x,x) 123
xxx11
1
2
2 1/6
0
13
x1 =19.7, x2 =32.1,
x2最大，如何解释？
三 x3=城1在2.2总投资556中的分
城1 C(1)-x1=担210.4, 城2 C授(课2：)X-XxX2=127.8, 城3 C(3)- 14 x3=217.8
合作对策的应用 例2 派别在团体中的权重
• 90人的团体由3个派别组成，人数分别为40, 30, 20人. 团体表决时需过半数的赞成票方可通 •过若. 每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用 Shapley合作对策计算各派别在团体中的权重.
团体 I={1,2,3}，依次代表3个派
v ( 1 2 ) C ( 1 ) C ( 2 ) C ( 1 , 2 ) 2 1 3 3 6 4 0 5 0 0 0
v(2 3 )C (2)C (3 )C (2,3 )16 203 306 255 v(1 3 )0
v(I)C (1 )C (2)C (3 )C (1 ,2,3 )23 106 203 505 664
C(1)C(3)460合作不会实现
授课：XXX
11
5）三城合
DC (1 ,2 ,3 )7(3 535 )0 .71 20 .65 6 0 .512 5
作总投资 0 .6(5 6 3 )0 .513 8 556
D5最小, 应联合建厂
D5如何分担？ C (1) 230
建厂费：d1=73(5+3+5)0.712=453 C (2) 160
x(x1,x2,x3)~三城从节约投资v(I)中得到的分配
授课：XXX
13
计算城1从节约投资中得到的分配x1
s
1
v(s)
I 0
64
v(s \1)
0
v(s)v(s\1)
25 0
39
s
1
3
w( s )
1/3
1/3
w (s)v [(s)v(s\1 1/6 6.7
1 3
0 0 0
3
解不唯一
x1 x2 7 x1 x3 5 x2 x3 4
(5，3，3) (4，4，3) (5，4，2)
x1,x2,x3 1 …… 授课：XXX
6
(1) Shapley合作对策
集 I { 合 1 ,2 , ,n } 子s 集 I， 实函 v(s)满 数
v()0 v(s1 s2)v(s1)v(s2)s ,1 s2
S1
1
1 2
1 3 I
v(s)
1
7
5
11
v(s \1)
0
1
1
4
v(s)v(s\1)
1
6
s
1
2
4
7
2
3
w( s )
1/3
1/6
w (s)v [(s)v(s\1)] 1/3
1
1/6
1/3
2/3
7/3
x1=13/3 类似授可课：得XXXx2=23/6,
9
x3=17/6
合作对策的应用 例1 污水处理费用的合理分担
[ I,v] ~n人合作对策，v~特征函 v(s) ~ 子集s的获
数x (x 1 ,x 2 , ,x n )~n人从v(I)得到利的分配，满足
n
xi v(I)
i1
x i v ( i), i 1 ,2 , ,n
授课：XXX
7
Shapley合作对策
公理化方法
Shapley
值
x i w (s)v ( [s) v (s\i)]i ,1 ,2 , n
1）单独建厂 C ( 1 ) 7 5 0 3 .71 2 2 ,C 3 ( 2 ) 0 1,C 6 ( 3 ) 0 23
总投资 D C (1 ) C (2 ) C (3 ) 620 1
2）1, 2合 作 总投资
3）2, 3合 作 总投资
C ( 1 ,2 ) 7 ( 5 3 3 ) 0 .71 0 2 .65 0 6 .51 2 3 05
三城镇地理位置示意图
20km
1 Q1=5
Q2=3 2
河流
38km
3
Q3=5
• 污水处理，排入河流.
Q~污水量，L~管道长度
•三城镇可单独建处理厂， 或联合建厂(用管道将污水 由上游城镇送往下游城镇).
建厂费用P1=73Q0.712 管道费用P2=0.66Q0.51L
授课：XXX
10
污水处理的5 种方案
s S i
(ns)!(s1)! w(s)
n!
s~子集 s中的元素数目， Si ~包含i的所有子
集[v(s)v(s\i)] ~ i 对合作s 的“贡献” (is)
w( s ) ~由s决定的“贡献”的权重
授课：XXX
8
三人(I={1,2,3})经商中甲的分配x1的计算
x1 w (s)v [(s)v(s\1)] s S1
D5 12 管道费：d2=0.66 50.51 20=30 C (3) 230
23 管道费：d3=0.66 (5+3)0.51
城3建议38：=7d31 按 5:3:5分担, d2,d3由城1,2担负
城2建议：d3由城1,2按 5:3分担, d2由城1担 城负1计算：城3分担 d15/13=174<C(3),
Shapley值
——利润分配的一个“公正”解
授课：XXX
1
Shapley值的思想
•目的 在一个大联盟N中，根据给定不同方式S对应的贡献函数v，
得出最优利益分配（成本分摊）方案。
•思想 参与者所应获得的效益x（i）等于该参与者对每一个它所
参与的的联盟的边际贡献的期望值。
授课：XXX
2
Shapley值是边际盈利向量的算数平均：
不同意! 城2分担 d13/13+d3 3/8 =132<C(2),
城1分担 d1授5课/：1X3XX+d3 5/8+ d2
12
=250>C(1)
Shapley合作对 集I合 {1,2,3} 策
特征函数v(s)~联合(集s)建厂比单独建厂节约的投
资v () 0 , v ( 1 ) v ( 2 ) v ( 3 ) 0
D 2C (1 ,2 )C (3 )580
C ( 2 ,3 ) 7( 3 3 5 ) 0 .71 0 2 .63 0 6 .51 3 3 86
D 3C (1 )C (2,3)595
4）1, 3合 作
C ( 1 ,3 ) 7( 5 3 5 )0 .71 0 2 .65 0 6 .51 5 4 8