高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》难题汇编

【最新】数学《数列》试卷含答案

一、选择题

1．已知单调递增的等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）

A ．2

12

4

n -- B ．1

12

2

n -- C ．21n - D ．122n +-

【答案】B 【解析】 【分析】

由等比数列的性质，可得到35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，求得1,a q ，再结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】

由题意，等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=， 根据等比数列的性质，可得3516a a ⋅=，3510a a +=，

所以35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，解得352,8a a ==或358,2a a ==， 又因为等比数列{}n a 为单调递增数列，所以352,8a a ==， 设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为(1)q q >

可得214128

a q a q ⎧=⎨=⎩，解得11,22a q ==，

所以数列{}n a 的前n 项和

11(12)

122122

n

n n S --==-

-. 故选：B . 【点睛】

本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.

2．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数

列，则4

2

S S ( ) A ．3 B ．9 C ．10 D ．13

【答案】C 【解析】 【分析】

设{}n a 的公比为0q >，由645,3,a a a -成等差数列，可得2

60,0q q q --=>，解得q ，

再利用求和公式即可得结果. 【详解】

设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为0q >，

Q 满足645,3,a a a -成等差数列，

()

2465446,6,0a a a a a q q q ∴=-∴=->， 260,0q q q ∴--=>，解得3q =，

则

()

()

4124221313131103131

a S S a --==+=--，故选C. 【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

3．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列所有项中，中间项的值为（ ） A ．992 B ．1022

C ．1007

D ．1037

【答案】C 【解析】 【分析】

首先将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.再写出{}n a 的通项公式，算其中间项即可. 【详解】

将题目转化为2n a -即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数. 即215(1)n a n -=-，1513n a n =-

当135n =，135151351320122019a =⨯-=<， 当136n =，136151361320272019a =⨯-=>， 故1,2,n =……，135数列共有135项．

因此数列中间项为第68项，681568131007a =⨯-=.

故答案为：C ． 【点睛】

本题主要考查数列模型在实际问题中的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.

4．已知数列{}n a 是正项等比数列，若132a =，3432a a ⋅=，数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则n S >0时n 的最大值为 （ ） A ．5 B ．6

C ．10

D ．11

【答案】C 【解析】

25251634121

32323222log 62

n n n n a a a q q q a a n --⋅===⇒=⇒=⨯=⇒=-⇒ max (56)

011102

n n n S n n +-=

>⇒<⇒= ，故选C.

5．在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111

n

a a a +++L 的值 A ．

1

n n

- B ．

1

n n

+ C ．

1

1n n -+ D ．

1

n n + 【答案】A 【解析】

分析：由叠加法求得数列的通项公式(1)n a n n =-，进而即可求解23111

n

a a a +++L 的和. 详解：由题意，数列{}n a 中，110,2n n a a a n +=-=，

则112211()()()2[12(1)](1)n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-L L ， 所以

1111

(1)1n a n n n n

==--- 所以231111111111(1)()()12231n n a a a n n n n

-+++=-+-++-=-=-L L ，故选A. 点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.

6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2611203a a a a --+=，则21S 的值为（ ） A ．63 B ．21

C ．63-

D ．21

【答案】C 【解析】 【分析】