运城学院学士学位论文

运城学院学士学位论文

浅谈新课改后数形结合在高中数学

中的应用

系别：应用数学系

学科专业：数学与应用数学专业

班级：1141

姓名：来燕燕

学号：2011064114

指导教师：解瑞金

存档时间：2013年7月

内含材料：①读书笔记

②论文

学士学位论文

系别: 应用数学系

学科专业: 数学与应用数学

姓名: 来燕燕

运城学院

二零一三年六月

浅谈新课改后数形结合在高中

数学中的应用

系别：应用数学系

学科专业：数学与应用数学

姓名：来燕燕

指导教师：解瑞金

运城学院

二零一三年六月

浅谈新课改后数形结合在高中

数学中的应用

摘要数形结合就是根据数与形之间的对应关系，使数量关系和图形巧妙的结合起来，借助形的直观性和数的规范性以及它们之间的对应与转化关系来研究、解决数学问题的一种思想方法。现在高中教学对数学思维能力有较强要求，特别是在新课改实施后，更加注重提高学生的探究能力，要求主动进行探究式学习，强调实际动手操作，而不是机械被动的接受，真正做到以学生为本，与社会接轨，而数形结合是这一难题的重大突破口，如果能利用好这一工具，就可以起到事半功倍的效果.本文通过具体例题分析、探究在高中新课程改革中数形结合思想在教学中的应用.

关键词数与形数形结合新课程改革高中数学

Introduction to application of

symbolic-graphic combination in mathematics in high school after the new

curriculum reform

Abstract Symbolic-graphic combination is based on the corresponding relationship between number and shape , ingeniously make combination of quantitative relation and graphics , with the intuition of form , and the normality of number and the corresponding and transformation between them to research and solving math problems.Currently,mathematics thinking ability in high school has being demanded urgently, especially after the implementation of new curriculum reform, it stresses that students should improve their own capabilities, carries on the exploratory learning actively.To be truly student-centered,truly social integrated ,the actual beginning ability rather than mechanical passive acceptance is emphasized. The tool of symbolic-graphic combination is a breakthrough of this problem that if use it well，you can play a multiplier effect .This article explores the focus of analysis, through specific examples ，the thought of the application of symbolic-graphic combination in the new high school curriculum reform in teaching.

Keywords number and shape symbolic-graphic combination the new curriculum reform high school mathematics

目录

引言 (1)

第1章数形结合思想的研究作用 (1)

1.1 数形结合在高中数学教学中的应用 (1)

1.2 高中数学教学过程中新课改的必要性 (4)

1.3 从新课程教学内容的特点来看数形结合 (5)

1.4 从高考题设计来看数形结合 (5)

第2章数形结合在解题中的运用 (7)

2.1 数形结合解决最值问题 (7)

2.2 函数及其图像内容凸显的数形结合思想 (11)

2.3 几何内容充满了数形结合思想 (14)

总结 (16)

致谢 (17)

参考文献 ......................................... 错误！未定义书签。

引言

数形结合简言之，就是通过建立数与形之间的对应关系，把抽象的数学语言直观化来解决数学问题.它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面[1] ：或者是借助形的生动性和直观性来阐明数与数之间的联系，即以形作为手段，解决数学问题，比如应用向量图像的直观性来说明向量之间的关系运算；或者是借助于数的严谨性和周密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段来解决问题，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质[2].

纵观整个高中数学教材，都有用到数形结合思想，而且在高三的章节复习过程中也得到全面巩固，但学生在实际动手解题过程中仍会遇到很多问题，通过平时观察发现，现在很多学生对图形的综合应用性不强，很容易思维混乱，只停留在最浅层的图形分析上，知识不能灵活贯通.经过教育实习实践和阅读相关文献发现，数形结合可以使数学问题变得简单易懂，而大部分学生做题时比较盲目，不讲究方法、技巧，只是就题论题，不能很好的提取题中隐含的信息，也很难做到举一反三，因此有必要对高中数学教学中应用数形结合思想解决数学问题的技巧进行研究、探索.

