抽象函数模型抽象函数模型化总结
抽象函数模型抽象函数模型化总结
高三数学总复习——抽象函数
所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。
常见的抽象函数对应的初等函数模型如下: 初等函数模型
抽象函数性质正比例函数
一次函数幂函数二次函数（a≠0）
f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c 指数函数对数函数或f(xm)=mf(x) 余弦函数正切函数下面从这一认识出发，例谈七种类型的抽象函数及其解法。
（备注：解小题可参对应的具体函数，解大题得赋值，可在草纸上借助具体函数验证赋值所得结果是否正确。另并不是所有的抽象函数都能找到中学阶段所学的初等函数，此时，只能通过赋值解决问题。）
一．以正比例函数为模型的抽象函数
正比例函数是满足函数恒等式的最常见的模型。若我们能从这个具体的模型出发，根据解
题目标展开联想，给解题带来了思路。
例1、已知函数对任意实数，均有，且当时，，，求在区间[－2，1]上的值域。
分析：由题设可知，函数是的抽象函数，因此求函数的值域，关键在于研究它的单调性。
解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f（x）为增函数。
在条中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f （0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，∴
f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，∴ f（x）的值域为［－4，2］。
二、以一次函数为模型的抽象函数
一次函数y=ax+b是满足函数恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）-b的最常见的模型。
例2、已知函数f（x）对任意，满足条f（x）＋f（y）＝
2+
f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。
分析：由题设条可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f （x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。
解：设，∵当，∴，则，
即，∴f（x）为单调增函数。
∵，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴，即，解得不等式的解为－1 < a < 3。
三、以幂函数为模型的抽象函数
幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。由幂函数的运算法则知是我们最熟悉的满足恒等式的函数。
例3、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f （x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；
（3）若，求a的取值范围。
分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。
解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），
∵f（－1）＝1，∴f（－x）＝f（x），∴ f（x）为偶函数。
（2）设，∴，，∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函数。
（3）∵f（27）＝9，又，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又，故。
四、二次函数型的抽象函数
例4.定义在的函数满足，，则等于（
） A．
2 B．3
C．6
D．9
解：法一;设函数为，由得到，又由，，知，；
法二：所以法三： 5、以指数函数为模型的抽象函数
由指数函数的性质知是满足恒等式的重要函数之一。
例5、已知函数对于一切实数、满足(0)≠0，，且当<0时，＞
1
（1）当＞0时，求的取值范围（2）判断在R上的单调性分析：由可知f（x）是指数函数的抽象函数，从而可猜想解：（1）对于一切、∈R，且(0)≠0
令==0，则(0)=1，现设＞0，则-＜0，∴f(-) ＞1 又(0)=(-)=
=1 ∴=
＞1∴0＜＜
1 （2）设<，、∈R，则－<0，(－)＞1且
＞1 ∴，∴f(x)在R上为单调减函数
六、以对数函数为模型的抽象函数
由对数函数的性质知是满足恒等式的重要函数之一。
例6、已知函数定义域为(0,+∞)且单调递增，满足(4)=1，
（1）证明：(1)=0；(2)求(16)；（3）若+ (-3)≤1，求的范围；
（4）试证()=（n∈N）
分析：由可知f（x）是对数函数的抽象函数，解:（1）
令=1，=4，则(4)=(1×4)=(1)+(4)∴(1)=0
（2）(16)=(4×4)=(4)+(4)=2 (3)+(－3)=［(－3)］≤1=(4) 在（0，+∞）上单调递增∴
∴ ∈（3，4]
（4）∵ ∴ 例7、设f
(x)是定义在R+上的增函数，且f
(x)=+ f (y)，若f (3)=1，，求x的取值范围。
分析：由f (x)=+ f (y) 可知f（x）是对数函数的抽象函数解：∵f(3)=
1 ∴ f (3)+ f (3)=
2 ∴f ()+f (3)=
f (9) =2 ∵f (x)=+ f(y) 即f (x)- f(y)=
∴ ∴f [x(x-5)]> f (9) ∵f (x)是定义在R+上的增函数
∴ 解得：
七、以三角函数为模型的抽象函数
如满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）或f（x）+f（y）的函数便是以余弦函数为模型的抽象函数；而满足f（x+y）的抽象函数，则常以正切函数为模型进行联想。
例8、设函数满足，且()=0，、∈R；求证：为周期函数，并指出它的一个周期。
分析：由和=2coscos知，本题应是以余弦函数为模型的函数解：令=+，=
则=0 ∴∴为周期函数且2π是它的一个周期。
例9、已知函数满足，若，试求(20xx)。
分析：由和(+)=可知，本题应是以正切函为模型的函数解∵==- ∴(+4)=
∴是以4为周期的周期函数
又∵f(0)=20xx ∴===- ∴f(20xx)=- 综上所述，由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有相同或相似结构的基本函数，并由基本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具有的性质
“抽象—具体—抽象”的模型化思考方法，借此可帮助同学们捕捉到有益的解题信息，可使抽象函数问题顺利获解。
练习：
1、函数f(x)为R上的偶函数，对都有成立，若，则=（
B ）
A .20xx
B.
