直线与抛物线位置关系
自学指导
直线与抛物线（1）第一页
点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用)
点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用) 一．点与抛物线的位置关系： 已知点p （x 0,y 0）和焦点为F 抛物线2y =2px （p>0） （1）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）内? 2o y <2p 0x （p>0） （2）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）上? 2o y =2p 0x （p>0） （3）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）外? 2o y >2p 0x （p>0） 二．直线和抛物线线之间的关系： 已知抛物线C:2y =2px （p>0）直线l ：Ax+By+C=0 抛物线C 和直线l 相离： （1）抛物线C 和直线l 相离?抛物线C 和直线l 无交点?方程组22x y =0 y px A B C =++?? ?无解，消去y 得 关于x 的方程设为 A 2x 2 +2(AC-pB)x+C=0 （1）(或消去x 得关于y 的方程,Ay 2 +2pBy+C=0…⑵)?方程（1）（或方程（2）无解）? 方程（1）中的 判别式?<0(方程（2） 中的 判别式00. 若抛物线C 和直线l 有两个交点A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2））.C ()00,y x 是AB 的中点，则直线AB 的斜率0 y p k AB = 则|AB|= ()() 2 2 1212x x y y -+- 当直线l 斜率是k 时2221122 1(1)()||1k AB k x x y y = +-=-+ 直线l 倾斜角为α时2 21212||1tan ||1t AB x x y y co αα=-+=-+
《空间中直线与直线的位置关系》习题
《空间中直线与直线的位置关系》习题 一、选择题 1. 一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是 ( ) A .相交． B .异面 C .平行． D .相交或异面． 2.a 、b 是两条异面直线，c 、d 小也是两条异面直线，则a 、c 的位置关系是( ) A .相交、平行或异面． B .相交或平行． C .异面 D .平行或异面． 3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各侧面对角线所在的直线中与B 1D 成异面直线的条数是() A .3． B .4． C .5． D .6． 4.异面直线a 、b 分别在平面α和β内，若l =βα 则直线l 必定( ) A .分别与a 、b 相交． B .与a 、b 都不相交． C .至多与a 、b 中的一条相交． D .至少与a 、b 中的一条相交． 5. 空间四边形ABCD 中AB =CD ，且AB 与CD 成60°角，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，则EF 与AB 所成角的度数为 ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．30°或60° 二、填空题 6.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是______．(把符合要求的命题序号都填上) 7.异面直线a ，b 所成角为80o，过空间一点作与直线a ，b 所成角都为θ的直线只可以作2条，则θ的取值范围为_________. 8.如果把两条异面直线看成“一对”，那么在正方体的十二条棱所在的直线中，共有_____对异面直线． 9. 正四棱锥ABCD V -的侧棱长与底面边长相等，E 是V A 中点，O 是底面中心，则异面直线EO 与BC 所成的角是___________. 10. 已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 ①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是__________________(写出所有正确结论的编号)． 三、解答题 11.已知直线a 和b 是异面直线，直线c ∥a ，直线b 与c 不相交，求证b 和c 是异面直线． =，AC 12.空间四边形ABCD ，已知AD =1，BD AD ⊥BC ，对角线BD ，求AC 和BD 所成的角。 答案与解析 1.D 2.A 3.D 4.D 5.D 6.② 7.40o<θ<50o 8.24. 9.3 π 10.对于命题①，经过两条平行直线分别作两个平面垂直于平面α，则在这两个平面内可以作出两条不垂直的异
点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用)