文中通过具体实例详细分析了新课程改革后数形结合在高中数学中的应用.在分析过程中，结合数学教学实际，仔细回顾学生的解题误区，并指出相应的解决对策，意在让学生更好的理解并学会运用数形结合这一思想方法，对老师如何提高数学教学质量和提高学生成绩有切实可行的价值.

第1章数形结合思想研究的作用

1.1 数形结合在高中数学教学中的应用

高中数学与初中数学在知识的深度和广度上都大幅度增加，如二次函数、参变量问题、三角函数公式的运用、空间与平面及实际运用问题等，相同时间内接受的知识增加不少，但没有太多的课时让学生消化吸收；在语言方面也有明显的区别，初中数学主要是通俗、易懂，而从高一开始数学内容比较抽象，逻辑性比

较强，对高一新生来说思维跨度比较大，因此，教师在平时教学过程中要注意逐

渐培养学生将数学文字语言向图形、符号语言转化的能力.

新课改强调学生是学习的主体，但在教学过程中教师仍是领导者，是领路人

的角色，教师如果只是纯粹的讲授新知，学生很容易走进死学的胡同，容易产生

厌学情趣.高中生还普遍存在一听就懂，一看就会，一做就错的现象，而数形结

合则将教师单纯的“教”变成“教”与“学”并举，利用数图的配合呈现知识点

之间的关系及科学探究的思路，直观形象的揭示问题本质，让学生真正自主学习，

由“要我学”向“我要学”转变. 例如在讲授完函数概念后，向学生具体介绍函

数模型：指数函数、对数函数幂函数，通过图形对比记忆，最终目的是让学生多

方面、多层次的理解函数的本质；关于集合在高中课本开始部分讲到集合，作为

一种新概念的引入，数形结合的方法成为很好的过渡，在一定程度上帮助学生理

解交、并、补等概念.

（1）借助图形理解概念. 由表1.1知，集合A 和集合B 的交集就是两个集合的公共部分；集合A 和集

合B 的并就是两个集合的全部；集合S 中的子集A 的补集就是S 中除去A 的剩余

部分.通过图形，几个基本概念之间的联系、区别就很明了了.

（2）借助图形记忆公式

高中数学内容多公式也多，记忆起来比较麻烦.特别在三角函数这一板块，

三角函数的基本关系式、诱导公式等有几十个，要准确记忆不是易事，而且很容

易记混，如果利用三角函数的几何直观图来表示，借助直角坐标系和单位圆，如

图1.1所示，问题就很容易解决.

图中阴影部分表示集合A

与集合B 的交集，记为A ?B 图中阴影部分表示集合A 与集合B 的并集，记为

A ?B

图中阴影部分表示集合S 中子集A 的补集，记为C s A 表1.1 韦氏图的应用

A B

设r 是圆的半径，则OM =r ,N （0,x ）,M (y x ,),∠MON α=，则结合三

角函数的定义知：αsin x y =，αcos r x =，x

y =αtan （0≠x ）.借助图形我们还能得到如图1.2的情况：

每种三角函数在各个象限的符号（正号或负号）就能够容易记忆.且有“奇变偶

不变，符号看象限”，我们很容易判断各三角函数的符号，如)sin(A +π的符号，

在A sin 的图形上再往左旋转0180，把A 看成锐角，可以判断在第三象限，有

A A sin )sin(-=+π.

（3）借助图形记忆运算

图像由于它的直观性与整体感，是人们数学学生的重要工具，数学教学中许

多运算可以通话图形帮助理解并加强记忆，借助图形的直观性来理解抽象概念，

如向量的加减法运算，它的整个运算过程运用图1.3很容易完成，但用文字很难

图 1.1

正弦 余弦 正切

＋ ＋ － － － ＋ － ＋ － ＋ ＋ － 图 1.2 y x

),(y x M O N

描述.

借助图形教师可以很形象的把向量的运算法则讲解清楚，学生也能清楚理解

并掌握.在数学教学中，对数量的关系问题，分析其几何意义，借助图形的直观

性来解决问题，使逻辑思维和形象思维很好的结合起来，对学生素质的拓展和解

题能力的提高都有很大的帮助，也为探究数学新知开辟了一条重要途径.

