基本不等式、均值不等式
基本不等式
知识点：
1.基本不等式：ab b a ≥+2
，（▼使用条件：b a ,正数、当且仅当时取“=”）。
例题讲解：
▼▼例1、（只含有一个字母）：22)1(x x y +=的最小值为.
练习1、当0 =的最大值为. 练习2、求函数的最小值是. 例2、（有两个字母）：若实数满足，则的最小值是. 练习3、已知定义在),0(+∞上的函数x x f 3)(=，若9)(=+b a f ，则)(ab f 的最大值为. ▼▼例3、（前后相乘）：已知，且，则的最小值为. 练习4、若且412=+ y x ，则=+x y 3的最小值为. 练习5、若，求 的最小值.并求x,y 的值。 练习6、已知且，则使不等式恒成立的实数的取值范围为. b a =12sin ,(0,)sin y x x x π=+ ∈2=+b a b a 33+0,0x y >>191x y +=x y ++∈R y x ,44log log 2x y +=11x y +0,0x y >>191x y +=x y m +≥m ▼▼例4、求)0(452>++=x x x x y 的值域。 练习7、求函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. 例5、（换元法）： 求的值域。 例6、（凑常数）：已知，则函数的最大值为. 练习8、求函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. 例7、（凑系数）：当40< 练习9、设，求函数的最大值为. 231,(0)x x y x x ++=>2710(1)1 x x y x x ++=>-+54x < 14245y x x =-+-12,33y x x x =+ >-(82)y x x =-2 30< 练习10、，求函数的最大值为. 练习11、已知x ，y 为正实数，且x 2 ＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值为. 课后作业： 1、设y x ,满足,404=+y x 且,,+∈R y x 则y x lg lg +的最大值是. 2、设函数x x x f -=2lg )(，若0)()(=+b f a f ，则b a 13+的最小值为. 3、已知且 3123=+y x ，则y x +6的最小值为. 4、当1>x 时，不等式a x x ≥-+ 11恒成立，则实数a 的取值范围是. 5、已知，求函数的最大值为. 203 x < < y +∈R y x b a ,,,01x < 基本不等式练习题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ． 均值不等式测试题 一、选择题 1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ） Ａ．a 2+b 2 Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b 2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ） A ．x 2+1≥x B ．11 2+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（ ） Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值22 4．Ａ设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．2 10 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（ ） Ａ．（a+b ）(b a 1 1+)≥4 Ｂ．a 3+b 3≥2ab 2 Ｃ．a 2+b 2+2≥2a+2b Ｄ．b a b a -≥- 6．下列结论正确的是（ ） A ．当x>0且x ≠1时，lgx+x lg 1≥2 B ．当x>0时，x +x 1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋ x 1 ≥2 D ．当0 均值不等式题型汇总 杨社锋 均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。 类型一：证明题 1. 设*,,1,a b R a b ∈+=求证：1 125()()4 a b a b ++≥ 2. 设,,(0,),a b c ∈+∞)a b c ≥++ 3. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222 b c a a b c a b c ++≥++ 4. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222 a b c ab bc ac ++≥++ 5. 已知实数,,x y z 满足：222 1x y z ++=，求xy yz +得最大值。 6. 已知正实数,,a b c ，且1abc =9≥ 7. （2010辽宁）已知,,a b c 均为正实数，证明：22221 11()a b c a b c +++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立。 类型二：求最值： 利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。 1. 设11,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求x y +的最小值。 2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求 112x y +的最小值。 3. 已知,a b 为正实数，且1a b +=求1ab ab +的最小值。 4. 求函数11(01)1y x x x =+<<-的最小值。 变式：求函数291(0)122 y x x x =+<<-的最小值。 5. 设,(0,)x y ∈+∞，35x y xy +=，求34x y +的最小值。 6. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求x y +的最小值。 7. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求xy 的最大值。 8. （2010浙江高考）设,x y 为实数，若22 41x y xy ++=，求2x y +的最大值。 9. 求函数y = 的最大值。 变式：y = 10. 设0x >求函数21x x y x ++=的最小值。 11. 设设1x >-求函数211 x x y x ++=+的最小值。 12. （2010山东高考）若任意0x >，231 x a x x ≤++恒成立，求a 的取值范围. 13. 求函数22233(1)22 x x y x x x -+=>-+的最大值。 类型三、应用题 1.（2009湖北）围建一个面积为2 360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需要维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45/m 元，新墙的造价为180/m 元，设利用旧墙的长度为x （单位：m ）。 （1）将y 表示为x 的函数（y 表示总费用）。 （2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少。并求出最小总费用。 2.（2008广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x 层（10x ≥），则每平方米的平均建筑费用为56048x +（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用， 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)函数y＝x＋1 x (x＞0)的值域为( )． A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋b ab ≤2；③x2＋ 1 x2＋1 ≥1，其中正确的个 数是 ( )．A．0 B．1 C．2 D．3 3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )． B．1 C．2 D．4 4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋ 1 x－2 (x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝ ( )． A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4 5．