点、直线与抛物线之间的位置关系 (学生 用) 一.点与抛物线的位置关系： 已知点P (x o, y o )和焦点为 (1 )点 (2 )点 (3 )点 (x o,y o ) (x o,y o ) (x o,y o ) 在抛物线 在抛物线 在抛物线 F 抛物线 2 y =2px 2 y =2px y =2px y 2=2px (p>0) 内 (P>O) (P>O) (P>0) 2 y o <2p X o 2 y 。=2p x o 2 (P>0) (P>0) y o >2p X o ( p>0) 二.直线和抛物线线之间的关系： 已知抛物线 C: y 2=2px (p>0)直线 I : Ax+By+C=0 抛物线C 和直线I 相离： (1)抛物线C 和直线I 相离 抛物线C 和直线I 无交点 方程组 得 关于X 的方程设为 A 2x 2 +2(AC-pB)x+C=0 (1)(或消去x 得关于y ⑵) 别 式 方程(1)(或方程(2)无解) 0.) 方程(1)中的判别式 2 y 2 PX 无解，消去 y Ax By C=0 2 的方程,Ay +2pBy+C=0?- <0(方程(2)中的判 抛物线 C 和直线I 相切 (2)抛物线C 和直线I 相切 抛物线C 和直线I 有唯一交点 方程组I 2 y 2px 组解 方程组I 消去y 得关于X 的方程设A 2x 2+2(AC-pB)x+C=0 (1)(或消去 程Ay 2 +2pBy+C=0…⑵)有两个相等的实数解 方程(1)的 判别式 0 0. C 和直线I 相交 抛物线C 和直线I 相交 抛物线C 和直线I 相交有一个交点或两个交点 判别式 抛物线 (1) 2 y 2p x 有一解或两解 抛物线 Ax By C=0 C 和直线I 相交: 分类为：1.直线和双曲线有一个交点 程设为mf+nx+p=O (1)方程 .直线和双曲线有两个交点 有一 Ax By C =0 X 得关于y 的方 (或方程(2)的 方程组 y 2 2px 有一解 消去y 得关于X 的方 Ax By C=0 (1)中的m=0且方程nx+p=0有解； 方程组 2 y 2p x 有两组不同实数解 Ax By C=0 (1 )方程(1 )有两个不同的实数根方程 方程组 消去y 得关于x 方程设为mx+nx+p=0 判别式 >0. 若抛物线C 和直线I 有两个交点 A(X 1,y 1),B(X 2,y 2)) 方程(1)中的m 0 . 的斜率k AB P y o 2 X 2 2 y 2 当直线I 斜率是k 时 AB J (1 k 2 )(X 2 为)2 I y 直线I 倾斜角为 时 AB I 为 X 21{1 tan 2 1*1 ?C X o ,y o 是 AB 的中点，则直线 y 21 ~~cot 2 AB
直线与抛物线的位置关系教案
2.4.2直线与抛物线的位置关系 教学目标 1、知识与技能 掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法； 2、过程与方法 联立方程组的解析法与坐标法 3、情感态度价值观 让学生体验研究解析几何的基本思想，培养学生主动探索的精神 教学重点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法 教学难点： 直线与抛物线的位置关系的判断方法的应用 教学方法：多媒体教学、学案式教学 教学过程 一、课题引入 师：之前我们学习了直线与椭圆和双曲线的位置关系，请位同学说说如何判断直线与椭圆和双曲线的位置关系. 提问的目的： 1、类比直线与椭圆及双曲线的位置关系得出直线与抛物线的三种位置关系； 2、“直线与双曲线有一个交点不一定是切点”和“直线与抛物线有一个交点不一定是相切的情形”类似，为后面总结直线与抛物线的位置关系的“特殊性”做铺垫.） 师：在学案给出的抛物线图中，画直线，观察直线与抛物线的位置关系，从交点个数入手，有几种情况？（培养学生动手和归纳总结的能力） 在研究直线与椭圆和双曲线位置关系时，除了从几何图形入手研究位置关系外，我们还可以用什么方法来研究直线与圆锥曲线的位置关系？（引出代数法） 二、新课讲授 例1：已知抛物线的方程为2 4y x =动直线l 过定点P(-2,1),斜率为k.。当k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =。（1）只有一个公共点。（2）有两个公共点；（3）没有公共点 例题设计思路及目的：在本例中，学生会用几何判断法和解方程组的方法.对于几何判断法，随着斜率k 的变化，直线与抛物线的位置关系在不断变化，但是对应的k 的具体取值范围无法确定。另一方面在学完直线与椭圆及双曲线位置关系后，几何法行不通学生自然会想到利用方程联立得到新的一元二次方程，通过判断?及判断交点的个数，即把几何图形的问题转化为了代数问题.这个思维过程体现了转化与化归的思想、数形结合的思想. 那么该方程组的解的个数问题又可以转化为一个什么问题呢？此处引导学生消元（消去x 或y ）得到关于y 或x 的方程，同时注意消元方法的选择（板书过程中，引导学生消元，消去哪一个未知数在下一步计算当中更方便一些，通过比较得出最好的一种消元方法）.消元后的方程0)12(442=++-k y ky ①这样由于方程组解的个数与导出的方程解的个数相同，我们只需讨论消元后的方程①解的个数.提问学生，该方程一定是关于y 的一元二次方程吗？学生意识到系数符号不同，方程的类型也不同.若系数为零，则是一次方程，此时消元后的方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，从而直线与抛物线只有一个公共点.若系数不为零，则消元后的方程是二次方程，由于二次方程的解的个数与判别式符号有关，故只需讨论判别式的符号.当判别式0>?时，方程有两个解，对应的方程组就有两个解，此时直线与抛物线有两个公共点；当判别式0=?时，方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，此时直线与抛物线有一个公共点；当0
空间直线与直线的位置关系(教案)