2 C.1 D.0 提示：先令2.f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)
且f(4)=2 ，则
（）
3.
。
（2000）
4．对任意整数函数满足：，若，则（c ）
A.-1
B.1
C.19
D.43
5.定义在的函数满足，，则（） A．
2 B．3
C．6
D．9
6．设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)=
-2,求f(x) 在[-3，3]上的最大值和最小值.
7.已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时，（1）f(x)在(0,+∞)上是增函数；
（2）解不等式高三数学总复习——函数的周期性与对称性
（同号看周期，异号看对称）
编号周期性对称性
1 →T=
2 →对称轴?是偶函数；
→对称中心（a,0）?是奇函数
2 →T=
→对称轴；
→对称中心；
3 f(x)=
-f(x+a)→T=2 f(x)=
-f(-x+a)→对称中心 4 →T=2 →对称中心 5 f(x) +f(-x+a)=
b→对称中心7 →T=6 8 →T=2 结论
(1) 函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (3) 函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数
y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b|
（4）
应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x)与y=f(b-x)关于对称；
y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点对称练习题
一、选择题：
1、已知是上的增函数，若令，则是上的（）
A．减函数
B．增函数
C．先减后增的函数
D．先增后减的函数
2、已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象与函数
的图象关于直线对称，则的值为
（）
A．
2 B．
1 C．0
D．不能确定
3、定义在上的函数满足，当时，单调递增，如果，且，则的值为（）
A．恒大于零
B．恒小于零
C．可能为零
D．可正可负
4、已知函数对于任意，有，且，则的值为（）
A．
2
B．
C．
D．
二、填空题：
5、若函数满足，且对任意都有
，则
。
6、定义在上的函数的图象关于点中心对称，对任意的实数都有，且，则的值为
。
7、函数对于任意实数满足条，若则__________。
8、若，则（1）函数的一个周期为
；（2）函数的一个周期为
.
9、若函数则的值为
。
三、解答题：
10、已知函数对任意非零实数都有，且时,。
（1）试判断函数的奇偶性；（2）求函数在上的值域；（3）解不等式。
11、设函数的定义域为，且满足对任意，有，且当时，。
（1）求的值；（2）判断的单调性并证明的你的结论；
（3）设,若,试确定的取值范围；（4）试举出一个满足条的函数。
12.
(2)当x∈(-1,0)时,有f(x)>0.
求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数；
（Ⅱ）
解:(1)易证f(x)是奇函数。
（2）易证f(x)在(-1,0),(0,1)上是单调递减函数.
参考答案（仅供参考）
一、选择题：
1 解：（1）特例：满足条的函数，如；
（2），是将函数的图象关于轴对称，再右移一个单位得到，单调递减，是将函数向左移动一个单位得到，在关于轴对称，单调递减，故选。
2、解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
关于点（1，0）对称.
因此，关于（0，1）对称即故 3、解：有，知中有一个小于2，一个大于2，不妨设，又由知以为对称中心，且当时，单调递增，所以，所以，故选。
4、解：，，
二、填空题：
5、解：（1）令
再令，（2）令，略。
6、解：由函数的图象关于点中心对称，得，
又由，所以，为偶函数
，令，由，得；
令，由，得， 7、解：由，得,
8、解：，把2x-3看成函数的自变量，
则得函数的一个周期为9；
所以，函数的一个周期为.
