二面角平面角求法1教材

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βB
ιO
P Aα
∴ι⊥平面PAB
∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角
又∵PA=5,PB=8,AB=7 由余弦定理得 cosP 1
2
∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º
∴这二面角的度数为120º
变式:P为1200的二面角 a 内一点, P到和的距离均为10,
求P到棱a的距离.
P
M ON
a
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二面角
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二面角的定义
从空间一直线出发的
两个半平面所组成的
图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱,
每个半平面叫做二面角的
α

ι
β
记作 l
二面角的平面角
二面角的平面角的定义
以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角
1 2
O
C P
2
∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为
2 2
E
O
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垂面法 点P在二面角内
β
B
O
ι
讲解例题
常见的图形
p
α
A
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例3.如图P为二面角α–ι–β内一点,PA⊥α,PB⊥β,且PA=5, PB=8,AB=7,求这二面角的度数。
解:过PA、PB的平面PAB与
棱ι 交于O点 ∵PA⊥α ∴PA⊥ι ∵PB⊥β ∴PB⊥ι
已知三棱锥D ABC的三个侧面与底面全等,
且AB AC 3,BC 2,求二面角D BC A的
大小. 90°
D
C A
O
B
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三垂线法
点P在一个半平面上
β p
α
B
A
ι
讲解例题
常见的图形
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例2.如图,三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是
底面Rt△ABC斜边AC的中点O,若PB=AB=1,BC= ,求二
S A1B1C1
S AB1E
2 3
D1
C1
A1
B1
E
D A
C B
二面角的求法总结
⑴定义法是选择一个平面内的一点(一般为这个面的一个 顶点)向棱作垂线,再由垂足在另一个面内作棱的垂线。 此法得出的平面角在任意三角形中,所以不好计算,不是 我们首选的方法。
⑵三垂线法是从一个平面内选一点(一般为这个面的一个 顶点)向另一个面作垂线,再由垂足向棱作垂线,连结这 个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中,计 算简便,所以我们常用此法。
讲解例题
定义法 点P在棱上
α
常见的图形 ι β
A
p
B
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例1.如图,已知P是二面角α-AB-β棱上一点,过P分别
在 α 、 β 内 引 射 线 PM 、 PN , 且 ∠ MPN=60º
∠BPM=∠BPN=45º ,求此二面角的度数。
解:在PB上取不同于P 的一点O,
在α内过O作OC⊥AB交PM于C,
A
二面角的平面角的三个特征:
l
O
B
1.点在棱上
2.边在面内
3.边与棱垂直
二面角的平面角范围:00 1800
二面角
二面角的平面角
求(作)二面角的平面角方法
①点P在棱上 —定义法
②点P在一个半平面上 —三垂线法
③点P在二面角内 —垂面法
④射影法
ι
α
β
p
A
B

α
B
A
ι
β
B
p
O
α
ι
A
二面角 返回主页
二面角的平面角
求二面角的平面角方法

①点P在棱Leabharlann Baidu —定义法 ②点P在一个半平面上 —三垂线法

③点P在二面角内 —垂面法 ④射影法
ι
α
β
p
A
B

α
B
A
ι
β
B
p
O
α
ι
A
面角P-A2B-C的正切值。
解:取AB 的中点为E,连PE,OE
P
∵O为 AC 中点, ∠ABC=90º
∴OE∥BC且 OE OE⊥AB ,因此
BC12 PE⊥AB
E
A
B
∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角
在Rt△PBE中,BE ,12 PB=1,PE
3 2
在Rt△POE中, OE ,22PO ∴ tan PEO 2
C Mα
在β内作OD⊥AB交PN于D,
APO
B
连CD,可得
∠COD是二面角α-AB-β的平面角 设PO = a ,∵∠BPM =∠BPN = 45º
D Nβ
∴CO=a, DO=a, PC
又∵∠MPN=60º
a , P2D
a 2 C
∴CD=PC a 2
∴∠COD=90º 因此,二面角的度数为90º
P aO
面积法
B
A C
O
β
常见的图形
讲解例题
α
三 角 形 ABC 在 平 面 N 内 的 射 影 为 BCO 三 角 形 ABC 的 面 积 为S,三角形BCO的 面积为S射 cos = S 射
S
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例4、如图,设E为正方体的边CC1的中点,求平面 AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。
△AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为△A1B1C1,故这两个 平面所成二面角的余弦值为
⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线,因为这 一点不好选择,所以此法一般不用。
⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。
⑸射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射 影面积公式,然后指出平面的垂线,射影关系,再用公式, 这种方法虽然避免了找平面角,但计算较繁,所以不常用。
二面角
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