课题： 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 桓台一中数学组尹朔教材版本：新课标：人教版A 版《数学必修2》设计思想：空间中直线与直线的位置关系是学生在已经学习了平面的基本概念的基础上进行学习的。在立体几何初步的内容中，位置关系主要包括直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。而空间中直线与直线的位置关系是以上各种位置关系中最重要、最基本的一种，是我们研究的重点。其中，等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下角的大小不变，它是两条异面直线所成角的依据，也是以后学习研究二面角几角有关内容的理论依据，它提供了一个研究角之间关系的重要方法。 教材在编写时注意从平面到空间的变化，通过观察实物，直观感知，抽象概括出定义及定理培养学生的观察能力和分析问题的能力，通过联系和比较，理解定义、定理，以利于正确的进行运用。 教材分析：直线与直线问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。 教学目标： 1、知识与技能 （1）.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。 （2）.会用平面衬托来画异面直线。 （3）.掌握并会应用平行公理和等角定理。 （4）.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法 （1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合； （2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。 3、情感态度与价值观 （1）.让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 （2）.增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。（3）.通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。教学难点：异面直线所成角的推证与求解。 教具准备:学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）教学模式 问题——自主、合作——探究
直线与抛物线的位置关系详案
2.4.2 直线与抛物线的位置关系 、教材分析及教学对象分析从教材角度分析，本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》选修2-1. “直线与圆锥曲线的位置关系” 一直是教学的一个重点内容，并且该内容涉及到了很多重要的数学思想，“转化思想”、“分类讨论思想” 、“数形结合思想” ，这些数学思想在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时起着至关重要的作用. 鉴于教材并未专门设立“直线与圆锥曲线的位置关系”这一内 容，因此本节课通过研究“直线与抛物线的位置关系” ，探讨出相应的解决方法，并把相应的研究 方法运用到讨论“直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系”中，从而提高教材知识的 系统性和全面性. 从学生的角度分析，学生在之前已学习了“直线与圆的位置关系” ，对判断 “直线与圆的位置关系” 已掌握了基本的方法，但是考虑到学习间断的时间较长，平行班的部分 学生对知识与方法的记忆和理解不够扎实，因此本节课利用代数方法研究“直线与抛物线的位置关 系” ，在知识的衔接上起到了“承上启下”的作用 、教学目标1、知识与技能：掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法； 2、过程与方法：联立方程组的解析法与坐标法； 3、情感态度价值观：让学生体验研究解析几何的基本思想，感受数学发展史的源远流长 三、教学重点 四、教学难点 五、教学方法：直线与抛物线的位置关系及其判断方法.：直线与抛物线的位置关系的判断方法. ：多媒体教学、学案式教学. 教学过程 、课题引入 师：之前我们学习了直线与圆的位置关系，根据直线与圆公共点个数进行分类分别为：没 有公共点、一个公共点、两个公共点，对应的位置关系我们分别叫做：相离、相切、相交. 类比直线与圆的位置关系，你能说出直线与抛物线的位置关系吗？注：利用PPT 演示几种位置关系 二、新课讲解 生：观察图像，得出结论. 师：结合PPT此时直线与抛物线没有公共点，称直线与抛物线相离；此时有两个公共点， 称直线与抛物线相交；当直线与抛物线有一个公共点时，是否一定是相切呢？演示相切的情形，这时是相切，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个公共点，对于这种位置关系我们也叫做直线与抛物线相交. 因此我们要特别注意：若直线与抛物线有一个公共点，此时位置关系有两种可能，即直线与抛物线相切或直线与抛物线的对称轴平行. 下面简单地总结一下. （板书：直线与抛物线的位置关系：相离、相切、相交）师：现在我们清楚了直线与抛物线的位置关系，那么利用什么方法判断直线与抛物线的位置关系呢？请大家做一下这个题目，第一组做（1）（2），第二组做（3）（4）判断下列直 线与抛物线的公共点个数. 1） y 1 与y x2； 2）y 1 与y2 x； 3） y 2x 1与 y x 2 4）y x 与y x2. 注：课前先分好组，第一组做(1) (2),第二组做(3) ( 4).在学生做题的过程中，教师到学生中观察，找到自己想要的两种方法?鉴于学生的基础，可能会出现的判断方法有图像观 察法，解方程组的方法，个别基础好的同学会用判别式法
