上海市青浦2020高三数学二模卷

青浦区2019学年高三年级第二次学业质量调研测试

数学学科 试卷

（时间120分钟，满分150分） Q2020.05

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1．已知全集U =R ，集合(,2)A =-∞，则集合

U

A =__________．

2．已知i 为虚数单位，复数2i z =+的共轭复数z =__________． 3．已知函数()11f x x

=+

，则方程()1

2f x -=的解x =__________． 4．若5(1)ax +的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是__________．

5．双曲线22

144

x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是__________．

6．用一平面去截球所得截面的面积为23πcm ，已知球心到该截面的距离为1cm ，则该球的表面积是__________2cm ． 7．已知,0x y >且21x y +=，则

11

x y

+的最小值为__________． 8．已知平面向量a b ，满足(1,1)a =-，||1b =，|2|2a b +=，则a 与b 的夹角为_________．

9．设{}1,3,5a ∈，{}2,4,6b ∈，则函数1

()log b

a

f x x

=是减函数的概率为_________．

10．已知函数()f x =

，

若存在实数0x 满足00)]([x x f f =，则实数a 的取值范围是_______．

11．已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线2x y =则△ABC 的三个顶点的横坐标之和为__________．

12．定义函数{}{}

()f x x x =，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}1.42=，{}2.32-=-，

当(

)(0,]x n n N

*

∈∈时，

函数()f x 的值域为n

A ，记集合n

A 中元素的个数为n

a ，则n a =_______．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

13．已知,a b ∈R ，则“0b ≥”是“20a b +≥”的………………………………………（ ）．

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

14．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为………………………………………………………………………………………… （ ）．

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 15．记椭圆22

1441

x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω=，当点(,)x y 分别在

1Ω，

2Ω，上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，，则lim n n M →∞

=………………………（ ）． （A ）25+

（B ）4

（C ）3

（D ）22

16．已知函数()sin 2sin f x x x =+，关于x 的方程2()()10f x a f x --=有以下结论： ①当0a ≥时，方程2()()10f x a f x --=在[]

0,2π内最多有3个不等实根； ②当64

09

a ≤<

时，方程2()()10f x a f x --=在[]0,2π内有两个不等实根； ③若方程2()()10f x a f x --=在[]0,6π内根的个数为偶数，则所有根之和为15π． ④若方程2()()10f x a f x --=在[

]

0,6π内根的个数为偶数，则所有根之和为36π． 其中所有正确结论的序号是………………………………………………………………（ ）．

（A ）②④

（B ）①④

（C ）①③

（D ）①②③

三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，160B AB ∠=?． （1）求直线1A C 与平面ABCD 所成的角的大小； （2）求异面直线1B C 与11A C 所成角的大小．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知函数2

π

()[2sin()sin ]cos 3

f x x x x x =++．

（1）若函数()y f x =的图像关于直线(0)x a a =>对称，求a 的最小值；

（2）若存在05[0,]2

π

1x ∈，使0()20mf x -=成立，求实数m 的取值范围．

19.(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利．已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，*t ∈N ．经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当

210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时

载客量为560人，记地铁载客量为()p t ．

（1）求()p t 的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量； （2）若该时段这条线路每分钟的净收益为6()3360

360p t Q t

-=

-（元），问当发车时间间隔为

多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？

20.(本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，其长轴长是短轴长的2

倍，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． （1）求椭圆C 的方程；

（2）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有

且只有一个公共点，设直线1PF ，2PF 的斜率分别为1k ，2k ，若0k ≠，证明12

11kk kk +为定值，并求出这个定值；

（3）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，设12F PF ∠的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点

(),0M m ，求m 的取值范围．

21.(本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

对于无穷数列{}n a 、{}n b ，n ∈*N ，若{}{}1212max ,,

,min ,,,k k k a a a a a a b =-，

k ∈*N ，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“收缩数列”．其中{}12max ,,,k a a a 、{}

12min ,,

,k a a a 分别表示12,

,,k a a a 中的最大项和最小项．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是数列

{}n a 的“收缩数列”

． （1）若31n a n =-，求数列{}n b 的前n 项和； （2）证明：数列{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； （3）若()()

()121111,2,3,22

n n n n n n S S S a b n +-+++=

+=，求所有满足该条件的

数列{}n a ．

青浦区2019学年第二学期高三年级第二次质量调研测试

数学参考答案及评分标准 2020.05

说明：

1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分． 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．

3．第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．

一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．[)2,+∞；

2．2i -；

3．32；

4．2； 5．2；

6．16π；

7

．3+； 8．

34π； 9.

2

3

；

10.1

4

a ≤；

11

．10

-

；

12.

(1)2n n n a +=

. 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题

纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. A ；14. B ； 15． D ；16. C .

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）因为在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥平面ABCD ，A 是垂足， 所以1

ACA ∠是1A C 与平面ABCD 所成的角，

设1AB =，又正四棱柱1111ABCD A B C D -中，160B AB ∠=?，

12AB ∴=，113BB AA ==，112AC =+=

11

36tan 22

AA ACA AC ∴∠===∴ 1

6

arctan 2ACA ∠= 1A C ∴与平面ABCD 所成的角的大小为6arctan 2

（2）解一：如图所示：连接AC ，

11AC AC ∥，1B CA ∴∠是异面直线1B C 与11A C 所成角， 112AB B C ==，2AC =，

22211112cos 24222B C AC AB B CA B C AC +-∴∠===???，

12arccos

4

B CA ∴∠= 所以异面直线1B

C 与11A C 所成角的大小的大小为2arccos

4

． 18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 解：（1）

()2π2sin sin cos 33f x x x x x ???