1.2 高中数学教学过程中新课改的必要性

新一轮基础教育课程改革是“新课改”的全称.从根本上说，我们当今处在

知识大爆炸的信息时代，社会正日新月异的向前发展，如果我们所学的知识仍停

步不前，我们就会被淘汰，要做到真正对学生负责，让他们真正全面、自主、个

性的发展，新课程改革已成为教育的新潮流.高中数学课程标准在课程理念、课

程目标、课程内容及实施建议等各个部分都对数形结合思想方法做了具体要求，

较传统教学相比，新课改强调知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观“三

维”目标的达成，因此，进行新课改已成为一种必要：

（1）培养学生思维能力的需要.数学教育改革要求学生既要掌握数学基础知

识，又要掌握基本技能.一旦学生掌握一种数学思想方法，他们会在思想上有所

突破，数学思维及问题解决能力也可以提高到一个新的层次.通过国内外相关文

献比较分析，数形结合一方面在宏观认识上能对学生的各种能力起到促进作用，

比如观察、理解、记忆、逻辑等；另一方面，还能培养学生的创新和实践动手能

力，让学生主动参与、积极探究、学会合作，适应社会的发展需要.

（2）提高教学效果的需要.长时间以来受到传统观念的束缚，数学教育侧重

三角形法平行四边形法

则

向量的减法 图1.3 向量的运算 b a + b a b a b b a -

b a + a

于学习现成知识的结论、解题技巧和方法，却忽略了数学学习的最初目的、基本态度和学生能力的培养，从而降低了教育的质量.学生需要的并不是现成的结论、经验，只有通过自己分析、总结经验，才能真正掌握一门学习技巧，在学习、生活中都会受益匪浅.

1.3 从新课改教材的内容特点来看数形结合

新课改的核心理念就是一切以学生的发展为前提.因此，现代教学要注重培养学生的主动学习能力和数学思维能力，优化学习动机，数形结合思想偏重于将某些抽象的数学问题直观化，生动化，能够变抽象思维为形象思维，使很多问题简单化，这样可以优化学习，提高学生的学习兴趣，使学生健康、快乐的学习.

新课改后，高中数学课程分为必修和选修两部分.必修部分包括集合、函数概念与基本初等函数、立体几何初步、平面几何、平面解析几何初步、平面上的向量、三角恒等变换、解三角形、数列、不等式等[2].可以说，整个高中数学基本上都在数形结合的思想下展开.新课标的基本理念是注重高中数学的基础性，发扬我国高中数学重视基础知识教学和基本能力的培养.就高中数学新教材比原先的旧版教材，有许多鲜明的特点：数学语言在抽象程度上更突出，思维方法向理性层次变迁，知识内容的整体增加[3]，如常见的求函数的值域，最值问题，解方程及解不等式或是三角函数等问题，很大程度简化了解题过程，在选择，填空题中这种优势更为显著，因此，教师要帮助学生把这一观点深植到学生的认知结构中，灵活的运用这一思维工具.

1.4 从高考题设计来看数形结合

随着社会的发展，不断提倡创新型人才，高考命题也朝着多样性和多变性发展，强调检测学生的创新能力，特别是学生运用数学知识分析解决实际问题的能力.学生在平时学习中要加强对知识理解的准确性、深刻性及综合运用能力.

向量与平面解析几何都具有数形结合的特征，在它们的知识点交汇处命题正是高考命题的一大亮点.题设条件中，通常涉及夹角、平行、垂直、共线、长度等问题，应用这些条件时，通常是向量的坐标运算把其转化为解析几何中的条件，

使问题坐标化、代数化、符号化，从而应用代数运算来解决解析几何中的相关问题.其中，平面向量的的数量积的坐标形式运算，两非零向量平行、垂直的充要条件，向量的夹角公式，模的计算等都是常用到的知识.

