矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具———矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。
§1 矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到的。
一、引例
求解线性方程组 ???????=+-+=-+-=+-+=+--979634226442224321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x
(1)
(1) )(1B )(2B
)(3B ??
?
????=-==+-=+-+0
0304244324321x x x x x x x x )(4B 问题10
共采取了几种变换将(1)变为)(4B 的？
（三种：(ⅰ) 交换方程的次序；(ⅱ) 用数)0(≠k 乘某方程； (ⅲ) 将某方程的k 倍加到另一方程上。且
这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的）
20
在这三种变换下，(1)与)(4B 是否同解？即这三种变换是否都可逆？ （都可逆，即同解变换） 30
采取这三种变换的目的是为了将(1)变为什么形状以便得到解？ （阶梯形。其寓意：方程④表明方程组有一个多余的方程； 将③代入②得32x x =，表明3x (或2x )可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的阶宽多于一个未知量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解，所以我们特别重视自由未知量）
40 由于(1)与其增广矩阵)(b A B =
构成一一对应，那这三种变换在矩阵中对应的效果是什么？
?
?=B ?????? ??------9796321132
2111241211 ???
??
?
??-------343
3
063550022204121
1
??????
?
?----3
1
062000
0111041211 500
03100001110412
11B =???
??
? ?
?---. 对于矩阵的行只作了三种变换，也就是说，为解线性方程组对方程组作变换，就相当于对其增广矩阵的行作同类变换，下面给出这三种对矩阵的行作的变换在矩阵中的正式定义：
②-③ ③-2① ④-3① ①②
③④
①
? ② ③ ÷
③?④ ④-2③ ③?④ ④-2③ ①②③④
②-③ ③-2①
④-3① ②
÷ 2
③+5② ④-3②
二、初等变换
1、定义1 以下三种变换称为矩阵的初等行变换：
(ⅰ) 对调两行（对调i 、j 两行记作：
j i r r ?）；
(ⅱ) 以数k ≠
0乘某行中的所有元素（第i 行乘k 记作：k r i ?）；
(ⅲ) 将某行所有元素的倍加到另一行对应元素上去（将第j 行的k 倍加到第i 行记作：j i r k r +）。 将定义中的 “行”换成“列”，即可得到矩阵初等列变换的定义，将记号中的r 换成c 就是初等列变换的记号。初等行、列变换通称初等变换。
注? 显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换仍为同种的初等变换：
j i r r ?的逆变换为i j r r ?； k r i ?的逆变换为k r i ÷； j i r k r +的逆变换为j i r k
r 1+. ? 注意矩阵的初等变换与行列式的性质运算从定义到记号虽然十分相似，但又根本不同，千万不能混淆。再次强调：经行列式运算得到的行列式与原行列式是相等的，但经初等变换得到的矩阵与变换前的矩阵千万不能用等号连接，它们是不相等的，我们称它们是等价:
定义2 若对矩阵A 实行有限次初等变换变成矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价，记作A ~B . 类似于无穷小的等价概念，我们称A 与B 为等价是因为它确实是一种等价关系，它具有： ① 自反性 ——— A ~A ； （取k = 1，作乘数初等变换即可） ② 对称性 ——— A ~B ? B ~A ； （∵初等变换都是可逆的） ③ 传递性 ——— A ~B ，B ~C ? A ~C . （将两次的初等变换合并到一起对A 作即可） ? 初等变换是线性代数的一个重要工具，首先利用初等变换可以将任一矩阵化为形如4B 的矩阵，我们形象地称之为行梯形阵，其特征：可画一阶梯线，线下方的元素均为0，每层台阶的高度只有一行，阶数即为非零行的行数，阶梯线的竖线后的第一个元素是一非零数，它也是非零行的第一个非零数。
例如 ?????? ??------=97963422644121121112B
?????? ?
?------97963211322111241211??
??
?
? ??-------34330635500222041211
?
????
?
?
?----3
10006
2000011104
1211 ??---000
003100001110
4121
1500
031000
301104010
1
B =???
??
? ?
?---. 注? 5B 是一个更简单的行梯形阵，其特征：非零行的第一个非0元素均为1，且这个1所在的
列中其它元素均为0。用方程组的语言来说这个特征：只有一个元素是1，其余元素均为0的列恰为非自由未知量421,,x x x 所对应的列。它对应的同解方程组是
?????-==-=-33443231x x x x x ? ???
??-=
+=+=33443231x x x x x )(5B ———这个结果正是将34-=x 回代入4B 对应的方程组时所求得的解，即5B 对应的方程组就是回代结果)(5B ，即取3x 为自由变量，并令c x =3，即得
x =????
??
??-+?????? ??=??????
?
?-++=?????? ??303401113344321c c c c x x x x ，其中c 为任意常数。 这表明得到矩阵5B 就等于得到了方程组的解，鉴于5B 形式的重要性，我们给它起个名称———
行最简形。也就是说：解一个线性方程组，只需将它对应的增广矩阵B 经初等行变换变成其行最简
r 3?r 4 r 4-2r 3
r 2
÷
2 r 3+5r 2 r 4-3r 2 r 1
? r 2 r 3 ÷ 2 x 1
x 2
x 3
x 4
形即可得到方程组的解。
? 有无自由未知量决定于非零行的阶宽，对一个阶宽就多一个自由未知量。不看最后的常数列
时，阶加宽一列，其阶数就少一层，故：自由未知量的个数 = 未知量个数 -
非零行行数 =n –r ！！！
? 由于方程组与其增广矩阵是一一对应的，故自然地猜想：任何一个矩阵的行最简形式是唯一 的，从而行阶梯形中非零行的行数也必唯一，从而自由未知量的个数也必唯一。
2、矩阵的标准形
如果对行最简行5B 再进行初等列变换，可将矩阵5B 变成更简单的以下形式：
5B ??
???
?
