(完整word版)高数上册知识点总结
高数重点知识总结
1、基本初等函数:反函数(y=arctanx),对数函数(y=lnx),幂函数(y=x),指数函数(x
a y =),
三角函数(y=sinx),常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。
3、无穷小:高阶+低阶=低阶 例如:1lim lim
020==+→→x x
x
x x x x 4、两个重要极限:()e x e
x x
x
x
x x
x x =??
?
??+=+=∞
→→→11lim 1lim )2(1
sin lim )1(1
0 经验公式:当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ,[]
)
()(lim )
(0
)(1lim x g x f x g x x x x e
x f →=+→
例如:()33lim 10
031lim -?
?
? ?
?-→==-→e e
x x x x
x x
5、可导必定连续,连续未必可导。例如:||x y =连续但不可导。
6、导数的定义:()00
00
')
()(lim
)
(')
()(lim
x f x x x f x f x f x
x f x x f x x x =--=?-?+→→?
7、复合函数求导:
[][])(')(')(x g x g f dx
x g df ?= 例如:x
x x x x x x y x x y ++=++
=
+=2412221
1', 8、隐函数求导:(1)直接求导法;(2)方程两边同时微分,再求出dy/dx
例如:y
x
dx dy ydy xdx y x
y yy x y x -
=?+-=?=+=+22,),2('0'22,),1(1
22左右两边同时微分法左右两边同时求导
解:法 9、由参数方程所确定的函数求导:若??
?==)
()(t h x t g y ,则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==,其二阶导数:()[]
)
(')('/)('/)/(/22
t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算:)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如:计算 ?31sin
11、函数间断点的类型:(1)第一类:可去间断点和跳跃间断点;例如:x
x
y sin =
(x=0是函数可去间断点),)sgn(x y =(x=0是函数的跳跃间断点)(2)第二类:振荡间断点和无穷
间断点;例如:??
?
??=x x f 1sin )((x=0是函数的振荡间断点)
,x y 1=(x=0是函数的无穷间断点)
12、渐近线:
水平渐近线:c x f y x ==∞
→)(lim
铅直渐近线:.)(lim 是铅直渐近线,则若,a x x f a
x =∞=→
斜渐近线:[]ax x f b x
x f a b ax y x x -==+=∞→∞
→)(lim ,)
(lim
,即求设斜渐近线为
例如:求函数1
1
223-+++=x x x x y 的渐近线
13、驻点:令函数y=f(x),若f'(x0)=0,称x0是驻点。 14、极值点:令函数y=f(x),给定x0的一个小邻域u(x0,δ),对于任意x ∈u(x0,δ),都有f(x)≥f(x0),称x0是f(x)的极小值点;否则,称x0是f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点。
15、拐点:连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点,称为曲线弧的拐点。
16、拐点的判定定理:令函数y=f(x),若f"(x0)=0,且x
17、极值点的必要条件:令函数y=f(x),在点x0处可导,且x0是极值点,则f'(x0)=0。 18、改变单调性的点:0)('0=x f ,)('0x f 不存在,间断点(换句话说,极值点可能是驻点,也可能是不可导点)
19、改变凹凸性的点:0)("0=x f ,)(''0x f 不存在(换句话说,拐点可能是二阶导数等于零的点,也可能是二阶导数不存在的点)
20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点,但函数的驻点不一定是极值点。 21、中值定理:
(1)罗尔定理:)(x f 在[a,b]上连续,(a,b)内可导,则至少存在一点ξ,使得0)('=ξf (2)拉格朗日中值定理:)(x f 在[a,b]上连续,(a,b)内可导,则至少存在一点ξ,使得
)(')()()(ξf a b a f b f -=-
(3)积分中值定理:)(x f 在区间[a,b]上可积,至少存在一点ξ,使得
)()()(ξf a b dx x f b
a
-=?
22、常用的等价无穷小代换:
3
332
3
1
~tan ,61~sin ,21~sin tan 21
~cos 1)
1ln(~)11(2~1~tan ~arctan ~arcsin ~sin ~x x x x x x x x x x x x x e x x x x x x ----+-+- 23、对数求导法:例如,x
x y =,()1ln '1ln '1
ln ln +=?+=?=x x y x y y
x x y x 解:
24、洛必达法则:适用于“
00”型,“∞
∞”型,“∞?0”型等。当∞→∞→→/0)(,/0)(,0x g x f x x ,)('),('x g x f 皆存在,且0)('≠x g ,则
)(')('lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x →→= 例如,2
1
2sin lim 002cos lim 001sin lim 0020=+---→→→x e x x e x x e x x x x x x 25、无穷大:高阶+低阶=高阶 例如, ()()()422lim 2321lim 5
3
25
3
2==+++∞→+∞
→x x x x x x x x 26、不定积分的求法
(1)公式法
(2)第一类换元法(凑微分法)
(3)第二类换元法:哪里复杂换哪里,常用的换元:1)三角换元:
22x a -,可令
t a x sin =;22a x +,可令t a x tan =;22a x -,可令t a x sec = 2)当有理分式函数
中分母的阶较高时,常采用倒代换t
x 1
=
27、分部积分法:?