9、解：
三、解答题：
10、解：（1）令再令令，得
为偶函数
（2）
又且在上是单调递增函数解得故不等式的解集为11、解：（1）令
（2）任取
令令
（或）
函数在上单调递减。
（4）如函数图象变换一览表平移横向纵向伸缩横向纵向对称中心对称两条曲线即与关于点对称一条曲线若，则关于点对称轴对称斜率为1 点点斜率为-1 点点一条曲线若对满足,则关于直线对称注:由求得两条曲线函数与函数关于直线对称注:由解得对称轴对称
两条曲线与关于对称与关于轴对称与关于轴对称与关于对称（反函数内容酌情！）
与关于原点对称翻折是保留轴上方图像，并将轴下方图像向上翻折所得；（因为y≥0）
是保留轴右方图像，并将其向左翻折所得（为偶函数）
一、填空：
1、平移（）
向左平移个单位所得的函数为
；向右平移个单位所得的函数向上平移个单位所得的函数；向下平移个单位所得的函数
2、对称
（1）两个函数的对称与关于
对称；
与关于对称；
与关于对称；
与关于对称；
与关于对称；
与关于对称。
（2）函数自身的对称若，则关于对称；
若，则关于对称；
二、例题：
1．
（1）为奇函数，当时，，若的图像向左平移一个单位得，求的解析式。
（2）若的图像向右平移二个单位，向下平移一个单位，得到函数，求。
2．
（1）描述的图像经过怎样的变化得到和。
（2）描述的图像经过怎样的变化得到，并求出的对称中心。
（3）描述的图像经过怎样的变化得到和。
3．
（1）将函数的图像按平移得到的图像，求。
（2）若函数的图像按平移得到，求。
4．
图像经平移或翻转后仍不能与的图像重合的是
（）
A．
B.
D.
5．根据，作出、、、的图像。
6．（1），求关于对称的函数。
（2）求的对称轴和对称中心。
7．若对任何实数都成立，则的图像
（）
A．关于直线对称
B.关于直线对称
C．关于点对称 D.关于点对称 8 .分别求(1) (2)的单调增区间。
9.分别画出函数和的图像。
10 .把函数的反函数图像向右平移2个单位就得到曲线，函数的图像与曲线C关于直线成轴对称，求。
三、巩固练习
1、函数的图像与函数的图像关于原点对称，则的表达式为
。
2、直线与直线关于直线对称，则_______，_______。
3、已知函数的对称中心是，则
。
4、设函数的图像关于直线对称且时，有，则当时，的解析式为
5、设函数的图象关于直线对称，则
。
6、定义在上的函数满足条：不是常数函数，且与对任意成立，则对于下述命题中：
（1）是周期函数；（2）的图像关于直线成轴对称；
（3）的图像关于轴成轴对称；（4）的图像关于原点成中心对称。
正确命题的序号是
。
7、定义在上的函数，对任何都有，这个函数的图象的几何特征是
（）
关于原点对称
关于轴对称关于点对称关于点对称 8、函数的图象向左平移个单位得图象，再将向上平移一个单位得图象，关于直线的对称图象是，则的解析式为（
）
9、已知图①中的图象对应的函数，则图②对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是
（
）
10、函数的图象大致是
（）
11、设函数。
（1）作出在区间上画出函数的图像；
12、设是定义在上的偶函数，它的图像关于直线对称，已知时，，求当上的解析式。
13、已知函数
（1）求的单调区间；（2）若直线与有四个交点，求的取值范围；
（3）讨论关于的方程解的情况。
参考答案：
一、略
二、例题答案
1（1）；（2）。
2（1）向左1，向下2；向右，向上；（2）向左2，向上3；（3）向左；向左。
3 （1）；（2）。
4 B；
5 略；
6（1）；
（2），。
7 C；
8 （1）
和；
（2）
和。
9 略；
10 。
三、巩固练习答案
1、；
2、；
3、0；
4、；
5、；
6（1）（2）（3）；
7、D；8、B；9、C；10、A；11、略；
12、；13、（1）和增，和减；（2）；
（3）时，无解；或时，两解；，三解；，四解。
反比例函数中的模型
1 反比例函数中的模型（讲义） 一、知识点睛 与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用． ① OCD ABCD △梯形 ② 结论：AB =CD ③ 结论：BD ∥CE 二、精讲精练
2 1. 如图，已知点A ，B 在双曲线y x = （x>0）的图象上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 相交于点P ，且P 是AC 的中点．若△ABP 的面积为3，则k =________． 2. 如图，A ，B 是双曲线y x = （k >0）上的点，且A ，B 两点的横坐标分别为a ，2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ．若S △AOC =6，则k =________． 第2题图 第3题图 3. 如图，直线3y x = 与双曲线y x =（x >0）交于点A ．将直线3y x =向右平移2个单位后，与双曲线y x = （x >0）交于点B ，与x 轴交于点C ，若 2=BC ，则k =________． 4. 如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线y x = （k >0）经过A ，E 两点．若平行四边形AOBC 的面积为18， 则k =________． 第4题图 第5题图 5. 如图，已知函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C ，B 两点，与双曲线y x = 交于A ，D 两点．若AB+CD=BC ，则k 的值为________．
3 6. 已知：如图，直线64y x =+与双曲线y x =（x <0）相交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D ， C 两点，若AB =5，则k =_________． 7. y 轴交于点A ，与双曲线x y =在第一象限交于B ，C 两点，且4AB AC ?=， 则k =_______ 8. 双曲线1y x =，2 y x =A 作x 轴的平行线，交 B ，交y 轴于点 C ，过点A 作x D ，交x 轴于点 E ，连接BD ，CE ， 则 CE =________． 第9题图 第10题图