??00000001000001000001??? ??==O O O E F 3. 我们称F 是矩阵B 的标准形。可以证明，一般地任一m ?n 矩阵A 都可以经初等变(行变换和列变
换)变成标准形
A ~ n
m r O O O E F ??
??
??= 其中r 就是A 行阶梯形的非零行的行数。 注? 任一个矩阵都有标准形，且若行阶梯形的非零行的行数r 是唯一的话，标准形是唯一的。 ? 由于进行了列变换，增广矩阵的标准形与方程组的解之间没有关系。
? 容易证明一个重要结论：矩阵A ~B ? A 与B 的标准形相同(∵B ~A ~F ，且等价具传递性)。 所有与A 等价的矩阵组成的集合{}
等价与A B B 称为是一个等价类，A 的标准形F 就是这个集合里最
简单的那个矩阵，可视为是这个等价类的代表元。
小结 本节特点概念多，内涵信息多。主要概念——初等变换，但小概念多——自由和非自由未知量，行阶梯形，行阶梯形的非零行的行数，行最简形，标准形，等价。清楚这些概念与方程组的关系对下面的学习是十分重要的。比如：数r 与行阶梯形的非零行的行数，与自由未知量的个数之间应为何关系？
§2 矩阵的秩
上节我们猜测：矩阵经初等变换化为行阶梯形时，其非零的行数r 是唯一确定的，且这个行数r 与自由未知量的个数有关：自由未知量的个数 =
变量个数n – r . 由此可见，r 是矩阵的一个很重要的数字特征，实际上将其抽象出来就是矩阵秩的概念。但非零行数的唯一性未经证明，故不能直接从行阶梯形的非零行数来抽象矩阵秩的概念，我们从另一个角度建立秩的概念，然后再沟通矩阵的秩与其行阶梯形非零行数的关系。为此先引入
1、k 阶子式
定义2 在m ?n 矩阵A 中，任取k 行与k 列()，位于这些行列交叉处的这k 2个元素，按原位置次序构成的k 阶行列式，称为矩阵的k 阶子式。
例如， ??
??
?
?
?
?------97
0465211032201123
412011， 得其3阶子式：7
061131
21--- . 注 m ?n 矩阵A 共有k
n k m
C C 个k 阶子式。
2、秩的定义及其求法
定义3 设在矩阵A 中有一个不为0的r 阶子式D ，且所有的r +1阶子式(若存在的话)均为0，
c 3?c 4 c 4+c 1+c 2 c 5-4c 1-3c 2+3c 3
则称D 为矩阵A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A 的秩，记作R (A ). 并规定R (O )=0.注 显然，矩阵A 的秩就是A 所有非零子式的最高阶数。只要A 不是零阵，就有R (A )> 0. 并且秩有以下基本性质:
① R (A )≤min{m ,n }
② 若有一个r 阶子式不为0，则R (A )≥r ； 若所有的r +1阶子式都等于0，则R (A )≤r ； ③ R =)(T A R (A ).
例1 求矩阵A 与B 的秩，其中
A ???
? ??-=174532221， B ?????
?
??----=00000340005213023012.
解 ∵ A 有2阶子式03
221≠，且A 只有一个3阶子式，即0=A ， ∴R (A ) = 2.
∵B 有3阶子式
0244
002303
12≠=--，由于B 的第4行元素均为0，故B 的4阶子式均为0，∴R (B ) = 3.
注? 若n 阶方阵的行列式0≠A ，则A 的最高阶非零子式就是A ，所以R (A ) = n ，故称A 为满秩矩阵；若0=A ，则称A 为降秩矩阵。
? 当矩阵的行、列数都较高时，用定义求秩是困难的，定义主要具有理论价值。
? B 的秩较好求是因为它是一个行阶梯形阵，显然行阶梯形阵的最高阶非零子式就是其非零行的第一个非零数所在的行与列所构成的子式，即 阶梯形阵的秩就等于其非零的行数！！！
自然的想法：能否将矩阵化为行阶梯形阵来求其秩？即问题是等价矩阵的秩是否相等？下面的定理给出了回答：定理1 若A ~B ，则R (A )=R (B )，即初等变换不改变矩阵的秩。
证 (分析：只需证在一次初等变换下：R (A )≤R (B )且R (A )≥R (B ).) 设R (A )= r ，且A 的某个r 阶子式D r ≠ 0. 因为A ~B ，故A 可经初等变换变为B ，又R =)(T A R (A )，所以可仅就行变换的情形给出证明：
(1) 先证经一次初等行变换后，R (B )≥R (A )= r ：
当A B 或A B 时，则B 中与D
r 相对应的子式r 必满足r r D D =或r r D D -=，或
r r kD D =，从而总有0≠r D ? R (B )≥r ；
当A B 时，① 若D r 不含第i 行，或同时含第i 行和第j 行，则≠=r r D D 0，所以R (B )≥r ； ② 若D r 中含第i 行但不含第j 行，则有
r
r j i j i r D k D r k r r k r D ?+=+=+=
若=r D ?0，则≠=r r D D 0?R (B )≥r ；若≠r D ?0，则r D ?就是A 的不含第i 行的r 阶子式，由①知R (B )≥r ，
综合以上知，经一次初等行变换后R (B )≥R (A ).
(2) 再证经一次初等行变换后R (B )≤r ：因为初等行变换均可逆，再由(1)的证明知：R (B )≤R (A )；
综合以上知经有限次初等行变化后，R (A )=
R (B ). ▋ 注 由于初等变换不改变矩阵的秩，故我们可用初等行变换将A 化为行梯形阵，即得其秩
例2 设 ?????
?
?
?-----=414
613510216323
05023A ， 求R (A )，并求A 的一个最高阶非零子式。
r i ? k
r i ? r j r i +kr j
由上知，A 的最高阶非零子是3阶的，故只需找A 的一个不为零的三阶子式。又A 的行阶梯形
4
11
-，与它相对应的是A 的1、2和4三列，只需在这三列构成的矩阵
????