?-=vdu uv udv ,选取u 的规则“反对幂指三”,剩下的作v 。分部积分出现循环形式的情况,例如:dx x xdx e x
?
?
3
sec ,cos 28、有理函数的积分:
例如:
()????+++=+++=++dx x dx x x dx x x x x dx x x x 323311
)1(12)1()1(2)1(23
其中,前部分
?+dx x x 2
)1(1需要进行拆分,令2
22)1(1)1(1)1(1)1(1+-+-+=+-+=+x x x x x x x x x x x 2)
1(1111+-+-=
x x x
29、定积分的定义:
∑?=→?=n
i i
i
b
a
x f dx x f 1
)(lim )(ξλ
30、定积分的性质:
(1)当a=b 时,
?=b
a dx x f 0)(;
(2)当a>b 时,
??-=a
b
b
a
dx x f dx x f )()(
(3)当f(x)是奇函数,
0,0)(>=?-a dx x f a
a
(4)当f(x)是偶函数,
??=-a
a
a
dx x f dx x f 0
)(2)(
(5)可加性:
???+=b
c
c a
b
a
dx x f dx x f dx x f )()()(
31、变上限积分:)()()(')()(x f dt t f dx d
x dt t f x x
a
x
a ==Φ?=Φ?? 推广:
[])(')()()
(x u x u f dt t f dx
d
x u a
=?
32、定积分的计算(牛顿—莱布尼茨公式):
)()()(a F b F dx x f b
a
-=?
33、定积分的分部积分法:[]?
?
-=b
a
b
a
b
a
vdu uv udv 例如:?
xdx x ln
34、反常积分:(1)无穷限的反常积分:
??+∞
→+∞=b
a
b a
dx x f dx x f )(lim )(
(2)无界函数的反常积分:dx x f dx x f b t
a t b
a
??+
→=)(lim )(
35、平面图形的面积:
(1)[]?-=
b
a
dx x f x f A )()(1
2
(2)[]dy y y A d
c
?-=)()(1
2
??
36、旋转体的体积:
(1)绕x 轴旋转,[]?=b
a
dx x f V 2
)(π
(2)绕y 轴旋转,[]dy y V d
c
?
=2
)(?π
高等数学知识点总结 (1)
高等数学(下)知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1) 椭圆锥面:2 2 222z b y a x =+ 2) 椭球面:122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面:1222222=++c z a y a x 3) 单叶双曲面:122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面:1222222=--c z b y a x 4) 椭圆抛物面:z b y a x =+2222 双曲抛物面(马鞍面):z b y a x =-22 22 5) 椭圆柱面:1222 2=+b y a x 双曲柱面:122 22=-b y a x 6) 抛物柱面: ay x =2 (二) 平面及其方程 1、 点法式方程: 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量:),,(C B A n =ρ ,过点),,(000z y x 2、 一般式方程: 0=+++D Cz By Ax 截距式方程: 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角:),,(1111C B A n =ρ,),,(2222C B A n =ρ, ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ;?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离: (三) 空间直线及其方程 1、 一般式方程:?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式(点向式)方程: p z z n y y m x x 0 00-=-=-
高等数学大一上学期知识要点
高数总复习(上) 一、求极限的方法: 1、利用运算法则与基本初等函数的极限; ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论
结论2: ()f x 是基本初等函数,其定义区间为D ,若0x D ∈,则 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质; ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或(lim ()0x f x →∞ =) 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1:有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设 ~,~ααββ'',
且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则; ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。
同济六版高等数学(下)知识点整理
第八章 1、向量在轴上的投影: 性质:?cos )(a a u =(即Prj u ?cos a a =),其中?为向量a 与u 轴的夹角; u u u b a b a )()()( +=+(即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ); u u a a )()( λλ=(即Prj u λλ=)(a Prj u a ). 2、两个向量的向量积:设k a j a i a a z y x ++=,k b j b i b b z y x ++=,则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注:a b b a ?-=? 3、二次曲面 (1) 椭圆锥面:222 22z b y a x =+; (2) 椭圆抛物面:z b y a x =+22 22; (旋转抛物面:z a y x =+2 22(把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转)) (3) 椭球面:1222222=++c z b y a x ; (旋转椭球面:122 2 22=++c z a y x (把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转)) (4) 单叶双曲面:1222222=-+c z b y a x ; (旋转单叶双曲面:122 222=-+c z a y x (把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转))
六年级数学上册重点知识归纳
