2018年高考数学 热门考点与解题技巧 考点5 复数及其运算

考点5 复数及其运算

题型1 复数的概念及运算

例1（1）（2017天津理9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若

i 2i

a -+为实数，则a 的值为 . (2)计算：3（1＋i ）2i －1

＝________； (3)计算(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i

＝________； `(4)计算：－

23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 018＝________． 【解题技巧】无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚.

变式1.（2017全国1卷理科3）设有下面四个命题：

1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；

3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .

其中的真命题为（ ）.

A.13,p p

B.14,p p

C.23,p p

D.24,p p

解析 1:p 设i z a b =+，则22

11i i a b z a b a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1p 正确； 2:p 若z 1=-2，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；

3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确；

4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确.故选B.

变式2．（2015广东理2）若复数()i 32i z =-（i 是虚数单位），则z =（ ）

A ．23i -

B ．23i +

C ．32i +

D ．32i -

解析 因为()i 32i 23i z =-=+，所以23i z =-．故选A ．

变式3．复数z 满足()()25z i i --=，则z 为

.A -2-2i .B -2+2i .C 2-2i D 2+2i

解析 令(),R,R z a bi a b =+∈∈，则()()()()212z i i a b i i --=+--????

[]2(1)12b a i b a =--+-+ 5=，所以()210,21 5.

b a a b --=???+-=??解得22a b =??=?，所以22z i =+.故选D .

例2．（2016全国乙理2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）.

解析 由()1i 1i x y +=+，得1x y ==，所以i 1i x y +=+故选B.

【解题技巧】若复数i z x y =+，则=

z 变式1 已知35(

,)44

ππθ∈，则复数(cos sin )(sin cos )z i θθθθ=++-在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

解法二：，π）π（π）π（π，π，π，π2

4,234)4543(

∈-∈+∈θθθ， 则0)4sin(2sin cos <+=+πθθθ，0)4sin(2cos sin >-=-πθθθ，故

)cos (sin )sin (cos θθθθ-++=i z 在复平面上对应的点在第二象限，故选B 。

变式2 02,,||a z a i z <<=+的取值范围为（ ）

A

． B

． C ．(1,3) D ．(1,5)

解析：代数法.)2,0(12∈+=a a z 在上单调递增，得)5,1(∈z 。故选B 。

变式3 已知z C ∈，且|22|1z i --=，则|22|z i +-的最小值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．

5

题型2 复数的几何意义

例3 （2017北京理2）若复数

()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）.

A.()–1∞，

B.()––1∞，

C.()1+∞，

D.()–1+∞，

解析 由()()()()1i i i i 111i a a a a a -+=+-+=++-，则1010a a +?

，即1a <-.故选B. 【解题技巧】复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点.

变式1.复数()()i 1i i z =?+为虚数单位在复平面上对应的点位于（ ）.

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 解析：B

变式2.已知复数z 的共轭复数12i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

解析：D

变式3．在复平面内，复数2i 1i

z =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）. A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 解析：D

【高考真题链接】

1.（2015天津理9）i 是虚数单位，

若复数()()12i i a -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 . 解析 ()()()12i i 212i a a a -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.

2．（2016江苏2）复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ． 解析 由复数乘法法则可得55i z =+，故z 的实部是5．

3．（2015湖北理1）i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．

为（ ）． A ．i B ．i - C ．1 D ．1-

解析 依题意可得：6074151+332i =i =i =i i=i ??-，故选A.

4.（2015全国二理2）若a 为实数，且()()2i 2i 4i a a +-=-，则a =（ ）．

A.1-

B. 0

C.1

D. 2

5.(2015山东理2）若复数z 满足

i 1i z =-，其中i 为虚数单位，则z =( ) A ．1i -

B ．1i +

C ．1i --

D ．1i -+ 解析 因为i 1i

z =-，所以()1i i =1+i z =-，所以1i z =-．故选A ． 6．（2016山东理1）若复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ）.

A ．12i +

B ．12i -

C ．12i -+

D ．12i --

解析 设i,(,)z a b a b =+∈R ，则2()i 2z z z z z a b a +=++=++=3i 32i a b +=-，

所以1,2a b ==-，即12i z =-.故选B.