从考试的角度来看，解选择题，填空题只要答案对就可以了，至于用到什么方法、手段都不重要，但思路要清晰，平时做题过程中要尽可能弄清每一个题的解决方法，在解一道题时可能会有好几种不同的解法，这就要求学生能够理解和掌握所学知识并很好的运用.由于不要求过程，解题过程中用数形结合可以化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确和快速.

例 1.1 （上海）如图1.4，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC =2.

若c AD 2=且a CD AC BD AB 2=+++，其中c a 、为常数，则四面体的体积的最大值是_____________ .

解析 因为c AD 2=且a CD AC BD AB 2=+=+，可见B 点和C 点是在D A 、为焦点的椭圆上；

又因为AD 与BC 垂直，可知四面体BCD A -是由三角形ABD 绕AD 旋转到

ACD 这个位置得到的.

作AE 垂直于BC 于点E ，2=BC 且BC 垂直于ADE ，所以四面体BCD A -的

体积最大值即当三角形ADE 的面积最大时，即EF 取最大值时；即BF 取最大值时.

BF 的最大值是

c a 22-，EF 的最大值是122--c a ，所以四面体BCD A -体积最大值为13

222--c a c

.

图 1.4 图1.5 D C

B A D

C A B E F

小结本题主要是考查学生空间立体想象能力，根据题意结合图形来解答.本题最大的难点是借助空间图形进行分解与组合，作出辅助线，本题也不是只考查四面体的相关知识，还应用了椭圆的相关知识，我们习惯自上而下观察图形，在本题中我们要学会换位思考作出相应辅助线解答.

高中的解析几何大多会包含许多知识点，也考查学生的变向思维能力，命题一般都紧密结合教材，但不局限于教材，因此备受出题者的青睐.高考中的几何题通常概念性很强，思维活跃，计算要求不是很高，解中常常通过数形结合思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的，考查学生的综合动手动脑能力.

第2章数形结合在解题中的运用

新教材更加注重学生的认知规律，借助实例引入新知识，增强学生的数学应用意识，激发学生的求知欲望，因而提高课堂效率.所以，教师要立足新教材，又不仅仅局限于新教材，在吃透教材的基础上挑选经典题型，并努力创设解决问题的各种情境，诱导学生自己动手、动脑参与到问题的解决中.

2.1 数形结合解决最值问题

利用数形结合思想可以解决一些比较复杂的最值和值域问题，特别是一些三角函数的题目和我们通常见到的线性规划问题.近几年来，在高考数学试卷中，都有实际应用问题，实际上就是数学知识在现实生活中的应用，正符合现在新课改的目的要求学以致用，与生活接轨，与社会接轨.

例2.1某公司计划2013年在甲，乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告费用不超过90000元，甲、乙两个电视台的广告费标准分别为500元/分和200元/分，假定甲、乙两个电视台为该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少元？

分析本题属于典型的求最值题，它考查的是时间分配问题，所以采用线性规划的方法解决.先设分配给甲、乙电视台的广告时间分别为x、y,然后建立关

于x ,y 所满足的约束条件（即不等式）和目标函数y x z 20003000+=.然后借助几何图形，在可行域内求目标函数的最大值.在求最大、最小值时，先令目标函数为0，即020003000=+y x ,根据限制条件作出图形，然后平移目标函数，若求最小值目标函数向左平移，最后一个接触点就是所求点，函数值就是所求值；若求最大值目标函数向右平移，最后接触点就是所求点，函数值就是所求值[4].

解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告是时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得 300≤+y x 300≤+y x

90000200500≤+y x

即 90025≤+y x 0≥x 0≥x

0≥y 0≥y

目标函数为y x z 20003000+=.

画出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图2.1所示的阴影部分.作直线L ：020003000=+y x ,即023=+y x .平移A ，从图2.1可知，当L 过M 点时，目标函数取的最大值.联立

解得x =100,y =200.故点M 的坐标为)200,100(M .

700020003000max =+=y x Z （元），即公司在甲电视台做100分钟广告，在乙公司做200分钟广告，公司收益最大，最大收益是70万.

.