? ??--=16
1502
6235231A 中找个三阶的非零子式。因为3阶子式：01630020024305
262
35
2
3≠-=--+++-=-，所以它就是A 的最高阶非零子式。
例3 设??????
?
?-------=606322420
84
2122
1A ，?????
?
??=4321B ，求矩阵A 及B 的秩。 解 )(b A B = ??----13600512000240011221??????--0000050
0000120011
221 ?????
? ?
?--00
00010000
0120011
221 ? R (A )= 2，R (B )= 3 .
注 上面只作了初等行变换，故它们对应的方程组是同解方程组，而B 的行阶梯形所对应的方程
组含有矛盾方程
10=(矩阵第3行所对应的方程)，所以B 对应的非齐次线性方程组b x A =无解，问题个关键是R (A )= 2 ≠ R (B )= 3造成的。 注意，事实上
R (A ) ≠ R (B ) ? R (A )< R (B )
? 在B 的行最简形阵中的最后一个非零行对应出现矛盾方程0 =1 ? 方程组无解。
这个具体问题不禁让我们猜想：一个线性方程组有没有解应与它系数矩阵与增广矩阵的秩的关系有关？？！！这是我们下面一节中专门要讨论的问题。
§3 线性方程组的解
关于方程组我们的问题是：非齐次线性方程组什么时候有解？什么时候无解？有解的时候有多少？即唯一不唯一？不唯一时有多少？有解时如何求出解来？现在我们将以矩阵的秩为工具给出解的判定定理。从最简单的情形入手。
定理2 n 元齐次线性方程组0=?x A n m 有非零解的充分必要条件是R (A ) < n . 证 “?”： 若方程组有非零解，往证R (A ) < n .
用反证法。设R (A ) = n ? 在A 中有一个n 阶非零子式D n ? D n 对应的线性方程组只有零解，这与原方程组有非零解矛盾，即假设错误，所以R (A ) < n .
“?”: 若R (A ) = r < n ? A 的行阶梯形矩阵只有r 个非零行 ? 方程组有n -r 个自由未知量， 任取一个自由未知量为1，其余的自由未知量全取为0所得到的那个解，就是方程组的非零解。 ▋
r 2
÷ 2 r 3+5r 2 r 4-3r 2 r 2 -2r 1 r 3+2r 1 r 4-31
(A ) = n . 显然克莱姆法则是定理2的特例的不完全叙述，即定理2涵盖了克莱姆法则，定理2的特例：
齐次线性方程组 0=?x A n n 有非零解 ? R (A ) < n
？？ 这就圆满解决了第一章最后一节的一个遗留问题——定理5/
? 定理5/
的逆否命题：齐次线性方程组 0=?
x A n n 有唯一零解
? R (
A ) = n
? A 是满秩阵 ? 0≠A ? A 可逆 ? ？？？？.
定理3 n 元齐次线性方程组b x A n m =?有解的充分必要条件是R (A ) = R (B )，其中),(b A B =. 证 “?”： 若方程组有非零解，往证R (A ) = R (B ) .
用反证法。设R (A ) < R (B ) ? B 的行阶梯形阵的最后一个非零行对应矛盾方程：0 = 1，这与原方程组有解矛盾，即假设错误，所以R (A ) = R (B ).
“?”: 若R (A ) = R (B )，往证方程组有解。设R (A ) = R (B ) = r (r ≤n )，则B 的行阶梯形矩阵中含有r 个非零行，将这r 个非零行的第一个元所对应的个未知量作为非自由未知量，其余n -r 个作为自由未知量，并取这n - r 个自由未知量为0，即得方程组的一个解。 ▋
注? 显然定理2是定理3的特例，定理3也可以解释齐次线性方程组0=?x A n m 必有解 —— 因为R (A ) = R (B ) 永远成立。
? 因为自由未知量的个数为 n -r ，所以当n = r 时方程组没有自由未知量，即R (A ) = R (B )= n 时方程组没有自由未知量，即只有唯一解； 当R (A ) = R (B ) < n 时，方程组有n -r 个自由未知量，令它们分别等于r n c c c -,,,21 ，可得含n -r 个参数r n c c c -,,,21 的解，显然自由未知量可以任意取值，故方程组就有无穷多解，且含n -r 个参数r n c c c -,,,21 的解可以表示方程组的任一个解，从而称之为通解。
? 综合定理2、3及注?，可得 有解判别定理：
线性方程组有解 ? R (A ) = R (B )，且?
??<=有无穷多解。时，；
齐次时即唯一零解有唯一解时，n r n r )( 有解判定定理蕴含了解题的思路，小结求解线性方程组的程序如下： 例4 求解齐次线性方程组 ?????=-----++++0
342222243213214321
x x x x x x x x x x x x 解 ??-----=341122121221A ????------463046301221 ????? ??0000210122134 ????? ??--00002102013435， 得 ??
???--=+=4324
314235
2x x x x x x ， 取自由变量43,x x 为21,c c x =????
??
? ??-+?????
?
??-=??????
?
?
?
--+=???
?? ??103
435
01223423522121212
14321c c c c c
c c c x x x x ，其中21,c c 为任意常数。 注 这使我们联想起在微分方程中高阶齐次线性微分方程解的结构有十分类似的结论，希望它也
r 3-r 2 r 2÷（-3） r 1-2r 2
是线性方程组解结构的一般性结论。
例5 求解非齐次线性方程组 ?????=-++=-+-=-+-3
2422353132432143214321
x x x x x x x x x x x x .
解 ???? ??-----=322122351311321B
????-----104501045011321 ?
??
?
??---
-200001045011321 ， 因为R (A )= 2，R (B ) =3不相等，所以方程组无解。
例6 求解非齐次线性方程组 ????=--+=+--=--+0
895443313432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 ??------=089514431311311B ?????-----000001011311414723 ???? ?----00000100141472345
4323， x =???????