直线与直线的位置关系——对称
直线与直线的位置关系（3）——对称问题 教学目标 1、利用直线相关知识解决直线的有关对称问题。 2、初步学会解决三角形中的直线问题 1、两直线平行和垂直的判定 2、点到直线的距离公式 (1) 点到直线的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2 . (2) 两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0，Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d ＝ |C 1－C 2|A 2＋B 2 例1 已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求： (1) 点P(－2，－1)关于直线l 的对称点坐标； (2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程； (3) 直线l 关于点(1,1)对称的直线方程． 解：(1) 设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)， 则线段PP ′的中点M 在对称轴l 上，且PP ′⊥l. ∴????? y 0＋1x 0＋2·??? ?－12＝－1x 0－22＋2·y 0－12－2＝0 ，解得??? x 0＝25y 0＝195，即P ′坐标为????25，195. (2) 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 2上任一点P(x ，y)关于l 的对称 点P ′(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立．
由????? y －y ′x －x ′·????－12＝－1x ＋x ′2＋2·y ＋y ′2－2＝0，得????? x ′＝3x －4y ＋45y ′＝－4x －3y ＋85. 把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理，得7x －y －14＝0. 即直线l 2的方程为7x －y －14＝0. (3) 设直线l 关于点A(1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P(x 1，y 1)关于点A 的 对称点P ′(x ，y)一定在直线l ′上，反之也成立． 由????? x ＋x 12＝1 y ＋y 12＝1，得????? x 1＝2－x y 1＝2－y ， 将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得x ＋2y －4＝0.∴直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0. 例2 直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，且A ，B 的坐标分别为A(－ 4,2)，B(3,1)，求顶点C 的坐标并判断△ABC 的形状． 解：由题意画出草图(如图所示)． 设点A(－4,2)关于直线l ：y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b)，则A ′必在直线BC 上．以下 先求A ′(a ，b)．
空间中直线和平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 （1）直线与平面位置关系可归纳为
(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外， 我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法： ①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内， 而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是 无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外； ②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边 形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； ③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一 条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有 一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个 平面。 变式1、下列说法中正确的是 。 ①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l αααα?b αα?b α.1 C ?答案：B 变式3、 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l 与平面α的位置关系. 图3 解：直线l 与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.