90025,300=+=+y x y x

小结 本题考查线性规划的实际应用，同时也考查了数形结合思想.在物资调运、产品安排、下料问题、饲料配方等问题中，一般运用线性规划来求其最大值或最小值.本题实际上还考虑了不等式的应用，这就要求在解题时要学会灵活运用所学知识，注意知识的连贯性.在近几年的高考试卷中都可以找到实际应用的题，正符合新课改的核心理念“以学生为本，关注学生的全面发展”.

例2.2 已知实数x 、y 满足0143=-+y x ,求22)1()1(-+-y x 的最小值.

分析 在本题中，充分利用了数学式的几何意义：（1）22)1()1(-+-y x 是点),(y x 到点（1,2）的距离的平方，两点之间线段最短；（2）

0143=-+y x 是点),(y x 的轨迹，该题实际上是求点（1,2）到直线0143=-+y x 的最短距离，这些几何意义起到了以“形”助“数”的作用.在明确了min D 即为点（1,2）到0143=-+y x 的距离后，这一距离并不是从图形上测量而得，而是用点到直线的距离公式求得的，这就是“数”解“形”的作用.

解 22)1()1(-+-y x 的几何意义是：点),(y x 到点（1,2）的距离D 的平方，而点),(y x 到0143=-+y x 上移动.显然D 的最小值是点（1,2）到直线0143=-+y x 的距离.

y

x

200 图2.1

100

200

100 ）

，（200100M O

即=min D 243|

1-2413|22=+?+?，

所以=min D 2，即22)1()1(-+-y x 的最小值为4.

小结 本题和上述例题同属一类，但不是单纯的运用题设条件写出限制条件， 通常函数求最值需要画出几何图形，该题只告诉了直线0143=-+y x ，但不要忽略了在题目最后22)1()1(-+-y x 中我们还可以提取到点（1,2）到),(y x 的距离，该题还可理解为22)1()1(-+-y x 2R r ==,求R 的最小值.做题过程中要分析解决问题首先要理解题意，借助图形，注意所说的图形可以只是比较大概的草图，通过图形帮助理解大意是很有效的方法.在平时训练中，教师可以适当增加一些开放式题和新型题的训练以开拓学生的知识面，加强对图形的应用.

例 2.3 某生产厂家在生产机器零件时需要使用A 型胶水粘合零件之间的磁钢与夹板，但长期以来对该胶的使用没有明确的规定标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱落，影响了产品质量.经过试验，已有一些恰当用胶量的具体数据（表2.1），现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系，试解决此问题.

序号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 磁钢

面

积

/cm 2 11.0 19.4 26.2 46.6 56.6 67.2 125.2 189.0 247.0 443.4

用胶 量/g

0.164 0.369 0.404 0.664 0.812 0.972 1.688 2.86 4.076 7.332

分析 本题看似与图形没有关系，实际上该题与上述两个例题是同一类型，从生产厂家考虑还是希望用最少的材料产生最大的效益，所以该题还是求最值问题.分析题意，就是要建立一个以磁钢面积为自变量，用胶量为因变量的关系.本题中没有给出函数的模型，需要通过分析所给的数据，选择适当的模型求解.观察散点图2.2，可以清楚地看到这些基本在一条直线附近，所以可以选择直线作 表 2.1

为模拟模形.

解 若令x 表示磁钢的面积，单位2cm ，令y 表示用胶量，单位g ，根据图像可以设二者的函数关系为b ax y +=.取点（56.6，0.812），（189.0，2.86），将其坐标带入b ax y +=，得：

b a b a +=+=0.18986.2,

6.56812.0

解得06350.0,01547

.0-==b a . 所以所求的关系式是 06350.001547

.0-=x y .

小结 本题还是考查函数的应用.列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，往往就是要根据题意画出相应的示意图，这里隐含着数形结合的思想方法在题中没有给出函数模型时，需要通过分析所给的数据，选择适当的模型求解.如何选择函数的模型呢？最好的方法是画出散点图，观察与之最接近的函数图像，知识要学会活学活用.我们要立足教材，但绝不能局限于教材，学会发散思维，这才符合新课改的目的.