?
??-+???????? ??-+???????? ??==?????
? ??004145104743012323214321c c x x x x ，其中21,c c 注 这使我们再次联想起在微分方程中高阶非齐次线性微分方程解的结构也有十分类似的结论， 希望它也是线性方程组解结构的一般性结论。
例7 设有线性方程组 ???
??=+++=+++=+++λ
λλλ321321321)1(3)1(0)1(x x x x x x x x x ，
问取何值时，此方程组 (1) 有唯一解； (2) 无解； (3) 有无限多解？ 并在有无限多解时求其通解。
解 ???? ??+++=λλλλ11131110111B ?
??
? ??+++01113111111
λλλλ
????
??+-+----+)1()2(030111λλλλλλλλλλ ???
? ??+-+---+)3()1()3(0030111λλλλλ
λλλλ, (1) λ ≠ 0且λ
≠ 3时，R (A ) = R (B ) = 3，所以方程组有唯一解； (2) λ = 0时，R (A ) = 1，R (B ) = 2，方程组无解；
(3) λ = -3时，方程组有无限多解，直接将λ = -3代入B 的行阶梯形中，得
B ~ ???? ??---000063303211~ ?
???
??----000021101101 ? ∈???? ??--+???? ??=???
? ??c c x x x (,021111321R ). 注 讨论含参数λ 的线性方程组问题切忌作初等行变换 )(a r i +?λ、)(a r i +÷λ、j i r a r )(+±λ 和
j i r a r +±λ1
，因为a +λ可能为零因式，如不得已非作这种变换，则应分别对a -≠λ和a -=λ两种情形进行讨论。
r 3-+r 2 r 1?r 3 r 2-r 1
r 3-(1+λ)r 1 r 3- r 2 r 2?)(41- r 1-r 2
§4 初等矩阵
一、 初等阵的概念
引例 设A ???? ??=333231232221131211a a a a a a a a a ，E (1,2)???
? ??=100001010，实际上，E (1,2)是由单位阵E 3交换1、2 两行所得，则有
???? ??100001010???? ??=???? ??333231131211232221333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ——相当于直接对矩阵A 作交换1、2两行的变换 ???
?
??=???? ?????? ??333132232122131112333231232221131211100001010a a a a a a a a a a a a a a a a a a ——相当于直接对矩阵A 作交换1、2两行的变换 鉴于这种由单位阵作一次初等变换而得到的矩阵的重要性，为能深入研究，给出它的数学定义：
定义4 对单位阵E 进行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。三类初等变换就分别得到的三种初等矩阵，分别记为：
1、对调第i ，j 两行或第i ，j 两列，记为 E (i , j )
2、以数k ≠0乘第i 行或第i 列，记为 E ( i (k ))
3、某行或列的k 倍加到另一行或列上去，记为 E (i j (k ) )
注 E (i , j ) E ( i (k ))既可以看成是对行作一次变换所得，也可以看成是对列作一次同类变换所得，所以初等阵有了第1条基本性质：
10
初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵。初等矩阵的性质
定理4 设矩阵A 是一个m ? n 阵，则
(1) 对A 实施一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； (2) 对A 实施一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。
即 行变换 ? 左乘初等矩阵; 列变换 ? 右乘初等矩阵。
注 由于初等阵对应初等变换，根据初等变换的性质，即有初等阵的第2条基本性质：
20
初等矩阵都是可逆的且其逆阵仍为同类型的初等矩阵。
例1 求矩阵A ???
?
?
?=0
1111000
1的标准形，并用初等矩阵表示所作的初等变换。
解 A ???
? ??010110001
???
? ??110010001 ?
??
?
??100
010001， 这三个变换对应的初等阵分别为：
Q 1 ???? ??-=101010001， Q 2 ???? ??=010100001， Q 3 ?
??
?
??-=110010001， 注 由定理4知， Q
3 Q 2 Q 1 A = E ? 1231Q Q Q A =-. 这似乎表明初等方阵与可逆阵有关
联，事实上我们有结论：
定理5 方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限多个初等方阵l P P P 21，使得
l P P P A 21=. 证 “?”： 若A 可逆 ? A ~ E ? E 可经有限次初等变换变为A ，不妨设为 l 次 ? 存在l 个初等方阵l P P P 21，使得 A P P E P P l r r =+ 11.
“?”： 若能表示成 l 个初等方阵的乘积 l P P P A 21=，由初等方阵的可逆性和乘积阵的可逆性知，A 是可逆的。 ▋
r 3-r 1 r 3-r 2 r 2?r 3
注 再添一个可逆的充要条件。
由定理4和定理5立即可得一个具有重要的推论：
推论 m ? n 矩阵A ~ B 的充要条件是：存在m 阶可逆矩阵及n 阶可逆矩阵，使得PAQ = B . 注? A ~ B 还有哪些等价条件？ 不算定义看能否再找4个？
? 初等阵的理论价值在这里凸显出来了，用它可建立起来一个等价矩阵的等式表达式，这为今后许多理论问题的研究搭起了一座桥梁。一些涉及到初等变换的问题不容易说清楚，或说起来很罗嗦的，现在可以用等式的建立来进行推导了。
三、初等方阵的应用
若在矩阵得乘积运算中有初等阵，可以简便运算，例如求乘积：
????
??---=????
?
??-
????
??--=????? ?
?-???? ??--???? ??698132121622819210
00120001000
16903212212283210
001200010000
141312122122832101010001. 利用定理5可以可以得到第三种，也是最简便实用的求逆矩阵的方法，现推导如下：
设A 可逆，由定理5知 l P P P A 21= ? ???==---------1111111
1111A
E P P P E A P P P l l l l ， (*) 上式表明作行初等变换1
1111----P P P l l 把A 变成单位阵E 的同时可以将E 变成1-A ，
这实际上给出了用初等变换求逆阵的思路 ——— 构造一个程序，将A 变成单位阵E ——E A P P P l l =----11111 ——的
这一过程中，同时让所作的这些行变换同步地作用到E 上，从而同步地得到1-A ，即想法子将(*)式合成一个等式，我们构造等式：
)()(1
11111-----=A E E A P P P l l .
