均值不等式含答案

课时作业15均值不等式

时间：45分钟满分：100分

课堂训练

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1.已知-+-=l(.r>0,)>0),则小的最小值是( )

A V

【答案】

当且仅当3x=5y时取等号.

4

2・函数f(x)=x+~+3在(一8,一2］上( )

x

A.无最大值，有最小值7

B.无最大值，有最小值一1

C.有最大值7,有最小值一1

D.有最大值一1,无最小值

【答案】D

4

【解析】Vx^-2, ：.f(x)=x+~+3

✓V

= __(r)+(—羽+3W_2 寸(-弓+3

4

=—1,当且仅当一x=—即x=—2时，取等号,

有最大值一1，无最小值.

1 4

3・己知两个正实数小y 满足x+y=4,则使不等式三+^上加恒 兀y 成立的实数m 的取值范围是 _____________ .

【答案】(-8,計 【分析】 对于本题中的函数，可把x+1看成一个整体，然后 将函数用x+1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的 形式特点，从而能用均值定理来处理.

【解析】因为x>—1, 所以x+ l>0.

“ r «+7x+10 (X +1)2+5(X +1)+4 所以尸x+1

= 吊

4 / f+D+吊+5N2 屮 +1)•苗+5=9

4

当且仅当x+l= 勒，即X=1时，等号成立.

mx+n = t,那么/(X )与g(x)都可以转化为关于t 的函数• 课后作业

一、选择题(每小题5分，共40分)・••当x=\时，

工+7x+l° 灯仆-1 — $

函数〉'一 丫+1 (x>—1),取侍取:小值为9.

【规律方法】 形如 f(x) — mx _^n (加工°, dHO)或者 g(x) —

【解析】

斤胃字E+芥沁+树+2胡畔

4. 求函数y=

以+7卄10

~x+1

(Q-1)的最小值. mx+n

1.设X>0,则y=3-3x--的最大值是（

A. 3 B・ 3—3也

C. 3-2\/3 D・一1

【答案】C

［解析】y=3 —3x—2=3 —（3x+g）W3— =3_2^/5.

当且仅当3x=p即兀=平时取“=”・

2.下列结论正确的是（）

A.当x>0 且xH 1 时，lgx+占$2

C.当诈2时，x+2的最小值为2

D.当0

X

【答案】B

【解析】A中，当x>0且兀工1时，lgx的正负不确定，・°・lgx +占M2或lgx+吉W—2； C中，当诈2时，（x+£）min=|； D中当

1 I 3

0aW2 时，），=兀一？在（0,2］上递增，（x--）.…ax=2-

3.如果d, b 满足0

A. 3

C. 3-2^3

A i

B • a

D. cr+b 1

【答案】D

【解析】 方法一：*.* 02a i 又 a 2+b 2^2cib 9

・•・最大数一定不是“和2", 又 a 2+b 2=(a + b)2—lab = 1 — 2ab, V \ =a+b>2\[ab,

ab<^,

1 — 2ab> 1 —[=[, 即 cP+Z?2>^.

I ? 4

5

方法二：特值检验法：取a=y b=y 则2ab=§, a 2+b 2=^ / ^>2>Q >3，^cr+b 1 最大.

4. 己知a>b>c>0.则下列不等式成立的是（） 1,1 _______ 2 a~b b —f^a —c

1 ___

2 b~c a~c

]

a~b

【答案】A

【解析】*.\/>Z?>c>0, *.a —b>0, b —c>0, a — c>0,

••・("_4士+爲

C. lab 1<2

1 b —c

= [(a~b) + (b~c)Y b~c a —b =2+三+口

匚+丄宀丄

5. 下列函数中，最小值为4的是（

C. /(x) = 3x +4X3"v

【答案】

D ・ /(x) = lgx+log v 10

«+5 工+4+1 —

•血)=

2X 严=2X = 2X(尸 +

寸;+4）24,要取等号，必须寸卫+4=^^^,即工+4=1,这是不 可能的，

排除.故选C.

6. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确.有人说要用它 称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结 果的和的一半就是物体的真实重量•设物体放在左右托盘称得的重量 分别为“，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量 的结果的一半大了还是小了？（）

a+b

A.—^―；大 C.\[ab ；大 【答案】D

4

A. f(x)=x+~ 工+5

B ・・22X 严 【解

析】 A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不 b~c a~b

22+2、/三•戸=4

能取等号， B ・¥力 D.\[cib ；小