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧 函数的周期性： 1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； 2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数； 5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ； 6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ??+= ???或()1()f x a f x ??+=- ???或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数； 7、若()()()1 1 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数； 8、若()() ()11 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。 （7、8应掌握具体推导方法，如7） 函数图像的对称性： 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2 a b x +=对称； 2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称； 3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,2 2a b c +?? ??? 成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0； 5、形如()0,ax b y c ad bc cx d += ≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b b a c c c y d d c c x c x c c ??+-+-+ ???==+????++ ? ???? ?知：对称中心是点,d a c c ??- ???； 6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2b a x -=对称； 7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。 一、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x , 求f(x) ()()()()()()()1 1 11212112()() 11 f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++
抽象函数经典综合题33例(含详细解答)
抽象函数经典综合题33例（含详细解答） 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得：3x-x 2 >0 ∴ 0 反比例函数中的模型（讲义） 一、知识点睛 与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用． ① 结论：2||ABO ABCO S S k ==△矩形 结论：OCD ABCD S S =△梯形 ② 结论：AB =CD ③ 结论：BD ∥CE 二、精讲精练 1. 如图，已知点A ，B 在双曲线k y x =（x>0）的图象上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与 BD 相交于点P ，且P 是AC 的中点．若△ABP 的面积为3，则k =________ ． 2. 如图，A ，B 是双曲线k y x = （k >0）上的点，且A ，B 两点的横坐标分别为a ，2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ．若S △AOC =6，则k =________． 第2题图 第3题图 3. 如图，直线43y x = 与双曲线k y x =（x >0）交于点A ．将直线43y x =向右平移92个单位后，与双曲线k y x =（x >0）交于点B ，与x 轴交于点C ，若2=BC AO ，则k =________． 4. 如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线k y x = （k >0）经过A ，E 两点．若平行四边形AOBC 的面积为18， 则k =________． 第4题图 第5题图 5. 如图，已知函数1+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于C ，B 两点，与双曲线k y x = 交于A ，D 两点．若AB+CD=BC ，则k 的值为________． 6. 已知：如图，直线364y x =+与双曲线k y x =（x <0）相交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D ， C 两点，若AB =5，则k =_________． 7. 如图，直线b x y +- =33与y 轴交于点A ，与双曲线x k y =在第一象限交于B ，C 两点，且4AB AC ?=， 抽象函数与解题策略 上海南洋模范中学 熊晓东 2005年11月19日 （一）抽象函数的定义、特征和一般解题策略 （1）什么是抽象函数？ 那些没有给出函数的具体解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数称为抽象函数。 （2）抽象函数与一般函数的有什么联系？ 抽象函数往往有它所对应的具体的函数模型。例如，)x (f )x (f )x x (f 2121+=+对应的是指数函数2 1 2 1x x x x a a a ?=+；)x (f )x (f )x x (f 2121+=对应的是对数函数 2a 1a 21a x l o g x l o g )x x (l o g +=等等。当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型，而是新定义的一种函数。 抽象函数也可以与我们熟悉的函数，如指数函数、对数函数等一样，有自己的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。有自己的特殊点，有自己的对称性，能画出大致图像。 （3）抽象函数的解题策略一般有哪些？ 