例8 设A ???
?
??=343122321，求1-A . 解 =)(E A ???
?
??100343010122001321
????? ??----11110030102310012523， ∴ ????
?
?
?----=-111
32312523
1A . 例8 求矩阵X ，使B AX =，其中A ???? ??=343
122321，???
?
??=341352B . 分析 若A 可逆，则B A X 1-=，即将AX 变为X 所作的初等行变换，就是将A 变为E 的初等变
换且这些变换也是将B 变为1-A B = X ，即可将求1-A 与求X 放在同步进行，具体做法如下：
解 =)(B A ???
? ??34343
1312252321 ?
??
? ??--31100
3301023001 ? A 可逆，且?
??
?
??--=313323X .
注 逆阵的应用——求解矩阵方程:
求解矩阵方程B AX =， ∵???==?=----X
B A E A A B A AX A 1
11
1
， ∴可作初等行变换使)(B A ~)(1B A E - ，即得B A X 1-=； 求解方程C YA =，可作初等列变换使??? ??B A ~??
?
??-1CA E ，或行变换
使)(T T C A ~))((1T T C A E - ，即得T T C A CA Y 11)(--==.
2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。
用矩阵的初等变换求逆矩阵
一、问题提出
在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，
此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿
了再吃）
二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”）
我们已学习了矩阵初等变换的性质，如
1.定理
2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。
3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即
4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。
（1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E)，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么
（2）
由（1）式 代入（2）式左边，
上式说明分块矩阵(A ︱E)经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置变换为我
们所要求的1
A -,即
三，讲解例题
1. 求逆矩阵方法的应用之一 例
211211111111
12112112s t s s t t m
P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=?=? 111
21m R R R A E
---= 111
1
21m R R R A ----= ()
(
)
1
22n n n n
A E E A -???????→
1112120,113A A -?? ?
=- ? ???
设求。
1*1A A A -=(
)()()
1111A A E A A A E E A ----==111121
m A R R R ----= (
)()
111121m R R R A E E A ----=
解：
四，知识拓展
2．求逆矩阵方法的应用之二
利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A ︱E)经过初等行变换，原来A 的位置不能变换为单位阵E ，那么A 不可逆。
例
解：
而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A 不可逆。
3．求逆矩阵方法的应用之三
利用矩阵初等行变换解矩阵方程 （“润物细无声”）
对一般的矩阵方程 求解，我们可以先求1
A - ，然后求X ＝1
A -
B 。
现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。
其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求1
A -就是求解矩阵方程
的解，而对一般的矩阵方程 只要将 中的E 换成B ，然后利用初等行变换，即 112100120010113001A E ?? ?=- ? ???（）2131
r r r r +-112100032110001101?? ???→ ?
?-??110302030312001101?-? ???→- ? ?-??132322r r r r --30211012010133001101??- ???→- ? ? ?-??313r 1423310012010133001101??-- ? ?→-
? ?- ???
12r r -11423312133101A -??-- ? ??=- ? ?- ???112122145,41211111A A ----?? ?-
?= ? ?
-??设求。12121000214501004121001011110001A E ?---? ?- ?=
? ? ?-??（）12121000036921000969401001231001?---?
?- ?→ ?- ? ?-??12121000000011030969401001231001?---? ?- ?→ ?- ? ?
-??AX E =AX B =AX B
=()
A E ()
()
122n n n n
A B E A B -???????→
其中的1
A -
B 即为所求矩阵方程 的X 。
例
解：
五、小结
1.矩阵初等行变换：求逆、判断矩阵是否可逆、 解矩阵方程
2.思考：若XA=B ，如何用初等变换法求X?
贺建辉 2007-11-21
AX B =123252213134343A B AX B X ???? ? ?
=== ? ? ? ?
????设，，若，求。123252213134343A B ?? ?= ? ???（）1232502519026212?? ?→---- ? ?----??102140251900113?--? ?→---- ? ?---??
100320204600113?? ?→- ? ?---??100320102300113?? ?→-- ? ???
132X 2313A B -?? ?
?==-- ? ???
矩阵初等变换及应用
矩阵初等变换及应用 王法辉 摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。 关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基 1 导言 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。 因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。 目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。 2 矩阵及其初等变换
2.1 矩阵 由n m ?个数)j ,,,2,1(==m i a ij （i =1,2, ,j =1,2,n ， ）排成m 行n 列 的数表 ? ? ??? ???????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵。 2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵 矩阵有行列之分，因此有如下定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换 (1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为j i r r ? )(j i c c ?； (2)把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，记为j i kr r + )(j i kc c +； (3)用一个非零常数k 乘以某一行（列），记为i kr )(i kc ，k ≠0； 矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。 定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式 (1)互换矩阵E 的i 行和j 行的位置，得 ? ???? ? ??? ?? ? ????? ???????????????? ?=1101111011),( j i P ； (2)用数域P 种非零数c 乘E 的i 行，得
知识点总结 矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质
设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使 （2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 （4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 （5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ） 初等变换的应用 （1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 讲授内容§3.1 矩阵的初等变换；§3.2 初等矩阵 教学目的和要求：（1）理解矩阵的初等变换，理解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念． （2）掌握用初等变换求逆矩阵的方法． （3）理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件. 教学重点：矩阵的初等变换和用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法 教学难点：矩阵的初等变换、初等矩阵的性质． 教学方法与手段：从解线性方程组的消元法的三种重要运算入手，引出矩阵的初等变换的定义；初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关，三种初等变换对应着三种初等矩阵；从分析初等矩阵的性质出发，推理出用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法．传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程 §1 矩阵的初等变换 本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。 一、矩阵的初等变换 在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换——“初等变换”. 定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换. 初等变换 行变换 列变换 ① 对调 j i r r ? j i c c ? ② 数乘)0(≠k i r k i c k ③ 倍加 j i r k r + j i c k c + 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换. n m A ?经过初等变换得到n m B ?, 记作n m n m B A ??→． 定义2 等价矩阵：若n m n m B A ??→有限次 , 称n m A ?与n m B ?等价, 记作n m n m B A ???． 矩阵之间的等价关系有下列性质: (1) 自反性：A A ? (2) 对称性：n m n m B A ???n m n m A B ???? (3) 传递性：n m n m B A ???, n m n m C B ???n m n m C A ???? 定义3 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即 是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵为行最简形矩阵.