知识讲解-直线与抛物线的位置关系(理)-基础
直线与抛物线的位置关系 【学习目标】 1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求抛物线的方程； ２．能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率、准线)解决相关问题； 3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题．【知识网络】 【要点梳理】 要点一、抛物线的定义 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线． 要点诠释：上述定义可归结为“一动三定”:一个动点,一定点F(即焦点)，一定直线（即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与定直线ｌ的距离之比）. 要点二、抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 22 y px =,22 y px =-，22 x py =，22 x py =-(0) p> 抛物线 抛物线的定义 与标准方程 抛物线的几何 性质 直线与抛物线的位 置关系 抛物线的综合 问题 抛物线的弦问题 抛物线的准线
图像 方程 y ２ =2px(p ＞0） y ２ =－２px(p>0) x 2＝2py （p ＞０） ｘ2＝-2p ｙ(ｐ＞０) 焦点 ,02p F ?? ??? ,02p F ??- ??? 0,2p F ?? ??? 0,2p F ? ?- ? ? ? 准线 2 p x =- 2 p x = 2 p y =- 2 p y = 要点诠释：求抛物线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设抛物线方程的具体形式；“定值”是指用定义法或待定系数法确定p 的值. 要点三、抛物线的几何性质 范围：{0}x x ≥,{}y y R ∈， 抛物线y ２ =2ｐx(p>0)在y 轴的右侧,开口向右,这条抛物线上的任意一点Ｍ的坐标（x,y)的横坐标满足不等式x≥０；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 对称性:关于x 轴对称 抛物线y 2＝2ｐx （p ＞0）关于x 轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 顶点：坐标原点 抛物线ｙ２=２px(ｐ>0)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是(0,0)。 离心率：1e =. 抛物线y 2＝２ｐx(p ＞0）上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率。用e 表示,e=1。 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。 要点三、直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系 将直线的方程y kx m =+与抛物线的方程y ２ =２px （p ＞0)联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程,其判别式为Δ. 2220ky py pm -+=
《直线与直线之间的位置关系》教案正式版
《直线与直线之间的位置关系》教案 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）了解空间中两条直线的位置关系； （2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理； （5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 2、过程与方法 （1）师生的共同讨论与讲授法相结合； （2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。 3、情感与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 二、教学重点、难点 重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。 难点：异面直线所成角的计算。 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板 四、教学思想 （一）创设情景、导入课题 1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课 1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图： 2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？ 组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， 共面直线
BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 生：平行 再联系其他相应实例归纳出公理4 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 （2）例2（投影片） 例2的讲解让学生掌握了公理4的运用 （3）教材P47探究 让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力。 3、组织学生思考教材P47的思考题 （投影） 让学生观察、思考： ∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800 教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。 （1）师：如图，已知异面直线a 、b ，经过空间中任一点O 作直线a'∥a 、b'∥b ，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）。 （2）强调： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； =>a ∥c 2
2.4.3.直线与抛物线的位置关系(一)
2.4. 3.直线与抛物线的位置关系（一） 【学习目标】 通过本节的学习,能运用性质解决直线与抛物线位置有关的简单问题,进一步体会数形结合的思想. 【自主学习】 1、直线与抛物线的位置关系 设直线:l y kx b =+,抛物线2 2(0)y px p =>,直线与抛物线的交点的个数等价于方程组22y kx b y px =+??=?解的个数,也等价于方程2220kx px bp -+=解的个数. 三、当0k ≠时, 当0?>时,直线和抛物线____,有____公共点; 当0?=时,直线和抛物线____,有____公共点; 当0?<时,直线和抛物线____,有____ 公共点． 四、当0k =,即直线方程为0y y =时，则直线y b =与抛物线22(0)y px p =>相交,有一 个公共点． 五、特别地,当直线的斜率不存在时, 即直线方程为x m =，则 当0m >, l 与抛物线相交,有两个公共点; 当0m =时,与抛物线相切,有一个公共点； 当0m <时,与抛物线相离,无公共点. 注: 直线与抛物线只有一个公共点时，它们可能相切，也可能相交． 【典型例题】 例1 已知抛物线的方程是x y 42 =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率是k .k 为何值时，直线l 与抛物线x y 42 =：只有一个公共点；两个公共点；没有公共点？ 例2斜率为1的直线经过抛物线x y 42 =的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长． 解法一：解方程组，得交点的坐标，利用两点间距离公式解之. 思路二：同思路一相同，但不解方程组，利用根与系数的关系和弦长公式解之.