六年级数学上册重点知识归纳 第一单元:位置 1、确定第几列、第几行的一般规则:竖排叫做列,横排叫做行;确定第几列一般是从左往右数,确定第几行一般是从前往后数。 2、用数对表示位置时,一般先表示第几列,再表示第几行。如数对(3,2)中的“3”表示第三列,“2”表示第二行。 3、物体平移前后顶点的位置变化: (1)图形向左或向右平移,改变了顶点所在的列,没有改变顶点所在的行,数对中的第一个数变了,第二个数没有变; (2)图形向上或下平移,改变了顶点所在的行,没有改变顶点所在的列,数对中的第一个数没有变,第二个数变了。 第二单元:分数乘法 1、分数乘整数的计算方法:分母不变,分子与整数相乘的积作分子。 2、分数乘分数,应该分子乘分子,分母乘分母。注意:能约分的可以先约分再乘。 注意:一个大于0的数乘大于1的数,积大于这个数。一个大于0的数乘小于1的数,积小于这个数。 3、分数混合运算的顺序和整数的混合运算顺序相同。 (1)在没有括号的算式里,同级运算从左往右进行计算; (2)在没有括号的算式里,既有乘除又有加减,要先算乘除后算加减; (3)有括号的要先算小括号里面的,后算中括号里面的,最后算括号外面的数。 4、整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也适用。 (1)乘法交换律:a×b=b ×a (2)乘法结合律:(a ×b)×c=a ×(b ×c) (3)乘法分配律:(a+b)×c=a ×c+b ×c 5、解决求一个数的几分之几是多少的问题,用乘法计算。 6、乘积是1的两个数互为倒数。求分数的倒数是交换分子、分母的位置;求整数的倒数是把整数看作分子是1的分数,再交换分子和分母和位置。注意:1的倒数是1,0没有倒数。 7、真分数的倒数一定都大于1;假分数的倒数一定都小于或等于1。 第三单元:分数除法 1、分数除法的意义与整数除法的意义相同,是已知两个数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。 2、分数除法的计算方法: ①分数除以整数(0除外),等于分数乘这个整数的倒数。 ②一个数除以分数,等于这个数乘分数的倒数。 ③甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。 3、一个数除以小于1(不等于0)的数,商大于被除数; 一个数除以1,商等于被除数; 一个数除以大于1的数,商小于被除数。
(完整版)高数_大一_上学期知识要点
总复习(上) 一、求极限的方法: 1、利用运算法则与基本初等函数的极限; ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论 结论2: ()f x 是基本初等函数,其定义区间为D ,若0x D ∈,则 0lim ()()x x f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质; ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或(lim ()0x f x →∞ =) 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1:有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ()()2 12 1cos ~,1~,11~,ln 1~,x x x e x x x x x μ μ--+-+ 1~ln ,x a x a -()0→x 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则; ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 0sin lim 1x x x →= 1 0lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x →∞+= 5、利用洛必达法则。 未定式为0,,,0,00∞ ∞∞-∞?∞∞ 类型. ①定理(x a →时的0 型): 设 (1)lim ()lim ()0x a x a f x F x →→==; (2) 在某(,)U a δo 内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠;
(完整版)高数知识点总结(上册)
高数知识点总结(上册) 函数: 绝对值得性质: (1)|a+b|≤|a|+|b| (2)|a -b|≥|a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)|b a |=)0(||||≠b b a 函数的表示方法: (1)表格法 (2)图示法 (3)公式法(解析法) 函数的几种性质: (1)函数的有界性 (2)函数的单调性 (3)函数的奇偶性 (4)函数的周期性 反函数: 定理:如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的,则它的反函数)(1 x f y -=存在,且是单 值、单调的。 基本初等函数: (1)幂函数 (2)指数函数 (3)对数函数 (4)三角函数 (5)反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性: 数列的极限: 定义:设 {}n x 是一个数列,a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε(不管它多么小) , 总存在正整数N ,使得对于n>N 的一切n x ,不等式 ε <-a x n 都成立,则称数a 是数列 {}n x 的 极限,或称数列{}n x 收敛于a ,记做a x n n =∞ →lim ,或 a x n →(∞→n ) 收敛数列的有界性: 定理:如果数列 {}n x 收敛,则数列{}n x 一定有界 推论:(1)无界一定发散(2)收敛一定有界 (3)有界命题不一定收敛 函数的极限: 定义及几何定义 函数极限的性质: (1)同号性定理:如果A x f x x =→)(lim 0 ,而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域,当x 在该邻域内(点0 x 可除外),有0)(>x f (或0)( 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。 注意啊:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,相反,a不属于集合A记作aA 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类: 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B 的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B 第八章 1、 向量在轴上的投影: 性质:?cos )(a a u =(即Prj u ?cos a a =),其中?为向量a 与u 轴的夹角; u u u b a b a )()()( +=+(即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ); u u a a )()( λλ=(即Prj u λλ=)(a Prj u a ). 2、 两个向量的向量积:设k a j a i a a z y x ++=,k b j b i b b z y x ++=,则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1)1(+- x x b a y y b a k ) =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注:a b b a ?