初等变换与初等矩阵
2.3 初等变换与初等矩阵 授课题目 2.3 初等变换与初等矩阵 授课时数：4课时 教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵 教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵 教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵 教学过程： 用初等变换化简矩阵A B B A 的性质来探讨通过为,的性质，这是研究矩阵的重要手段。为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。 一．初等变换与初等矩阵 1. 初等变换 （1）定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换： 1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置； 2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）； 3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，k 为任意数。 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 （2）记法 分别用)]([)],([],,[k j i k i j i +表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换，写在箭头下面表示列变换。或者行变换用i j i i j R R ,kR ,R kR ?+， 列变换用i j i i j C C ,kC ,C kC ?+ 例1 [][] ???? ? ??--??→?????? ??---???→?????? ??--=+-+131123302001121123302101121121322101)1(13)2(12A . 2. 初等矩阵 （1）初等矩阵的定义
定义2 由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵 ij j i n P j i I =???? ? ?? ? ????? ??? ? ? ????→?行行 1101111011] ,[ [] )(1111)(,k D i k I i j i n =? ???????? ?? ????→?行 [] )(1111)(k T j i k I ij k itj n =? ???? ????? ? ????→?行行 列i 列j
用矩阵初等变换逆矩阵
用矩阵初等变换逆矩阵
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。 用矩阵的初等变换求逆矩阵 一、问题提出 在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃） 二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”） 我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理 2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即 4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E )，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么 （2） 由（1）式 代入（2）式左边， 上式说明分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置 变换为我们所要求的1 A -,即 21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=?=?L L L L L 111 21m R R R A E ---=L 111121m R R R A ----=L () () 1 22n n n n A E E A -???????→ 1* 1A A A -=( )()() 1111A A E A A A E E A ----==1111 21m A R R R ----=L ( )() 1 111 21m R R R A E E A ----=L
线性代数习题[第三章] 矩阵的初等变换与线性方程组
习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆(2)求1 AB-.
习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)11121212221 2n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????01,2,,i i a b i n ≠????=?? 2.设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.
3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()()1 d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2 A A =,试证: ()()R A R A E n +-=
高斯消去法与矩阵的初等变换
高斯消去法与矩阵的初等行变换 刘智永 一、 教学目标： 1） 使学生会用高斯消去法求解线性方程组 2） 使学生熟练矩阵的初等行变换、会化阶梯型矩阵 3） 使学生明白高斯消去法与矩阵初等行变换之间的内在联系 二、 教学方法：板书讲授 三、 教学用时：20分钟 四、 教学过程： 1.高斯消去法 求解下面线性方程组 注：1）求解n X n 阶线性方程组，高斯消去法的工作量是 0 （斤）o 例如求解一个 100万阶的方程组，高斯消去法的工作量为 0 （108）, 在一台每秒进行 1010次浮点运算的计算机上，需要 >3年的时间。 2 ）虽然高斯消去法有很大工作量，但今天仍得到广泛使用，例如它是超 级计算机 性能测评的一个重要基准（benchmark ）。在这个测评基准下中 国的天河2 号超级计算机连续3次排名全球第一，2014年12月的测 评基准已改变为共 轭梯度法。 2.矩阵的初等行变换 在高斯消去法中，加减乘除运算只与系数和右端项有关，与未知数无关。简 单地， 我们可以将线性方程组写成下面增广矩阵 (augme nted matrix)的形式 1 1 1 1 1111 1 1 1 1 [1 2 2 2]? [0111] ? [0 1 1 1] 1 -13 0 0 -2 2 -1 0 0 4 1 当把线性方程组写成增广矩阵的形式以后，高斯消去法就表现为对增广矩阵 进行的初等行变换：将某一行的非零常数倍加到别的行；给某一行乘上非零常数 倍；交换两行的位置。 注：1） 上面最右端的矩阵被称为阶梯型（echelon form ）矩阵。 这里详细解说阶梯型矩阵的特征（零元在下、行首元非零、下行缩进）！ 2 ）上面的箭头不能写成？'='或者？ 等。（学生书写容易出错处！） 五、教学总结： 1）用高斯消去法求解线性方程组，以及对增广矩阵做初等行变换是两个完 全一致的过程。但后者的出现，大大减少了高斯消去法书写上的困难。 2）这些内容也是后面学习矩阵的秩和逆矩阵的重要基础 x 1 + x 2 + x 3 =1 {x 1 + 2x 2 + 2X 3 = 2 X i - X 2 + 3x 3 = 0 x 1 + x 2 + x 3 =1 { x + X 3 = 1 -2x 2 + 2x 3 = -1 x 1 + { X 2 + x 3 = 1 x + X 3 4x
用矩阵的初等行变换分析线性方程的解
用矩阵的初等行变换分析线性方程的解 摘要在生产经营管理的活动中,以及科学技术当中,需要解决许多实际的问题,而这些许多实际的问题往往可以归结为解一个线性方程组,所以,从数学的角度,我们有必要去寻求解线性方程组的方法。 关键字增广矩阵;矩阵的初等行变换;标准型的阶梯型矩阵;矩阵的秩 在生产经营管理的活动中,以及科学技术当中往往需要解决许多实际的问题,而这些实际的问题在多数情况下往往可以归结为解一个线性方程组,解线性方程序的过程就是解决实际问题的过程,所以,从数学的角度,我们有必要去寻求解线性方程组的方法。 1 n元m个方程的线性方程的一般结构形式 a11,x1+a12,x2+…a1n,xn=b1 a21,x1+a22,x2+…a2n,xn=b2 ………………………(*) am+1,x1+am+2,x2+…amn,xn=bm 说明:(1)a11,a12……amn为为未知量的系数; (2)b1,b2……bm称为常数项,均在等式的右端。 2 线性方程组所对应的增广矩阵 将线性方程组(*)未知量的系数积常数项相对位置保持不变而构成的矩阵称为该线性方程组所对应的增广矩阵。 即:线性方程组与增广矩阵之间具有一一对应关系。 3 矩阵的初等行变换 将矩阵的行与行互换位置,或将矩阵的某一行同乘以一个不等于零的数;或将矩阵的某一行同乘一个不等于零的数加到另一行的对应元素上。当矩阵发生了这三种方式的任意一种,任意两种或三种,无论发生了多少次,但至少要有一次,我们就说该矩阵发生了初等行变换,任意一个非零矩阵经若干次的初等行变换一定能化为阶梯形矩阵。阶梯形矩阵再经若干次的初等行变换一定能化为标准型的阶梯形矩阵,一个非零矩阵,它的阶梯形矩阵有无数个,但它的标准型的阶梯型矩阵有且只有一个。
线性代数习题第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1、用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形、 2、用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵、 3、设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =、 4、设A就是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B、 (1) 证明B可逆(2)求1 AB-、