已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1 t 的最小值为________． 考向一利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则1 x ＋ 1 y 的最小值为________； (2)当x＞0时，则f(x)＝ 2x x2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x＞1，则f(x)＝x＋ 1 x－1 的最小值为________． (2)已知0＜x＜2 5 ，则y＝2x－5x2的最大值为________． (3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________． 考向二利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bc a ＋ ca b ＋ ab c ≥a＋b＋c. ． 【训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1. 求证：1 a ＋ 1 b ＋ 1 c ≥9. 考向三利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x＞0， x x2＋3x＋1 ≤a恒成立，则a的取值 范围是________． 【训练3】(2011·宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________． 考向三利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低【训练3】(2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n 的关系是g(n)＝80 n＋1 .若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为 f(n)万元． (1)求出f(n)的表达式； (2)求从今年算起第几年利润最高最高利润为多少万元 【试一试】(2010·四川)设a＞b＞0，则a2＋ 1 ab ＋ 1 a a－b 的最小值是 ( )． A．1 B．2 C．3 D．4 双基自测 高考均值不等式经典例题 1.已知正数,,a b c 满足2 15b ab bc ca +++=，则58310a b c +++的最小值为 。 2.设M 是ABC V 内一点，且30AB AC A =∠=?u u u r u u u r g ，定义()(,,)f M m n p =，其中,,m n p 分别是 ,,MBC MCA MAB V V V 的面积，若1()(,,)2 f M x y =，则14x y +的最小值为 . 3.已知实数1,12 m n >>，则224211n m m n +--的最小值为 。 4.设22110,21025() a b c a ac c ab a a b >>>++-+-的最小值为 。 5.设,,a b c R ∈，且222 ,2222a b a b a b c a b c ++++=++=，则c 的最大值为 。 6.已知ABC V 中，142, 10sin sin a b A B +=+=，则ABC V 的外接圆半径R 的最大值为 。 7.已知112,,339 a b ab ≥≥=，则a b +的最大值为 。 8. ,,a b c 均为正数，且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值为 。 9. ,,,()4a b c R a a b c bc +∈+++=-2a b c ++的最小值为 。 10. 函数()f x =的最小值为 。 11.已知0,0,228x y x y xy >>++=，则2x y +的最小值为 。 12.若*3()k k N ≥∈，则(1)log k k +与(1)log k k -的大小： 。 13.设正数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取最大值时，212x y z +-的最大值为 。 14.若平面向量,a b r r 满足23a b -≤r r ，则a b ?r r 的最小值为 。 15. 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 。 16.设{}n a 是等比数列， 公比q =n S 为{}n a 的前n 项和，记*21 17()n n n n S S T n N a +-=∈，设0n T 为数列{}n T 的最大项，则0n = 。 均值不等式及其应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2 ＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ． 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1 c ≥9. 考向三 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ________． 【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ 【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝ 80 n ＋1 .若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元． (1)求出f (n )的表达式； (2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？ 【试一试】 (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1 ab ＋1 a (a － b ) 的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 双基自测 D ．(2，＋∞) 答案 C 2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋ 1x 2＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1 －1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤1 2.答案 A 均值不等式应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当 _____________时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”） 2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=” ） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时， 可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R + ∈，且满足 134 x y +=，则xy 的最大值为 ________。 解：因为x >0，y>0 ，所以 34x y +≥=当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等 号) 1， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11 x y +的最小值.并求x ,y 的值 解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16 2 1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立 技巧二：配凑项求 例2：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 应用一、求最值 直接求 例1、若x ，y 是正数，则22)21 ()21(x y y x +++的最小值是【 】 A ．3 B ．27 C ．4 D ．2 9 例2、设y x b a b a b a R y x y x 11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为【 】 A. 2 B. 23 C. 1 D. 21 练习1.若0x >，则2 x x +的最小值为 . 练习2.设,x y 为正数, 则14 ()()x y x y ++的最小值为【 】 A.6 B. 9 C. 12 D. 15 练习3.若0,0>>b a ,且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于【 】 A.2 B ．