第28讲-向量的分解与向量的坐标运算-2021年新高考数学一轮专题训练含真题及解析
高考数学平面向量专题卷(附答案)
高考数学平面向量专题卷(附答案) 一、单选题(共10题;共20分) 1.已知向量,则=() A. B. C. 4 D. 5 2.若向量,,若,则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量,,且,则=() A. B. C. D. 4.已知平面向量、,满足,若,则向量、的夹角为() A. B. C. D. 5.在中,的中点为,的中点为,则() A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线,且,,记与的夹角是,则最大时, () A. B. C. D. 7.在中,,AD是BC边上的高,则等于() A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知,则的取值范围是() A. [0,1] B. C. [1,2] D. [0,2] 9.已知向量,的夹角为,且,则的最小值为() A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆:上的三点,,,斜率为负数的直线与轴交于,若原点是的重心,且与的面积之比为,则直线的斜率为()
A. B. C. D. 二、填空题(共8题;共8分) 11.在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,﹣1),B(﹣3,﹣4)两点,若点C在∠AOB的平分线上,且 ,则点C的坐标是________. 12.已知单位圆上两点满足,点是单位圆上的动点,且,则 的取值范围为________. 13.已知正方形的边长为1,,,,则________. 14.在平面直角坐标系中,设是函数()的图象上任意一点,过点向直线 和轴作垂线,垂足分别是,,则________. 15.已知为锐角三角形,满足,外接圆的圆心为,半径为1,则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点,长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦,则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为,半径为2,且满足,则 的最小值为________. 18.如图,在中,,点,分别为的中点,若,,则 ________. 三、解答题(共6题;共60分) 19.的内角,,所对的边分别为,,.向量与平行.(Ⅰ)求; (Ⅱ)若,求的面积. 20.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),已知点,点是曲线上任意一点,点为的中点,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。
高三数学精准培优专题练习8:平面向量
培优点八 平面向量 1.代数法 例1:已知向量a ,b 满足=3a ,b 且()⊥+a a b ,则b 在a 方向上的投影为( ) A .3 B .3- C . D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ,所以只需求出a ,b 即可. 由()⊥+a a b 可得:()2 0?+=+?=a a b a a b , 所以9?=-a b .进而?==a b b .故选C . 2.几何法 例2:设a ,b 是两个非零向量,且2==+=a b a b ,则=-a b _______. 【答案】【解析】可知a ,b ,+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线, 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ,边长2a =的菱形, =. 3.建立直角坐标系 例3:在边长为1的正三角形ABC 中,设2BC BD =uu u v uu u v ,3CA CE =uu v uu u v ,则AD BE ?=u u u v u u u v __________. 【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量,从而解决问题,本周仍以此题为例,从另一个角度解题,
观察到本题图形为等边三角形,所以考虑利用建系解决数量积问题, 如图建系: 3 0, A ?? ? ? ?? , 1 ,0 2 B ?? - ? ?? , 1 ,0 2 C ?? ? ?? , 下面求E坐标:令() , E x y,∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v , 13 2 CA ? =- ?? uu v , 由3 CA CE = uu v uu u v 可得: 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? , ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v , 53 6 BE ? = ?? uu u v ,∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v . 一、单选题 1.已知向量a,b满足1 = a,2 = b,且向量a,b的夹角为 4 π ,若λ - a b与b垂直,则实数λ的值为() A. 1 2 -B. 1 2 C. 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b,故选D.2.已知向量a,b满足1 = a,2 = b,7 += a b?= a b() A.1 B2C3D.2 【答案】A 对点增分集训
高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量
高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ; ②结合律:()() a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1 212 ,x x y y A B=-- . 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 20、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠ 共线. 21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析
新数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1.如图,圆O 是等边三角形ABC 的外接圆,点D 为劣弧AC 的中点,则OD =u u u r ( ) A .2133BA AC +u u u r u u u r B .2133BA A C -u u u r u u u r C .1233BA AC +u u u r u u u r D .4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BO ,易知B ,O ,D 三点共线,设OD 与AC 的交点为E ,列出相应式子得出结论. 【详解】 解:连接BO ,易知B ,O ,D 三点共线,设OD 与AC 的交点为E , 则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选:A. 【点睛】 本题考查向量的表示方法,结合几何特点,考查分析能力,属于中档题. 2.已知正ABC ?的边长为4,点D 为边BC 的中点,点E 满足AE ED u u u r u u u r =,那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为( ) A .8 3 - B .1- C .1 D .3 【答案】B 【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ,即可求得cos ∠BEC ,由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可. 【详解】
由已知可得:7 , 又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B . 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式,属中档题. 3.若向量a b r r ,的夹角为3 π ,|2|||a b a b -=+r r r r ,若()a ta b ⊥+r r r ,则实数t =( ) A .1 2 - B . 12 C 3 D .3 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ,结合条件可得b a =r r ,又由()a ta b ⊥+r r r ,可得20t a a b ?+?=r r r ,即可得出答案. 【详解】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ,也即22cos 3 b a b π =r r r ,所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ,得()0a ta b ?+=r r r ,即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选:A
53.高考数学专题26 平面向量(知识梳理)(理)(原卷版)
专题26 平面向量(知识梳理) 一、向量的概念及表示 1、向量的概念:具有大小和方向的量称为向量。 (1)数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。 (2)向量的表示方法: ①具有方向的线段,叫做有向线段,以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,AB 的长度记作||AB 。用有向线段AB 表示向量,读作向量AB ; ②用小写字母表示:a 、。 (3)向量与有向线段的区别和联系: ①向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量; ②有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段; ③向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量,有向线段是规定了起点和终点的线段。 2、向量的模:向量AB 的大小――长度称为向量的模,记作||。 3、零向量:长度等于零、方向是任意的向量,记作。 4、单位向量:长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量0a =。 5、平行向量:(1)若非零向量a 、的方向相同或相反,则b a //,又叫共线向量; (2)规定与任一向量平行。 6、共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。 7、相等向量:若非零向量a 、方向相同且模相等,则向量a 、是相等向量。 (1)相等向量:=?模相等,方向相同; (2)相反向量:b a -=?模相等,方向相反。 二、向量的加法 1、三角形法则
图示 2、平行四边形法则 原理 已知两个不共线向量a 、b ,作a AB =,b BC =,则A 、B 、D 三点不共线,以AB 、AD 为邻边 作平行四边形,则对角线上的向量b a AC +=,这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。 图示 3、多边形法则 原理 已知n 个向量,依次把这n 个向量首尾相连,以第一个向量的始点为始点,第n 个向量的终点为终点 的向量叫做这n 个向量的和向量,这个法则叫做向量求和的多边形法则。 图示 运算律 交换律 a b b a +=+ 结合律 )()(c b a c b a ++=++ 1、相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量,记作a -。 (1)规定:零向量的相反向量仍是零向量; (2)a a =--)(; (3)0)()(=+-=-+a a a a ; (4)若a 与b 互为相反向量,则b a -=,a b -=,0=+b a 。 2、向量的减法:已知向量a 与b (如图),作a OA =,b OB =,则a BA b =+,向量BA 叫做向量a 与b 的差,并记作b a -,即OB OA b a BA -=-=,由定义可知: (1)如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量; (2)一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ,或简记为“终点向量减始点向量”;