7．（2016天津理9）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若()()1i 1i b a +-=，则a b

的值为_______. 解析 ()()()1i 1i 11i b b b a +-=++-=，则110b a b +=??-=?，所以21

a b =??=?，则2a b =. 8（2107山东理2）已知a ∈R ，i

是虚数单位，若z a =，4z z ?=，则a =（ ）.

A.1或1-

或

C.

解析

由z a =+，4z z ?=，得234a +=，所以1a =±.故选A.

9.（2017浙江11）已知a ，b ∈R ，()2

i 34i a b +=+（i 是虚数单位），则22a b += ，ab =

.

10.（2015全国一理1）设复数z 满足1i 1z z +=-，则z =（ ）

A ．1 B

C

．2

解析 由1i 1z z +=-得()()()()

1i 1i 1i i 1i 1i 1i z -+--+===++-，所以1z =．故选A ． 11.（2015陕西理11）设复数(1)z x yi =-+(,)x y ∈R ，若||1z =，

则y x >的概率为（ ）． A ．3142π+ B ．1142π

- C ．112π- D ．112π+

解析 由||1z =

()2

2111x y =?-+=.

所以y x >表示所示的阴影部分，所以2211π1111142π142π

S P S ?-??===-?阴总.故选D. 12.（2015江苏3）设复数z 满足234i z =+（i 是虚数单位），则z 的模为 ． 解析 解法一：设i z a b =+，则()()2

222i 2i 34i z a b a b ab =+=-+=+， 从而22324a b ab ?-=?=?，即222234a b a b ?-=??=??，故2241a b ?=??=??或2214

a b ?=-??=-??，

从而z ==

解法二：由题意2234i 5z z ==+==

，故z =．

13.（2015重庆理11）设复数i a b +(),a b ∈R

()()i i a b a b +-=________. 解析 由题易得322=+b a ，故322=+b a ，()()22i i 3a b a b a b +-=+=．

14.（2017江苏02）已知复数()()1i 12i z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ．

15.（2107全国3卷理科2）设复数z 满足()1i 2i z +=，则z =（ ）.

A ．12 B

．2 C

D ．2

解析 由题意得()()()2i 1i 2i 2i 21i 1i 1i 1i 2z -+=

===+++-

，则z 故选C.

16.（2015北京理1）复数()i 2i -=（ ）.

A. 12i +

B. 12i -

C. 12i -+

D. 12i --

解析 ()2

i 2i 2i i 12i -=-=+.故选A. 15.（2015福建理1）若集合{}234i,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =- ，

则A B =（ ）. A ．{}1- B ．{}1 C ．{}1,1- D ．?

解析 由已知得{}i,1,i,1A =--，故{}1,1A

B =-．故选

C ．

16.（2015湖南理1）已知()21i 1i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ）.

A.1i +

B.1i -

C.1i -+

D.1i --

解析 由题意得，2(1i)2i 1i 1i 1i

z -===--++.故选D. 17. （2015四川理2）设i 是虚数单位，则复数32i i -

=（ ）. A. i - B. 3i - C. i D. 3i

解析 依题意可得：3222i i i i 2i i i i

-=--=-+=.故选C. 18．（2016全国丙卷2）若12i z =+，则4i 1

zz =-（ ）. A.1 B.1- C.i D.i -

解析 因为25,z z z ?==所以4i 4i i 14

zz ==-.故选C. 19．（2016四川理2）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含4x 的项为（ ）.

A.415x -

B.415x

C.420i x -

D.420i x

20.（2107全国2卷理科1）3i 1i

+=+（ ）. A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 解析 ()()()()3i 1i 3i 2i 1i 1i 1i +-+==-++-.故选D.

21.（2015安徽理1）设i 是虚数单位，则复数2i 1i

-在复平面内所对应的点位于（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

解析 ()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 1i 2

+-+===-+--+，其对应的点坐标为()1,1-，位于第二象限．故选B ．

22．（2016北京理9）设a ∈R ，若复数()()1i i a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.

解析 由题意可得()()1i i 1(1)i a a a ++=-++是实数，所以10,1a a +==-.