3 C ．6 D ．9 练习4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨. 练习5.求下列函数的值域： （1）2 2 213x x y + = （2）x x y 1 += 练习6.已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则 2 ()a b cd +的最小值是【 】 A.0 B.4 C.2 D.1 例3、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则111 (1)(1)(1)a b c ---最小值为【 】 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 凑系数 例4、若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ?的最大值是 ． 练习1.已知,x y R +∈，且满足 134 x y +=，则xy 的最大值为 . 练习2. 当40< 集合、不等式测试卷 班级 姓名 得分 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1. 1、已知集},2|{N n n x x P ∈==，},4|{N n n x x T ∈==，则P T =U A. },4|{N n n x x ∈= B. },2|{N n n x x ∈= C. },|{N n n x x ∈= D. },4|{Z n n x x ∈= 2、01=-x 是012=-x 的 A ．充要条件 B. 必要而非充分条件 C ．充分而非必要条件 D. 既非充分也非必要条件] 3. 若a ＞b ＞0，c ∈R ，则下列不等式中不正确的是（ ） A . a ＞ b B . ab ＞b 2 C.a + c ＞b +c D. ac ＞bc 4. 已知集合{} 12≤-=x x A ，=B {}2>x x ，则=B A I A ．{}32≤ 课时作业15均值不等式 时间：45分钟满分：100分 课堂训练 5 3 1.已知-+-=l(.r>0,)>0),则小的最小值是( ) A V 【答案】 当且仅当3x=5y时取等号. 4 2?函数f(x)=x+~+3在(一8,一2］上( ) x A.无最大值，有最小值7 B.无最大值，有最小值一1 C.有最大值7,有最小值一1 D.有最大值一1,无最小值 【答案】D 4 【解析】Vx^-2, ：.f(x)=x+~+3 ?V = __(r)+(—羽+3W_2 寸(-弓+3 4 =—1,当且仅当一x=—即x=—2时，取等号, 有最大值一1，无最小值. 1 4 3?己知两个正实数小y 满足x+y=4,则使不等式三+^上加恒 兀y 成立的实数m 的取值范围是 _____________ . 【答案】(-8,計 【分析】 对于本题中的函数，可把x+1看成一个整体，然后 将函数用x+1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的 形式特点，从而能用均值定理来处理. 【解析】因为x>—1, 所以x+ l>0. “ r ?+7x+10 (X +1)2+5(X +1)+4 所以尸x+1 = 吊 4 / f+D+吊+5N2 屮 +1)?苗+5=9 4 当且仅当x+l= 勒，即X=1时，等号成立. mx+n = t,那么/(X )与g(x)都可以转化为关于t 的函数? 课后作业 一、选择题(每小题5分，共40分)???当x=\时， 工+7x+l° 灯仆-1 — $ 函数〉'一 丫+1 (x>—1),取侍取:小值为9. 【规律方法】 形如 f(x) — mx _^n (加工°, dHO)或者 g(x) — 【解析】 斤胃字E+芥沁+树+2胡畔 4. 求函数y= 以+7卄10 ~x+1 (Q-1)的最小值. mx+n 《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2 111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 11123a b c + + ≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ． 114x y ≤+ B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．1 1xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< 均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析） 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则 2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正 所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 3 0< 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则不等式的解的各种情况 如下表： 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < ()f x 均值不等式当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。 一、配凑1. 凑系数 例1. 当时，求的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。 当且仅当，即x＝2时取等号。所以当x＝2时，的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 2. 凑项例2. 已知，求函数的最大值。 解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。 ∵∴ 当且仅当，即时等号成立。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 3. 分离例3. 求的值域。 解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。 当，即时（当且仅当x＝1时取“＝”号）。 当，即时（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。 ∴的值域为。 评注：分式函数求最值，通常化成g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 二、整体代换例4. 已知，求的最小值。 解法1：不妨将乘以1，而1用a＋2b代换。 当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。解法2：将分子中的1用代换。 评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。三、换元例5. 求函数的最大值。解析：变量代换，令，则 当t＝0时，y＝0当时，当且仅当，即时取等号故。评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。 四、取平方例6. 求函数的最大值。 解析：注意到的和为定值。 又，所以当且仅当，即时取等号。故。 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。 1. 若，求的最大值。 2. 求函数的最小值。 3. 求函数的最小值。 4. 已知，且，求的最小值。 参考答案：1. 2. 5 3. 8 4. 基本不等式 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 111a b c + + ≥ D ．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．11 1x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,2 a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab a b ++ 22a b ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b a b ++ Ｄ．22 ab a b a b +≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+ 11. 函数y =的最大值为 .基本不等式练习题及标准答案
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