位移与时间的关系教案

第二章运动的描述

第3节匀变速运动的位移与时间

一、预备知识：

1、匀速直线运动的位移

先从匀速直线运动的位移与时间的关系人手，由位移公式x＝vt．画出匀速直线运动的速度一时间图象．如图2—3—1和2—3—2所示．

图线与初、末时刻线和时间轴围成的矩形面积．正好是vt．

当速度值为正值时，x＝vt>O，图线与时间轴所围成的矩形在时间轴的上方．当速度值为负值时，x＝vto表示位移方向与规定的正方向相同，位移x

2、关于刘徽的“割圆术”．

微分方法在物理学研究中有着广泛的应用．魏晋时的数学家刘徽首创了“割圆术”——圆内正多边形的边数越多，其周长和面积就越接近圆的周长和面积．如图2—3—3

二、匀变速运动的位移与时间关系式

1、物体做匀变速直线运动的速度一时间图象，如图2—3—4中甲所示．

该物体做初速度为v

的匀加速直线运动．

模仿刘徽的“割圆术”做法，来“分割”图象中图线与初、末时刻线和时间轴图线所

围成的面积．先把物体的运动分成5个小段，在v —t 图象中，每小段起始时刻物体的瞬时速度由相应的纵坐标表示(如图乙)．5个小矩形的面积之和近似地代表物体在整个过程中的位移．把物体的运动分成了10个小段．分成的小段数目越多，小矩形的面积总和越接近于倾斜直线下所围成的梯形的面积．为了精确一些，可以把运动过程划分为更多的小段，如图丙。可以想象，整个运动过程划分得非常非常细，小矩形合在一起组成了一个梯形OABC ，梯形OABC 的面积就代表做匀变速直线运动物体的位移． 在图丁中，v —t 图象中直线下面的梯形OABC 的面积是

S=(OC+AB)XOA/2

把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成x ＝(V o +V)t/2

把前面已经学过的速度公式v ＝v 0+at 代人，得到x ＝2

02

1at t v x +=

这就是表示匀变速直线运动的位移与时间关系的公式。也同样适用于匀减速直线运动。

在公式2

2

1at t v x +=中，初速度v o ，位移x ，加速度a ，时间间隔t 图2—3—5．匀变速直线运动的速度一时间图象用画斜线部分的面积表示位移

2、用公式推导：

根据平均速度的定义式t v x =， 代入 02

t

v v v +=和0t

v v at =+就可以推出

匀变速直线运动的位移公式为：2

2

1at t v x += 匀减速位移公式还可X=V 0t —1/2 at 2 3、初速度为0时：若00=v ，则2

2

1at x =。速度一时间图象的面积为三角形。

4、匀变速直线运动的位移还可以：由t v x = 02

t

v v v += 得出

t v v x )(2

10+=求位移方便灵活。

5、逆向转换法：匀减速直线运动初速度V ，加速度a ，匀减速至速度为0，则此运动可逆向看成初速度为0，加速度a ，末速度V 的匀变速直线运动。公式可简化：

速度与时间：v=v 0－a t a

v v t t 0

-=

初速度0时： V=at 位移与时间：2

021at

t v x +

=

初速度0时： X=1/2at 2 匀减速位移公式还可X=V 0t —1/2 at 2

三、典型例题

例1某做直线运动的质点的位移随时间变化的关系式为2

42,x t t x =+与t 的单位分别是m 和s ，则质点的初速度和加速度分别是（ ）

A ．4/m s 和22/m s

B ．0和42

/m s C ．4/m s 和42

/m s D ．4/m s 和0

解析：做匀加速直线运动的位移随时间变化的关系式为：X =2

012

v t at +

，与关系式242x t t =+相比较，2

04/,4/v m s a m s ==，所以只有C 正确。

例2一辆汽车在笔直的公路上做匀变速直线运动，该公路每隔15m 安置一个路标，如图1所示，汽车通过AB 两相邻路标用了2s ，通过BC 两路标用了3s ，求汽车通过A 、B 、C 三个路标时的速度。 解析：汽车从A 到C 是匀减速运动，设汽车通过路标A 时速度为A v ，通过AB 的时间12t s =，通过BC 的时间23t s =。 根据位移公式2