面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎①合理赋值，化抽象为具体；②作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；③分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题。 （二）高考中的抽象函数 （1）抽象函数在高考中的地位 函数是高考数学中非常重要的一部分，根据上海卷命题的要求，每年函数部分的内容将占到整个卷面分值的三分之一左右，2005年高考上海卷中，函数相关的内容将近55分。而抽象函数是函数中考核要求较高，难度较大的内容。2000年开始，不论是全国卷还是上海卷都对学生提出了考查抽象函数的要求。03年上海卷一年中考了两道与抽象函数有关的题目，03、04、05年连续三年上海高考试卷中均有与抽象函数有关的题目。 抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论 一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义： 对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量 )()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像： []b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。 [][]? ??++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数： 设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。 分段函数的奇偶性 3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称： ①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++-- ③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--= （2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。 ①))(2,)(2(),(),(2222//B A C By Ax B y B A C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-=与点关于 2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。 抽象函数的解题技巧 1.换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x) 解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2) 故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2) 2.方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。 例2..232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:02)x (xf 3 x ,x 1)x (f 2)x 1(f ,x x 12=++=-与已知得得代换用 .232|)x (f |,024)x (9f 02≥∴≥?-≥?得由 例3.f(x).1),x 0(x ,x 1)x 1x ( f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 解:(1)1),x 0(x x 1)x 1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ,x 1x 1)x 1x 1x 1x (f )x 1x (f :x x 1-x -+=---+-得代换用 :x )1(x -11 (2) .x 1x 2)x 11(f )x 1-x f( 得中的代换再以即-=-+ (3) .x 1x 2)x (f )x -11f( ,x 111)x 111x 11(f )1x 1(f --=+-+=---+-即 1)x 0(x x 2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 3.待定系数法 如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 例4.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) 代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1. 4.赋值法 抽象函数经典综合题33例（含详细解答） 整理：河南省郸厂城县才源高中 王保社 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得：3x-x 2 >0 ∴ 0 解 抽 象 函 数 的 常 用 方 法 抽象函数是指没有给出具体解析式的函数。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和转化能力，以及对一般和特殊关系的认识，因此备受命题者的青睐，成为高考热点。然而，由于抽象函数本身的抽象性、隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。 我在多年的教学中,积累了一些解题方法,供大家参考. 一、 利用线性函数模型 在中学数学教材中，大部分抽象函数是以具体函数为背景构造出来的，解题时最根本点是将抽象函数具体化，这种方法虽不能代替具体证明，但却能找到这些抽象函数的解题途径，特别是填空题、选择题，直接用满足条件的特殊函数求解，得出答案即可。常见的抽象函数模型有： 例1、函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且f （1）＝2， f （x ）在区间[－４，２]上的值域为 。 0a a ≠且 解析：由题设可知，函数f （x ）是正比例()y kx k =为常数的抽象函数，由f （1）＝2可求得 k=2，∴ f （x ）的值域为［－８，４］。 