2.2 函数及其图像内容凸显了数形结合思想

y

6

4

8 2

x 100 200

图 2.2 O

函数是高中数学的重要内容，所占份额比较大，包括三角函数、指数函数、对数函数、幂函数、一元二次函数等，因此，要加强数形结合意识，做到脑中有图，将图形性质与数量关系联系起来，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，达到化难为易，解决问题的目的.

例2.4 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图形如图2.3所示，下列结论：①0>abc ；②02<+b a ；③024<+-c b a ；④0>+c a .其中正确结论的个数为（ ）.

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

解析 从图像的开口向和图向与y 周交点的纵坐标可以直接得到0,0>

b 0<,所以b a 、异号；反之，b a 、同号.本题中抛物线对称轴在y 轴右侧，所以0>b ；所以0

c .对于b a +2，需要根据抛物线定点横坐标与1的大小比较.观察图像可得，-a

b 21<,所以b a +20<.而

c b a +-24是二次函数当自变量取值为-2时的函数值，观察图像可发现点）（c b a +--24,2在x 轴下方，所以

024<+-c b a .又由图像可得当1=x 时的函数值c b a ++的绝对值大于1-=x 时的函数值c b a +-的绝对值，所以0)(>+-+++c b a c b a ,所以0>+c a .故选择B 项.

y

x 1 图 2.3 O -1

小结 与图形相关的函数题，图形是一个突破口，解题过程中一定要紧密结合图形解答.本题的突破口是二次函数开口向下，说明0a ，开口向下0

b 2；若042>-=?a

c b ，说明函数图像与x 轴有两个交点，方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个解；若ac b 42-=?0=,说明函数图像与x 只有一个交点，即方程)0(02≠=++a c bx ax 有一个解（或两个相同的解）；若042<-=?ac b ,函数图像与x 轴无交点，方程无解.以上都是二次函数的基本性质，要求学生熟练掌握并灵活运用.

例2.5[5] 已知函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（-∞，4）上是减函数，则a 的范围是________.

解析 在解这个题目时，必须应用数形结合与分类讨论的思想方法，否则容易得出3-≥a .求解这个题目是逆向思维的过程——根据单调性求参数的值，由于二次函数的单调区间从顶点的横坐标处分开，即对称轴的横坐标，而根据题设求得顶点的横坐标是a -1，含有参数a ,无法确定它与4的大小关系，所以要分类讨论，分类的标准是a -1与4的大小关系，针对每种情况画出一个草图（如图所示），根据图像可知符合题意的是右边的两边曲线，而这两种情况与第三条曲线的区别就在于它们的对称轴的位置不同，概况起共同性可以得出符合条件的关系是41≥-a ,即4在a -1的左边，从而求解得3-≤a .

x

y 4 1 1 图 2.4

O

小结 本题与上例题同属一类，都是有关二次函数的题型，但本题的难度要求更高，在熟练掌握二次函数基本性质后考查的知识面更深、更广.很多题目的求解过程中如果能自觉运用数形结合的思想方法，可以避免不应该出现的错误，例2.5中画出图像可以快捷正确地求解.

例 2.6[6] 方程x x sin lg =的实根的个数是（ ）.

A 1个

B 2个

C 3个

D 4个

解析 用代数的方法求解该方程是很困难的，因此考虑数形结合法：观察图形方程x x sin lg =的解是函数x y lg =与x y sin =图像的交点的横坐标.

所以这两个函数图像的交点个数即为方程解的个数.在同一坐标系里作出x y lg =与x y sin =的图像，如上图2.5，不难看出，这两个图像有三个交点，故方程x x sin lg =有三个解，正确选项为C .

小结 在解有关三角函数的问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.方程与函数是密切联系的两个数学概念，方程的解是相应函数图像交点的横坐标，因此，对一些解起来困难的方程可以借助数形结合比较容易.再者，在做选择题时要求思路清晰，但不要求过程，结合图形可以快速解答.

2.3 几何内容充满了数形结合思想 y x x y lg =

1 π2π

图 2.5

-1 x y sin = O