习题 3-2 矩阵的秩 1、求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠????=?? L 2、设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =、
3、 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系就是 、 .()()a R A R B = .()()b R A R B <; .()()1c R B R A >-; .()()() 1.d R A R B R A ≥≥- 4、 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= 、 a 、1; b 、 2; c 、 3; d 、 4、 5、 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = 、 a 、 1; b 、 n -11; c 、 –1; d 、 1 1-n 、 6、设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证: ()()R A R A E n +-=
线性代数习题[第三章]-矩阵的初等变换与线性方程组
习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆 (2)求1 AB-.
习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ?? ??=--?? ??-?? (2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ?? ?? ??=???? ?? L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠? ? ??=?? L 2.设12312323k A k k -?? ??=--?? ??-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3) ()3R A =.
3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证: ()()R A R A E n +-=
矩阵的初等变换与线性方程组练习题
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 3.4 独立作业 3.4.1 基础练习 1． 已知1210 1125 1-?? ? = ? ?-? ? A ，求()R A . 2. 设矩阵X 满足关系2=+A X A X ，其中4 231 1012 3?? ? = ? ?-?? A ，求X . 3. 设矩阵1012 1032 5?? ? = ? ?--? ? A ，求1()--E A . 4. A 是m n ?矩阵，齐次线性方程组0=A x 有非零解的充要条件是 . 5. 若非齐次线性方程组=A x b 中方程个数少于未知数个数，那么( ). (A) =A x b 必有无穷多解； (B) 0=A x 必有非零解； (C) 0=A x 仅有零解； (D) 0=A x 一定无解. 6. 若方程组 123232321 32(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-?? -=-??-=--+-? 有无穷多解，则λ= . 7．若12(1,0,2),(0,1,1)T T ==-αα都是线性方程组0=A x 的解，则=A ( ). (A)()2,1,1- (B)2010 1 1-??? ??? (C)1 020 1 1-?? ??-?? (D)0114 220 1 0-?? ??--?????? 8. 求解线性方程组 1234 234 124 2342344,3,331,73 3. x x x x x x x x x x x x x -+-=?? -+=-? ? +-=??-++=-?
3.4.2 提高练习 1. 设A 为5阶方阵，且()3R =A ，则*()R A = . 2. 设1231 232 3k k k -?? ? =-- ? ?-? ? A , 问k 为何值，可使 （1）()1R =A （2）()2R =A （3）()3R =A . 3. 设n 阶方阵A 的每行元素之和均为零，且()1R n =-A ，则线性方程组0=A x 的 通解为 . 4．设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（ ）. （A ）当(0)a a =≠A 时，a =B （B ）当(0)a a =≠A 时，a =-B （C ）当0≠A 时，0=B （D ）当0=A 时，0=B 5．设方程组1231111 1111 2a x a x a x ?????? ? ? ? = ? ? ? ? ? ?-? ????? 有无穷多个解，则a = . 6．设4阶方阵()()234234,,,,,,,,A B αγγγβγγγ==其中234,,,,αβγγγ均为4维列 向量，且已知行列式4,3,A B ==求行列式.A B +
线性代数习题矩阵的初等变换与线性方程组讲课讲稿
线性代数习题［第三章］矩阵的初等变换与线 性方程组
习题3-1矩阵的初等变换及初等矩阵 3 2 1 3 1 5的逆矩阵. 3 2 3 4.设A 是n 阶可逆矩阵 将A 的第i 行与第j 行对换后得矩阵B . (1)证明B 可逆 ⑵求AB 1. 1?用初等行变换化矩阵A 1 0 2 1 2 0 3 1 为仃取简形 3 0 4 3 4 1 2 1 3 2 2 1 ,B= 2 2 ,求X 使AX B 3 1 1 3 1 3.设A 2?用初等变换求方阵A
习题3-2矩阵的秩1?求矩阵的秩: (1)A 1 2 3k 2.设A 1 2k 3问k为何值，可使 k 2 3 (1)R(A) 1 ； ⑵R(A) 2; ⑶ R(A) 3 qb o i 1,2, |||,n &1 b| &1 b? a? b| a?b? Ill III a n E a n b 2 a2b n III a n b n
3.从矩阵A中划去一行，得矩阵B,则R(A)与R(B)的关系是_______ a. R(A) R(B) b. R(A) R(B); c. R(B) R(A) 1 ; d. R(A) R(B) R(A) 1. 3 2 1 3 1 4.矩阵2 1 3 1 3 的秩R= 7 0 5 1 8 a.1; b. 2; c.: 3; d. 4. 1 a a a 5.设n(n 3)阶方阵 a A 1 a a 的秩R(A)=n-1,则 a a a a 1 a. 1; b. 1 ; c.—; d . 1 1 n n 1 6.设A为n阶方阵，且A2A,试证： R(A) R(A E) n
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用 内容摘要： 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一矩阵的概念 定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵 二矩阵初等变换的概念 定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 1.初等行变换 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作); (2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作 ); (3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为). 1.初等列变换 把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B 矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:
(1) 反身性; (2) 对称性若,则; (3) 传递性若,,则. 三矩阵初等变换的应用 1.利用初等变换化矩阵为标准形 定理：任意一个m× n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 2.利用初等变换求逆矩阵 求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A|E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1)) 这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵 ， 为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩 阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即 . 这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法. 同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即 . 3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩 矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法. 定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B) 为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵
用矩阵的初等变换求逆矩阵资料讲解
用矩阵的初等变换求 逆矩阵
2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。 用矩阵的初等变换求逆矩阵 一、 问题提出 在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃） 二、 求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”） 我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理 2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即 1*1A A A -=