例2、已知函数f （x ）对任意,x y R ∈，满足条件()()()2f x y f x f y +=+-，且当x ＞0时， f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式2(22)3f a a --的解。 分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果 这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设1221,0x x x x -则，∵当x ＞0时，f （x ）＞2，∴21()2f x x -，则 ， 即，∴f （x ）为单调增函数。 ∵， 又∵f （3）＝5，∴f （1）＝3。∴2(22) (1)f a a f --，∴2221a a --， 解得不等式的解为－1 < a < 3。 例3、定义在Ｒ上的函数()y f x =，对任意的12,x x 满足12x x ≠时都有12()()f x f x ≠，且有 ()()()f x y f x f y +=成立。求： （1）f （0）； （2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负。 分析：由题设可猜测f （x ）是指数函数()(01)x f x a a a =≠且的抽象函数， 从而猜想f （0）＝1且f （x ）＞0。 解：（1）令y ＝0代入()()()f x y f x f y +=，则()()(0)f x f x f =， ∴[]()1(0)0f x f -=。若f （x ）＝0，则对任意12x x ≠，有12()()0f x f x ==， 支付宝首页搜索“933314”领红包，每天都能领。付款前记得用红包反比例函数图象中的等角模型及其在中考题中的 应用 原先自己研究反比例函数图象，得到了以下三条结论，当时以为解决反比例函数图象难题，用好这三条就足够了。 三条结论分别是： 结论一：过反比例函数一支上两点分别向x轴和y轴作垂线段，则垂足连线与原两点连线平行。如图，即AB∥CD。 证明：根据平行线带来的等面积转换，S△ACD=S△ACO=∣k∣/2=S△BDO=S△BDC，即 A，B两点到直线CD的距离相等，且位于CD同侧，故AB∥CD。 结论二：三顶点分别在原点、x轴上，y轴上的矩形，若反比例函数图象经过其两边，则两边被分出的两条线段之比对应相等。 如图，即EA：AC=EB：BD 证明：连AB，CD，由结论一有AB∥CD，根据相似知识显然结论二成立。 结论三：过双曲线一支上两点作直线与坐标轴相交，则每点与其相邻坐标轴交点构成的线段长相等。如图，即AE=BF 证明：过A作y轴垂线段垂足为C，过B作x轴垂线段垂足为D。连接CD，由结论一有AB∥CD，则四边形ACDF与BDCE均为平行四边形，得到AC=DF，CE=DB，再通过全等得到△ACE≌△FDB，AE=BF。 至于设点坐标用代数证，一来略超纲，二来繁琐，最重要是没有美感，反正我没有这个习惯。 这三个结论还有一些小的变形，比如一支上的两点变两支上的两点，作垂线的顺序改变等，基本都是结论相同，证明类似，且这些不是今天要讲的重点内容而只是铺垫，因此不再赘述只是给出几张图。 今天要讲的内容：后来才发现，反比例函数图象还有一些模型和结论，不能由前三个结论直接解决，但可以以前三个结论为基础推出结果间接解决。有如下结论（个人称为等角模型）： 结论四：双曲线一支上任取两点A，B，在围着双曲线该支所在象限的坐标轴上再取两点C，D，使ABCD构成平行四边形。则有：∠DCO=∠BCx，∠CDO=∠ADy 函数()f x 的定义域为D ，则其图像为： ()(){},|,x y y f x x D =∈ 1，若把这个图像向左平移a 个单位，得到新图像为： ()(){},|,x y y f x a x D =+∈ 简单说明：新图像上任取点(),x y ，向右平移a 个单位得到(),x a y +，这个点在()f x 图像上，所以()y f x a =+ 向右、上、下平移函数图象情况类似，请自己给出 2，若把()f x 图像按照直线x a =作一次对称，得到新函数为()2y f a x =- 简单说明：新图像上任取点(),x y ，按照直线x a =作一次对称得到点()2,a x y -，这个点在()f x 图像上，所以()2y f a x =- 按照直线y a =作对称类似，请自己给出 需要指出的是，不能按照任意直线作对称得到新函数，因为新的图像不一定是函数图像（实际上那是方程的图像），另外，按照直线y x =作对称得到的是反函数，当然前提是该函数存在反函数。 3，若把()f x 图像按照点(),a b 作对称，得到新函数()22y b f a b =-- 简单说明：新图像上任取点(),x y ，按照点(),a b 作对称，得到点()2,2a x b y --，这个点在()f x 图像上，则()22b y f a x -=-，整理得()22y b f a x =-- 4，若把()f x 图像在水平方向上作伸缩，横坐标都变为原来的a 倍（0a ≠），纵坐标不变，那么得到新函数图像是x y f a ?? = ??? 简单说明：新函数图像上取点(),x y ，变回去,x y a ?? ???， 这点在()f x 图像上，所以x y f a ?? = ??? 至于竖直方向的伸缩，请自己给出 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝华丽的分割线＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 下面是函数图像本身的对称性 5，如果一个函数向左平移a 个单位与原图像重合，即a 是一个周期，那么按照第1条， ()y f x a =+这个新函数与原函数()y f x =重合，也就是说：()()f x a f x += 6，如果一个函数有一条对称轴x a =，那么按照第2条到的新函数()2y f a x =-与原函数是同一个，也就是说：()()2f a x f x -=，至于类似()()f a x f b x +=-这样的条件，改写一下是非常显然的 抽象函数的解题方法与技巧 摘要：抽象函数是没有具体的解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数。因而显得特别抽象。所以解决抽象函数问题需要从函数的本质出发，考虑其定义，性质，加之解决抽象函数问题时常用的技巧——赋值法，换元法等。尽可能使抽象函数变得不再抽象。 