七年级数学平行线的有关证明及答案

平行线的性质与判定的证明

练习题

温故而知新:

1．平行线的性质

(１）两直线平行,同位角相等；

（２）两直线平行，内错角相等；

（３）两直线平行，同旁内角互补．

２.平行线的判定

（１)同位角相等，两直线平行;

（2)内错角相等，两直线平行；

(3）同旁内角互补,两直线平行互补.

例１已知如图2-2，ＡB∥CD∥EＦ，点Ｍ,N，P分别在AB，ＣＤ,EF上，ＮＱ平分∠ＭＮP．(1）若∠AＭＮ=60°,∠EＰＮ=80°,分别求∠MNＰ，∠DNQ的度数；

(２）探求∠DＮQ与∠AMＮ,∠EPN的数量关系.

解析：

在我们完成涉及平行线性质的相关问题时,注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等,内错角相等，同旁内角互补.

例２如图,∠AＧD=∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AＢ,证明：∠1=∠2.

解析：在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.

例３（1)已知：如图2-４①,直线AＢ∥EＤ,求证：∠ABC+∠ＣDＥ=∠ＢＣD；

(2）当点Ｃ位于如图2－4②所示时，∠ABＣ,∠CＤＥ与∠BCD存在什么等量关系？并证明．

解析:在运用平行线性质时,有时需要作平行线,取到桥梁的作用，实现已知条件的转化.

例4 如图2-5,一条公路修到湖边时，需绕道,如果第一次拐的角∠A是１2０°，第二次拐的角∠B是１5０°，第三次拐的角是∠Ｃ,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠Ｃ应为多少度？

解析：把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答．

举一反三:

1.如图2-9,FG∥HＩ,则∠ｘ的度数为( ）

Ａ.60° B． 72°C．９0°Ｄ. 100°

2. 已知如图所示,ＡB∥EＦ∥CD，EG平分∠ＢEF,∠B＋∠BＥD+∠D=192°，∠Ｂ-∠D＝24°,求∠GEF的度数.

?

３.已知:如图２-10,ＡＢ∥ＥF，BC∥ED，AB,DＥ交于点G．

求证:∠B=∠E.

例4如图2-６，已知AB ∥C Ｄ，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立，并说明理由.

解决此类条件开放性问题需要从结果出发，找出结果成立所需要的条件,由果溯因．

5．如图1-7，已知直线1l 2l ，且3l 和1l 、2l 分别交于Ａ、两点，点P 在AB 上，4l 和1l 、2l 分别交于C 、D 两点,连接PC 、PD 。

（1） 试求出∠1、∠2、∠３之间的关系，并说明理由。

（2） 如果点P 在A 、B 两点之间运动时,问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化。

（3） 如果点Ｐ在AB 两点的外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系(点P 和Ａ、B 不

重合)

6.如图２-１１，CＤ平分∠ＡCB,DE∥AC,EF∥CＤ,EF平分∠DEB吗?请说明理由．

７.如图1-１2，CD∥ＥF, ∠1+∠2=∠AＢＣ,

求证:ＡB∥GF

8.如图2－13，已知AB∥CD，∠ECD=12５°，∠ＢＥＣ=２0°，求∠AＢE的度数.

∴∠ABC＋∠1=180°,∠2+∠CDＥ＝180°.

∵∠BCD=∠1+∠２，

∴∠AＢC＋∠ＢCD+∠CDE=3６０°．

4.动画过点B作ＢＤ∥ＡＥ,

答案:

解：过点B作BD∥AE,∵AＥ∥ＣF，

∴AＥ∥BD∥CF,∴∠A＝∠1，∠2＋∠Ｃ=180°

∵∠A=12０°，∠1+∠２=∠ＡＢC=150°,

∴∠2＝30°，

∴∠C=1８0°-３0°=150°.

例题

1．解析:∠AEG＝180°-120°＝60°,由外凸角和等于内凹角和有60°＋30°+３0°=x＋4８°，解得x=７2°.

答案：Ｂ.

2. 解：∵AB∥EＦ∥ＣＤ,

∴∠B＝∠BＥF，∠ＤEF=∠D.

∵∠B+∠BED+∠D=192°，

即∠B＋∠BEＦ+∠DEF+∠D＝1９2°,

∴2(∠B+∠D)=192°，

即∠B＋∠D=96°．

∵∠B-∠D=2４°,

∴∠B=60°，

即∠ＢEF=6０°.

∵EG平分∠BＥF,

∴∠ＧＥF= ∠BEF=30°.

３．解析:标注AB∥EF，BＣ∥ED

答案：证明:∵AB∥ＥF，

∴∠E=∠AGD.

∵BC∥ＥD，

∴∠B=∠AGD,

∴∠B=∠E．

4.解析:标注 AB∥CD,∠１=∠2

答案：方法一:（标注CF∥BE）

解：需添加的条件为CF∥BE ，

理由:∵AB∥CD，

∴∠DCＢ=∠AＢC.

∵CF∥BE,

∴∠FCB=∠EBＣ，

∴∠１=∠2；

方法二:（标注ＣF,BE,∠１=∠2＝∠DCF=∠AB Ｅ)解:添加的条件为CF,BE 分别为∠BCD,∠CBA 的平分线． 理由:∵AB ∥CD ，

∴∠DC Ｂ＝∠ＡＢC.

∵C Ｆ,B Ｅ分别为∠ＢCD ，∠CBA 的平分线,

∴∠1=∠2．

5. 解：（1)解析:在题目中直接画出辅助线

∠3=∠1+∠2。理由：如图（1)所示

过点Ｐ作ＰＥ∥1l 交4l 于Ｅ，则∠1=∠CPE,

又因为1l ∥2l ,所以PE ∥2l ，则∠ＥPD=∠2，

所以∠ＣPD=∠１+∠2,即∠３＝∠1+∠２

（2）解析: 点P 在A 、B 两点之间运动时，∠3=∠1＋∠2的关系不会发生改变。

（3)解析:如图（２）和（3）所以,当P 点在A 、B 两点外侧运动时,分两种情况:

6. 解析:标注C Ｄ平分∠AC Ｂ,ＤE ∥ＡＣ,EF ∥ＣＤ

答案：标注∠ＣＤE=∠ＡCD=∠ＤＣE=∠D ＥF=∠ＢEF

解：ＥF 平分∠DEB ．理由如下：

∵ＤＥ∥AC ，EF ∥ＣD,

∴∠C ＤE=∠A ＣD ，∠CDE=∠ＤEF,

∠ＢEF=∠DCE.

∵ＣD 平分∠ＡCB,

∴∠D ＣE=∠ACD ，

∴∠DEF＝∠BＥＦ,

即EF平分∠DEB.

7. 解析：如图,作CK∥FG，延长GF、CD交于H,则∠H+∠2+∠KＣB=1８０°.因为CＤ∥ＥＦ,所以∠H=∠1,又因为∠1+∠2＝∠ABC，所以∠ABＣ＋∠KCＢ＝１80°，所以CK∥AB，所以ＡB∥F

Ｇ．

8. 解析:（过E点作EF∥ＣＤ）标注ＡB∥ＥF∥CＤ

答案：解：过E点作EF∥CD,

∴∠EＣD+∠CEＦ＝180°，

而∠EＣD=125°,

∴∠CEF＝1８0°－125°=5５°,

∴∠BEF=∠BＥC+∠CＥF=2０°+55°＝7５°.

∵AB∥CD，∴AB∥ＥＦ，

∴∠ABE＝∠BEF=75°．