?=++ ???????

(

)

2sin 3sin cos 3x x x x x =++-

()

22sin 3cos 3x x x x =

)

222sin cos 3cos sin x x x x =- πsin 2322sin 23x x x ?

?=+=+ ??

?，

()ππ2π32a k k +

=+∈Z ，ππ

,212

k a k ∴=+∈Z 又

0a >∴a 的最小值为

π

12

． （2）因为存在05[0,

]12

x π

∈，使成立，所以()00f x ≠，

即

()()

0002

1

20πsin 23mf x m f x x -=?=

=?

?+ ?

?

? 00570,,212336x x ππ

ππ??∈≤+≤????

01sin 2123x π??∴-

≤+≤ ???又0sin 203x π?

?+≠ ??

?， 则(][),21,m ∈-∞-+∞．

19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.

解：（1）由题意知()()2

120010,210

1200,1020k t t p t t ?--≤

，N t ∈，（k 为常数），

∴()()2

21200102120064560p k k =--=-=，

∴10k =，∴()()22

10200200,210

12001010,2101200,10201200,1020t t t t t p t t t ??-++≤<--≤

，

∴()()2

61200101061040p =-?-=，

故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量1040人． （2）由()63360

360p t Q t

-=

-，可得

()

236610200200336084060,210360,21038403840360,1020360,1020t t t t t t t Q t t t t ??-++-??-+≤

，

①当210t ≤<时，36840608406012120Q t t ??

=-+≤-?= ???

，当且仅当6t =等号成立；

②当1020t ≤≤时，72003360

36038436024Q t

-=

-≤-=，当10t =时等号成立，

由①②可知，当发车时间间隔为6t =分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120

元．

20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.

解：(1)由于2

2

2

c a b =-，将x c =-代入椭圆方程22221x y

a b

+=，得2

b y a =±．

由题意知2

21b a

=，即22a b =．

又1

2

b a =，222a b

c =+，所以2a =，1b =． 所以椭圆C 的方程为2

214

x y +=．

(2)设000(,)(0)P y y x ≠，则直线l 的方程为00()y y k x x -=-．

联立得22

0014()

x y y y k x x ?+=???-=-?

，

整理得222222

000000(14)8()4(21)0k x ky k x x y kx y k x ++-+-+-=

由题意得0?=，即222

0000(4)210x k x y k y -++-=．

又220014

x y +=，所以22200001680y k x y k x ++=，故004x k y =-．

又知000

12000

211x x x k k y y y ++=+=，

所以

0012120042111118y x kk kk k k k x y ????+=+=-?=- ? ?????， 因此12

11kk kk +为定值，这个定值为8-． (3)设000(,)(0)P y y x ≠

，又1(F

，2F ，所以直线1PF ，2PF

的方程分别为

1000:(0PF l y x x y -=

，2000:(0PF l y x x y -=．

=

．

由于点P 在椭圆上，所以22

0014

x y +=．

=

．

因为m

<<，0

22

x

-<<

=

，

所以

3

4

=

m x，

因此

33

22

-<<

m．

21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.

解：（1）由31

n

a n

=-可得{}n a为递增数列，所以

{}{}

12121

max,,,min,,,31233

n n n n

b a a a a a a a a n n

=-=-=--=-，

故{}n b的前n项和为

()

31

(033)

22

n n

n n-

+-

=

（2）因为{}{}()

12121

max,,,max,,,1,2,3,

n n

a a a a a a n

+

≤=，

{}{}()

12121

min,,,min,,,1,2,3,

n n

a a a a a a n

+

≥=，

所以{}{}{}{} 1211211212 max,,,min,,,max,,,min,,,

n n n n

a a a a a a a a a a a a

++

-≥-

所以()

1

1,2,3,

n n

b b n

+

=

≥

又因为1110

b a a

=-=，所以{}{}

12121

max,,,min,,,

n

n n n

b b b b b b b b b

-=-=，

所以{}n b的“收缩数列”仍是{}n b

（3）由

()()

()

121

11

1,2,3,

22

n n

n n n n

S S S a b n

+-

+++=+=可得

当1

n=时，

11

a a

=；

当2

n=时，

1212

23

a a a b

+=+，即

221

b a a

=-，所以

21

a a

≥；

当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即()()3213132b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾； 若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得()32133a a a a -=-， 所以32a a -与13a a -同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足()()

()121111,2,3,22

n n n n n n S S S a b n +-++

+=

+=的数列{}n a 是：

1212,1

,1

n a n a a a a n =?=≥?≥?，．n ∈*N …………………………………………………14分

经验证，左式()()

12121211212

n n n S S S na n a na a -=++

+=+++

+-=+

????， 右式()()()()()()

11211

21111122222

n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--=

+=+-=+. ………………………………………………………………………………………16分 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件. 由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1

,,1

n a n a a a a n =?=≥?

>?是成立的.

假设k a 是首次不符合1212

,1

,,2n a n a a a a n =?=≥?

≥?的项，则1231k k a a a a a -≤===≠，

由题设条件可得()()221112

222

k k k k k k k k a a a b +---+=+（*）

， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得()

()2112

k k k k a a a a --=

-

所以2k a a -与1k a a -同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =. 这与假设2k a a ≠矛盾.

所以，所有满足该条件的数列{}n a 的通项公式为1212,1,

,2,

n a n a a a a n =?=≥?≥?，n ∈*N ．