关键词：抽象函数；性质；求值；解析式 ；解题方法；技巧 Problem-solving methods and skills of abstract functions Xue Jie School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract :: abstract function is not analytic type specific, given only the function characteristics, its nature or some special relationship. So it is especially abstract. So to solve the abstract function problems need from the view of function essence, considering its definition, nature, and solve the abstract function problems commonly used techniques -- assignment method, substitution method etc.. As far as possible to make the abstract function is no longer abstract. Keywords : abstract function; property; evaluation; analytic method; problem solving skills; 1. 提出问题的背景 抽象函数问题是函数中的一类综合性较强的问题，这类问题通过对函数性质结构的代数表述，能够综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对函数性质的代数推理和论证能力，考查学生的抽象思维和对知识的灵活运用能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，因而成为近几年高考命题的热点。由于抽象函数问题只给出函数所满足的一般性质或运算法则，没有明确的表示形式，因其抽象性和综合型，对学生而言有较大的难度。因此有必要对抽象函数的解题方法和技巧进行归纳总结。 2. 抽象函数的知识点 （1）定义域：函数的定义域指自变量x 的取值范围。所以对抽象函数()x f ，()[]x g f 而言，其定义域均指的是x 的取值范围。对于()[]x g f 和()[]x h f ，其中()x g 和()x h 的地位是等价的，故取值范围是一样的。 （2）值域：函数的值域指函数值的取值范围。那么具有相同对应关系的两个抽象函数 ()[]x g f 和()[]x h f ，它们的值域是相同的。 高一数学之抽象函数专题集锦 一、选择题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(?2)，f(?π)，f(3)的大小顺序是( ) A. B. C. D. 2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x +2)关于x =?2对称，若f(?2)=1，则f(x ?2)≤1的x 的取值范围 是( ) A. [?2,2] B. (?∞,?2]∪[2,+∞) C. (?∞,0]∪[4,+∞) D. [0,4] 3. 已知函数y =f(x)定义域是[?2,3]，则y =f(2x ?1)的定义域是( ) A. [0,5 2] B. [?1,4] C. [?1 2,2] D. [?5,5] 4. 函数f(x)在(?∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=?1，则满足?1≤f(x ?2)≤1的x 的取值范围是 ( ) A. B. C. [0,4] D. [1,3] 5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(?∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x ?1)?0的x 的取值范围是( ) A. [?1,1]∪[3,+∞) B. [?3,?1]∪[0,1] C. [?1,0]∪[1,+∞) D. [?1,0]∪[1,3] 6. 已知f(x)={ x 2+4x x ≥0 , 4x ?x 2 , x <0 若f(2?a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (?2 , 1) B. (?1 , 2) C. (?∞ , ?1)?(2 , +∞) D. (?∞ , ?2)?(1 , +∞) 7. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2?x)=f(x)，且在[1,+∞)上为增函数，则下列关系式正确的是 A. f(?1) 一、知识点回顾 k 1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y= k（k≠0）．其解析式有三种表示方法： x k ①y= （k0）；②y=kx-1（k0）；③xy=k x k 2 ．反比例函数y= k（k≠0）的性质 x （1）当k>0 时函数图像的两个分支分别在第一，三象限内在每一象限内，y 随x 的增大而减小． （2）当k<0 时函数图像的两个分支分别在第二，四象限内在每一象限内，y 随x 的增大而增大． k （3）在反比例函数y=k中，其解析式变形为xy=k，故要求k 的值（也就是求其图像 x 上一点横坐标与纵坐标之积）. k （4）若双曲线y= k图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求x 双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是-2 y= ． x （5）由于反比例函数中自变量x和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势． 二、新知讲解与例题训练 模型一： 如图，点 A 为反比例函数y = k图象上的任意一点，且AB垂直 S OAB |k| 2 于x轴，x 则有 m 例1：如图Rt ABC的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=m在第一象限的交点，且S AOB =3,（1）求m的值（2）求ABC的面积 变式题 1、如图所示，点A1, A2, A3在x 轴上，且O A1= A1A2 = A2A3,分别过A1, A2, A3作y 轴平 8 行线，与反比例函数y= 8（x>0）的图像交于点B1,B2,B3，分别过点B1,B2,B3作x轴的平 x 13 2、如图，点A在双曲线y = 1上，点B在双曲线y = 3上，且AB∥x轴，C、D在x轴 上，xx 若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 . 