-=? 3、 二次曲面 (1) 椭圆锥面:222 22z b y a x =+; (2) 椭圆抛物面:z b y a x =+2222; (旋转抛物面: z a y x =+2 2 2(把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转)) (3) 椭球面:1222222=++c z b y a x ; (旋转椭球面: 122 222=++c z a y x (把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转)) (4) 单叶双曲面:1222222=-+c z b y a x ; (旋转单叶双曲面:122 222=-+c z a y x (把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转) ) 高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim (1)l = 0,称f (x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 (3)l = 1,称f (x)与g(x)是等价无穷小,记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x , 1? cos x ~ 2/2^x , x e ?1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α 二.求极限的方法 1.两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.(夹逼定理)设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim 2.两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3.用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4.用泰勒公式 当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5.洛必达法则 第二章 导数与微分 一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式 (1)导数,左导数,右导数,微分以及导数和微分的几何意义 (2) 定理与运算法则 定理1 )(0x f '存在?='- )(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导,则)(x f y =在点x 0处连续;反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微?)(x f 在0x 处可导. 导数与微分的运算法则:设)(,)(x v v x u u ==均可导,则 v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)( u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)( )0()(2≠'-'='v v v u u v v u , )0()(2≠-=v v udv vdu v u d (3)基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 (1)复合函数微分法 (2)反函数的微分法 (3)由参数方程确定函数的微分法 (4)隐函数微分法 (5)幂指函数微分法 (6)函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法:对数求导法(即先对式子的两边取自然对数,然后在等式的两端再对x 求导). (7)分段函数微分法 3. 高阶导数 (1)定义与基本公式 高阶导数公式:a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()( )2sin()(sin )(π?+=n kx k kx n n )2cos()(cos )(π ?+=n kx k kx n n n m n m x n m m m x -+-???-=)1()1()()( !)()(n x n n = n n n x n x )! 1()1()(ln 1)(--=- 莱布尼兹公式: (2)高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率 二、 例题解析 例2.1 设?? ???=≠?=0,00,1sin )(x x x x x f K , (K 为整数).问: (1)当K 为何值时,)(x f 在0=x 处不可导; (2)当K 为何值时,)(x f 在0=x 处可导,但导函数不连续; (3)当K 为何值时,)(x f 在0=x 处导函数连续? 解 函数)(x f 在x=0点的导数: 0lim →x =--0 )0()(x f x f 0lim →x x f x f )0()(-=0lim →x x x x K 1sin )(? = 0lim →x x x K 1sin )(1?-= ? ??>≤101 K K 当,,当发散 即 ? ??>≤='1,01)0(K K f 不存在, 当1>K 时, )(x f 的导函数为: ?????=≠?-?='--0,00,1cos 1sin )(21x x x x x Kx x f K K 六年级上册数学知识点 第一单元 分数乘法 (一)分数乘法意义: 1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数的和的简便运算。 注:“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数,不能是分数。 例如:5 3×7表示: 求7个5 3的和是多少? 或表示:5 3的7倍是多少? 2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。 注:“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数,不能是整数。(第一个因数是什么都可以) 例如:5 3×6 1表示: 求5 3的6 1是多少? 9 × 61表示: 求9的61 是多少? A × 61表示: 求a 的6 1 是多少? (二)分数乘法计算法则: 1、分数乘整数的运算法则是:分子与整数相乘,分母不变。 注:(1)为了计算简便能约分的可先约分再计算。(整数和分母约分) (2)约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。(整数千万不能与分母相乘, 计算结果必须是最简分数) 2、分数乘分数的运算法则是:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。(分子乘分子,分母乘分母) 注:(1)如果分数乘法算式中含有带分数,要先把带分数化成假分数再计算。 (2)分数化简的方法是:分子、分母同时除以它们的最大公因数。高一数学知识点归纳
同济六版高等数学(下)知识点整理
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
大一上学期高数知识点电子教案
六年级数学上册知识点整理归纳