空间中直线与直线之间的位置关系(附答案)
空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然 有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O， 所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法 方法内容 定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内 定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用) 反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不
是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ?? ? 共面直线??? ?? 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线 无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性 符号语言 ? ??? ?a ∥c b ∥c ?a ∥b 图形语言 知识点三 空间等角定理 1.定理
直线与平面、平面与平面的位置关系知识点
//a b a b α α??//a α//a b 直线与平面、平面与平面的位置关系 【知识梳理】 【直线与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：直线与平面无公共点． （2）判定定理： （3）其他方法：//a αββ? 2．性质定理：//a a b α βαβ??= 【平面与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：两平面无公共点． （2）判定定理：////a b a b a b P β β αα ???= //αβ （3）其他方法：a a α β⊥⊥ //αβ； ////a γ βγ //αβ 2．性质定理：//a b αβ γαγβ?=?= //a α //a b
【直线与平面垂直的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）用定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直． （2）判定定理：a b a c b c A b c α α ⊥⊥?=?? a α⊥ （3）推论：//a a b α ⊥ b α⊥ （3）性质① a b α α⊥? a b ⊥ ② a b α α⊥⊥ 【平面与平面垂直的判定方法和性质定理】 （1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）判定定理 a a αβ?⊥ αβ⊥ （3）性质：①性质定理 l a a l αβ αβα ⊥?=?⊥ αβ⊥ ② l P PA A αβαβαβ⊥?=∈⊥垂足为 A l ∈ ③ l P PA αβ αβα β⊥?=∈⊥ PA α? 【转化思想】 面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直 //a b
直线与抛物线的位置关系教案
课题：直线与抛物线的位置关系 教学目地 培养学生从形及数两个角度研究分析问题的习惯，学会依形判数，就数论形，互相验证的数学方法，提高数形结合的能力。 教学重点 运用解析几何的基本方法建立数形联系。 媒体运用 电脑powerpoint 课件，几何画板动态演示，实物投影 教学课型 新授课 教学过程 （一）复习引入 通过问题复习方程和曲线的关系。 1、怎样判断直线L 与抛物线C 的位置关系？ 为了使学生思考更有针对性，给出具体的例题：已知直线L ：1(1)2 y x =+，抛物线C ：24y x =，怎样判断它们是否有公共点？若有公共点，怎样求公共点？ 估计学生都能回答：由方程组21(1)2 4y x y x ?=+???=? 的解判断L 与C 的关系，紧接着提出问题： 2、问为什么说方程组21(1)2 4y x y x ?=+???=? 有解，L 与C 就有公共点，为什么该方程组的解对应的点就是L 与C 的交点？ 通过这一问题，复习一下的对应关系： 直线L 上的点?方程1(1)2 y x =+的解；抛物线C 上的点?方程24y x =的解；L 与C 的公共点?方程组21(1)2 4y x y x ?=+???=? 的解。 既然有了这样的一一对应的关系，那么研究直线与抛物线的公共点，可以通过研究对应的方程组的解来解决；同样，讨论方程组是否有解，也可通过研究直线与抛物线是否有公共
点来解决。这样就引出了解决这一类问题的两种方法，代数法和几何法。 （二）分析讨论例题 讨论直线L ：(1)y m x =+与抛物线C ：24y x =公共点的个数。 请一位学生说一下解题思路，估计能回答出：考虑方程组2(1)4y m x y x =+??=? 的解，然后让学生尝试自己解决。 提出下列几个问题： 1、从几何图形上估计一下，能否猜想一下结论？ 如果被提问的学生不会回答，可作引导：直线L 有什么特点？m 表示什么？抛物线C 有什么特点？在解决这些问题的同时画出图形。 2、m 为何值时，L 与C 相切？ 3、当m 很接近于零但不等于零时（在提问同时用图形表示），L 与C 是否仅有一个公共点？ 后两个问题从图像看不准，对于问题3，可能有部分同学认为仅有一个公共点，另外一些同学认为会有两个公共点，带着这个问题用代数法验证。 探究：请学生画出图形表示上述几个位置关系，从图中发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况？（几何画板动态演示）<有两种情况，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切.后一种反映在代数上是一元二次方程的两根相等。 （三）小结： 1、几何关系与代数结论的对照 直线L ：Ax+By+C ＝0与抛物线C ：y 2 ＝2px 的位置关系?讨论方程组202Ax By C y px ++=??=?的解，消元转化为关于x 或y 方程220(0)ax bx c ay by c ++=++=或。 L 与C 的对称轴平行或重合?a=0； L 与C 有两个不同的公共点?00a ≠???>?；L 与C 相切于一点? 00a ≠???=? L 与C 相离? 00 a ≠???