行线，分别与y 轴交于点C1,C2, 抽象函数问题分类解析 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐,那么,怎样求解抽象函数问题呢,我们可以利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法,等多种方法从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题, 一:函数性质法 函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反应出来的,抽象函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能转化,化难为易,常用的解题方法有:1,利用奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点,布列方程等. 二:特殊化方法 1在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将x 换成-x 或将x 换成等 2在求函数值时,可用特殊值代入 3研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题,填空题,或由具体模型函数对综合题,的解答提供思路和方法. (1)、线性函数型抽象函数f （x ）＝kx （k ≠0）-------f （x ±y ）＝f （x ）±f （y ） (2)、二次函数型抽象函数m a x k x f +-=2 )()(——— )()(x a f x a f -=+ (3)、指数函数型的抽象函数 f （x ）＝a x ------ f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）；f （x －y ）＝) () (y f x f (4)、对数函数型的抽象函数 f （x ）＝lo g a x （a >0且a ≠1）-----f （x ·y ）＝f （x ）＋f （y ）；f （ y x ）＝ f （x ）－f （y ） 三：例题分析 1. 求定义域 这类问题只要紧紧抓住：将函数f g x [()]中的g x ()看作一个整体，相当于f x ()中的x 这一特性，问题就会迎刃而解。 例1. 函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是___。 分析：因为log ()22x 2-相当于f x ()中的x ，所以log ()2221x -≤，解得 22<≤x 或-≤<-22x 。 例2. 已知f x ()的定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)1 2 的定义域是______。 分析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以 010111<+<<- 抽象函数问题的解题策略Last revision on 21 December 2020 抽象函数问题的解题策略 一、利用特殊模型 有些抽象函数问题,用常规解法很难解决,但与具体函数“对号入座”后,问题容易迎刃而解.这种方法多用于解填空题、选择题、解答题的解题后的检验,但解答题的解答书写过程一般不能用此法. 例1 若函数f(x)与g(x)在R 上有定义,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), f(-2)=f(1)≠0,则g(1)+g(-1)= . 解 因为 f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), 这是两角差的正弦公式模型, 又f(-2)=f(1)≠0, 则可取x x f 3 2sin )(π= 于是 f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1) 例2 设函数f(x)是定义在R 上的减函数,且满足f(x+y)=f(x)f(y), f(-3)=8,则不等式f(x)f(x-2)< 的解集为 . 解 因为函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y),这是指数函数模型, 又 f(-3)=8, 则可取 ∵f(x)f(x-2)< ∴2)21()21(-x x ＜2561, 即22)21(-x ＜8)2 1(， ∴ 2x-2 >8, 解不等式,得 x>5, ∴ 不等式的解集为 {x|x >5}. 二、利用函数性质 函数的特征是通过函数的性质反映出来的,抽象函数也不例外,只有充分利用题设条件所表明的函数的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能峰回路 转、化难为易. 1. 利用单调性 例3 设f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,解不等式f(x)+f(x-8)≤2. 解 ∵ 函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1, ∴ 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9), 由f(x)+f(x-8)≤2,得 f[x(x-8)]≤f(9), ∵ 函数f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数, 则 ∴ 不等式解集为 {x|8 抽象函数经典综合题33例（含详细解答） 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - / 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>0 ∴ 0(精心整理)反比例函数中的模型
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