中考数学锐角三角函数的综合题试题附答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，动点D从点A出发，在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动，连结CD，作点A关于直线CD的对称点E，设点D运动时间为t（s）．

（1）若△BDE是以BE为底的等腰三角形，求t的值；

（2）若△BDE为直角三角形，求t的值；

（3）当S△BCE≤9

2

时，所有满足条件的t的取值范围（所有数据请保留准确值，参考

数据：tan15°=23

【答案】（1）33

2

；（23秒或3秒；（3）6﹣3

【解析】

【分析】

（1）如图1，先由勾股定理求得AB的长，根据点A、E关于直线CD的对称，得CD垂直平分AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE，所以AD=DE=BD，由3，可得t 的值；

（2）分两种情况：

①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，根据3t的值；

②当∠EDB=90°时，如图3，根据△AGC≌△EGD，得AC=DE，由AC∥ED，得四边形CAED 是平行四边形，所以AD=CE=3，即t=3；

（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，

①当△BCE在BC的下方时，

②当△BCE在BC的上方时，

分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论．

【详解】

解：（1）如图1，连接AE，

由题意得：AD=t，

∵∠CAB=90°，∠CBA=30°，

∴BC=2AC=6，

∴22

63

3

∵点A、E关于直线CD的对称，

∴CD垂直平分AE，

∴AD=DE，

∵△BDE是以BE为底的等腰三角形，

∴DE=BD，

∴AD=BD，

∴；

（2）△BDE为直角三角形时，分两种情况：

①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，

∵CD垂直平分AE，

∴AD=DE=t，

∵∠B=30°，

∴BD=2DE=2t，

∴

∴

②当∠EDB=90°时，如图3，

连接CE，

∵CD垂直平分AE，

∴CE=CA=3，

∵∠CAD=∠EDB=90°，

∴AC∥ED，

∴∠CAG=∠GED，

∵AG=EG，∠CGA=∠EGD，

∴△AGC≌△EGD，

∴AC=DE，

∵AC∥ED，

∴四边形CAED是平行四边形，

∴AD=CE=3，即t=3；

综上所述，△BDE为直角三角形时，t3秒；

（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，

①当△BCE在BC的下方时，过B作BH⊥CE，交CE的延长线于H，如图4，当AC=BH=3时，

此时S△BCE=1

2

AE•BH=

1

2

×3×3=

9

2

，

易得△ACG≌△HBG，∴CG=BG，

∴∠ABC=∠BCG=30°，

∴∠ACE=60°﹣30°=30°，

∵AC=CE，AD=DE，DC=DC，∴△ACD≌△ECD，

∴∠ACD=∠DCE=15°，

tan∠ACD=tan15°=t

3

=2﹣3，

∴t=6﹣33，

由图形可知：0＜t＜6﹣33时，△BCE的BH越来越小，则面积越来越小，②当△BCE在BC的上方时，如图3，CE=ED=3，且CE⊥ED，

此时S△BCE=1

2

CE•DE=

1

2

×3×3=

9

2

，此时t=3，

综上所述，当S△BCE≤9

2

时，t的取值范围是6﹣33≤t≤3．

【点睛】

本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．

2．如图，直线y＝1

2

x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣

1

2

x2+bx+c经过

A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；

（2）根据图象，直接写出满足1

2

x+2≥﹣

1

2

x2+bx+c的x的取值范围；

（3）设点D为该抛物线上的一点、连结AD，若∠DAC＝∠CBO，求点D的坐标．

【答案】（1）213222y x x =-

-+；（2）当x ≥0或x ≤﹣4；（3）D 点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．

【解析】

【分析】

（1）由直线y ＝

12

x +2求得A 、B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）观察图象，找出直线在抛物线上方的x 的取值范围；

（3）如图，过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点E ，先求出CO ＝1，AO ＝4，再由∠DAC ＝∠CBO ，得出tan ∠DAC ＝tan ∠CBO ，从而有，

DE CO AE BO =,最后分类讨论确定点D 的坐标． 【详解】

解：（1）由y ＝12

x +2可得： 当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝﹣4，

∴A （﹣4，0），B （0，2），

把A 、B 的坐标代入y ＝﹣12x 2+bx +c 得： 322

b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，， ∴抛物线的解析式为：213222

y x x =-

-+ （2）当x ≥0或x ≤﹣4时，12x +2≥﹣12x 2+bx +c （3）如图，过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点E ， 由213222

y x x =

-+令y ＝0， 解得：x 1＝1，x 2＝﹣4，

∴CO ＝1，AO ＝4，

设点D 的坐标为（m ，213222

m m --+）， ∵∠DAC ＝∠CBO ，

∴tan ∠DAC ＝tan ∠CBO ，