012

s v t at =+，研究AB 运动的过程， 有2112AB A s v t at =+

，研究AC 运动过程，有211

2

AC A s v t at =+ 其中125t t t s =+= （ 第一个式子中时间应是t 1的平方，第二个式子中时间应是t ）

解得：2

8.5/,1/A v m s a m s ==-

再根据速度公式

1 6.5/B A v v at m s =+=

A B C

图1

3.5/C v v at m s =+= （式子中应是V A ）

例3 以18/m s 的速度行驶的汽车，紧急刹车后做匀减速直线运动，其加速度大小为62

/m s ，求： （1）汽车在2s 内通过的距离； （2）汽车在6s 内通过的距离。

解析：应首先判断所求位移对应的时间内汽车是否一直在运动，然后利用匀变速直线运动的位移公式进行求解。

已知汽车刹车时间的初速度018/v m s =，因为是匀减速直线运动，所以加速度6/a m s =-，设经过0t 秒汽车停止运动(0)t v =，则由10v v at =+ 得00183(6)

v t s s a =

==--- 因102t s t =<，故前2s 内汽车一直在运动，所以前2s 内通过的距离（即位移的大小）

221011

182(6)22422

s v t at m m m =+=?+?-?=

（匀减速也可以用X=V 0t-1/2at 2

可以，a 代入绝对值）

又因206t s t =>，汽车刹车后运动3s 就停下来了，所以6s 内汽车通过的距离也就是3s 内汽车通过的距离，所以6s 内汽车通过的距离为

222011

183(6)32722

s v t at m m m =+=?+?-?=

（匀减速也可以用X=V 0t-1/2at 2

可以，a 代入绝对值）

例题4的预备题：物体以12

/m s 的加速度由静止开始运动，T=2s ，在连续相等的时间T 内位

移分别是多少呢，由2

2

1at t v x +=计算X 1 =2m X 2=6m X 3=10m X 4=14m X 5=18m （ 先t=2s 代入公式，求出X 1 =2m ，再t=4s 代入公式，求出前4s 运动的距离X=8m ，X-X 1=X 2再t=6s 代入公式，求出前6s 运动的距离X=18m ，X-X 1-X 2= X 3）

在匀变速直线运动中，连续相等时间T 内的位移之差等于一个恒量，即2aT x =?。 连续相等时间内的位移之差为一恒定值。

例 4 有一个做匀变速直线运动的质点，它在两段连续相等时间内通过的位移分别是24m 和64m ，连续相等的时间为4s ，求质点的初速度和加速度的大小。

解析：根据位移公式得

2

12

21

21

2A B s v T aT s v T aT =+=+

根据速度公式得

B A v v aT

=+

将1224,64,4s m s m T s ===代入上面三式，联立解得2

1/, 2.5/A v m s a m s ==

[规律总结]

1）列出位移分别为24m 和88m 的方程，可以省略速度公式，更简化。

2）或利用2

aT x =?直接求出加速度。

例5．关于先加速后减速问题（图像的巧妙应用）

从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12s 时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车。汽车从开出到停止总共历时20s ，行进了50 m 。求汽车的最大速度。

分析：汽车先做初速度为零的匀加速直线运动，达到最大速度后，立即改做匀减速运动，可以应用解析法，也可应用图像法。

解法1：设最大速度为v m ，由题意，可得方程组

2

2

222112

121t a t v t a x m ++=

21t t t += 11t a v m = 220t a v m +=

整理得520

50

22=?==

t x v m m/s 解法2：用平均速度公式求解。

匀加速阶段和匀减速阶段平均速度相等，都等于

2m v ，故全过程的平均速度等于2

m v

，由平均速度公式得

2m v ＝t x ，解得520

50

22=?==t x v m m/s 可见，用平均速度公式求解，非常简便快捷，以后大家要注意这种解法。

解法3：应用图像法，做出运动全过程的v-t 图像，如图所示，。v-t 图线与t 轴围成三角形的面积与位移等值，故

2t v x m =

，所以520

50

22=?==t x v m m/s

例6．火车沿平直铁轨匀加速前进，通过某一路标时的速度为l0.8 km ／h ，1 min 后变成54km

／h ，再经一段时间，火车的速度达到64.8 km ／h ．求所述过程中，火车的位移是多少?

先由v=v 0+a t 代入V 0=3m/s V 1=15m/s t 1=60s 求出a=0.2m/s 再把V 1=15m/s V 2=18m/s a=0.2m/s 代入求出t 2=15s t=75s

例7．一辆汽车以1m ／s 2的加速度做匀减速直线运动，经过6 s(汽车未停下)汽车行驶了102m ．汽车开始减速时的速度是多少?

小结

一、匀速直线运动的位移

1、匀速直线运动，物体的位移对应着v-t图像中的一块矩形的面积。

2、公式：x ＝v t

二、匀变速直线运动的位移与时间的关系

1、匀变速直线运动，物体的位移对应着v- t图像中图线与时间轴之间包围的梯形面积。

2、公式x＝v o t+at2/2

3、推论v2－v02 = 2 a s

4、平均速度公式v平＝（v0＋v）/2

梅尔敦定理与平均速度公式

1280年到1340年期间，英国牛津的梅尔敦学院的数学家曾仔细研究了随时间变化的各种量．他们发现了一个重要的结论，这一结论后来被人们称为“梅尔敦定理”．将这一实事求是应用于匀加速直线运动，并用我们现在的语言来表述，就是：如果一个物体的速度是均匀增大的，那么，它在某

段时间里的平均速度就等于初速度和末速度之和的一半，即：（v0＋v）/2