空间中直线与直线之间的位置关系经典例题
2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系 一、基础达标 1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是() A．一定平行B．一定相交 C．一定异面D．相交或异面 答案 D 解析可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)． 2．a、b为异面直线是指 ①a∩b＝?，且a不平行于b；②a?平面α，b?平面α，且a∩b＝?；③a?平 面α，b?平面β，且α∩β＝?；④不存在平面α能使a?α，且b?α成立．() A．①②③B．①③④ C．②③D．①④ 答案 D 解析②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．3．(2014·郑州高一检测)下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是() 答案 C 解析易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线． 4．下面四种说法： ①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；
②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交； ③若a∥b，则a、b与c所成的角相等； ④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是() A．4 B．3 C．2 D．1 答案 D 解析若a、b异面，b、c异面，则a、c相交、平行、异面均有可能，故①不对．若a、b相交，b、c相交，则a、c相交、平行、异面均有可能，故②不对．若a⊥b，b⊥c，则a、c平行、相交、异面均有可能，故④不对．③正确． 5.(2014·威海高一检测)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正 三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是() A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面 C．AE，B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60° 答案 C 解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．综上所述，故选C.
直线与平面的关系
第二章 直线与平面的位置关系 一、平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L ， B ∈L =>L α A ∈α，B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理2作用：确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 异面直线：不在同一个平面内的两条直线。异面直线既不相交也不平行。 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面直线。这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。 5 注意点：（1）直线所成的角θ∈(0， ]。 （2）条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； （3）直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； （4）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a ∩α=A a ∥α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 2
立体几何空间直线与直线的位置关系教案资料
立体几何空间直线与直线的位置关系
空间直线与直线的位置关系 一、知识要点: 1.空间中两条直线的位置关系： （1）?? ?? ?? ? ? 相交直线：_____________共面直线 平行直线:______________异面直线:_________________________ （2）异面直线的画法： a b a b （3）判断： ①空间中没有公共点的两条直线是异面直线（） ②分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线（） ③不同在某一平面内的两条直线是异面直线（） ④平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线（） ⑤既不相交，又不平行的两条直线是异面直线（） 2.公理4：________________ _____________________. 符号表示为：__________________ _ 作用：判断空间两条直线平行的依据. 注：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间此性质都适用. 3.(等角定理)：空间中，如果两个角的两边分别对应平行， __________________________.
4.异面直线所成的角的定 义:_____________________________________________________. 异面直线所成的角的范围：_____________. 二、典型例题： 1、如右图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中, （1）哪些棱所在的直线与直线BA 1成异面直线？ （2）求直线BA 1和CC 1所成的角的大小. （3）哪些棱所在的直线与直线A 1B 垂直？ 2、如图在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点。 求证：四边形EFGH 是平行四边形。 3、在上题中, 如果再加上条件AC BD =,那么四边形EFGH 是什么图形? 4、把条件改为: E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且 CF CG 3==, CB CD 4 C A 1