4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E )，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么 （2） 由（1）式 代入（2）式左边， 上式说明分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置变换为我们所要求的1A -,即 三，讲解例题 1. 求逆矩阵方法的应用之一 例 解： 21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=? =?11121m R R R A E ---=1111 21m R R R A ----=()()122n n n n A E E A -???????→ 1112120,113A A -?? ?=- ? ???设求。112100120010113001A E ?? ?=- ? ??? （）2131r r r r +-112100032110001101?? ???→ ? ?-??110302030312001101?-? ??? →- ? ?-??132322r r r r --30211012010133001101??- ???→- ? ? ?-?? 313r ()()() 1111 A A E A A A E E A ----==111121m A R R R ----=()() 111121m R R R A E E A ----=
用矩阵的初等变换求逆矩阵
2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。 用矩阵的初等变换求逆矩阵 一、问题提出 在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求 A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃） 二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”） 我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理 2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即 4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E )，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么 （2） 由（1）式 代入（2）式左边， 上式说明分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置变换为我们所要求的1A -,即 211211111111 12112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=?=?L L L L L 11121m R R R A E ---=L 111121m R R R A ----=L ()()122n n n n A E E A -???????→ 1*1A A A -=()()()1111A A E A A A E E A ----==111121m A R R R ----=L ()()111121m R R R A E E A ----=L
知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 1 对调两行，记作 （r i r j ） 。 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素，记作 （r i k ） 。 3 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去，记作 （r i kr j ） 。 初等列变换： 把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“ r ”换成 “ c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换， 初等变换的逆变换仍为初等变换 , 且类型相同。 矩阵等价 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B ，就称矩阵 A 与 B 等价。 等价 关系的性质 （ 1）反身性 A~A （2）对称性 若 A ~ B ,则 B~ A; （3）传递性 若 A ~B,B~ C,则 A ~ C 。（课本 P59） 行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的下方全为零， 每个台阶只有一行， 台阶数即是非零 行的行数阶梯线的竖线 （每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元， 也是非零行 的第一个非零元。 行最简形矩阵： 行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在的列的其他元 素都为 0. 为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵 A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质 设 A 与 B 为 m × n 矩阵，那么 标准型 ：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如 E r O 的矩阵，称 mn
r （1）A: B 存在m阶可逆矩阵P，使PA B; c （2）A~ B 存在n阶可逆矩阵Q，使AQ B; （3）A: B 存在m阶可逆矩阵P，及n阶可逆矩阵Q，使PAQ B; 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A是一个m×n 矩阵，则 （1）对A施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m阶初等矩阵； r 即A~B 存在m阶可逆矩阵P，使PA B; （2）对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即A~B 存在n阶可逆矩阵Q，使AQ B; （3）A~B 存在m阶可逆矩阵P，及n阶可逆矩阵Q，使PAQ B; （4）方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵P1,P2,L ,P l,使A P1P2L P l 。 （5）A可逆的充分必要条件是 A ~ E。（课本 P？） 初等变换的应用 （ 1）求逆矩阵： 初等行变换1 （A|E） E|A 1或A初等列变换 E 1 。 E A1 （2）求A-1B ： r A(A,B) ~ (E,P),即(A| B) 行E|A1B ，则P=A-1B。或 A初等列变换E. B BA1 第二节矩阵的秩 矩阵的秩任何矩阵A m n，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩
线性方程组的矩阵求法
线性方程组的矩阵求法 摘要： 关键词： 第一章引言 矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要内容, 用矩阵 方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的基本 技能,本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法，通过对线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行初等变换得到其解，并列举出几种用矩阵解线性方程组的简便方法。 第二章用矩阵消元法解线性方程组 第一节预备知识 定义1：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。定理1：初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。 定义2：定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件： （1）B的任一非零行向量的第一个非零分量（称为的 一个主元）为1； （2）B中每一主元是其所在列的唯一非零元。 则称矩阵为行最简形矩阵。 第二节 1．对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩
阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，因此，我们将要通过花间矩阵来讨论化简线性方程组的问题。这样做不但讨论起来比较方便，而且能给我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次都把未知量写出来。 下面以一般的线性方程组为例，给出其解法： （1） 11112211 21122222 1122 , , . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= +++= +++= 根据方程组可知其系数矩阵为： （2） 11121 21222 12 n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ??? 其增广矩阵为： （3） 111211 212222 12 n n m m mn m a a a b a a a b a a a b ?? ? ? ? ? ??? 根据（2）及矩阵的初等变换我们可以得到和它同解的线性方程组，并很容易得到其解。 定理2：设A是一个m行n列矩阵