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高考文科导数考点汇总

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高考导数文科考点总结

一、考试内容

导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；

两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

导数概念与运算知识清单

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f

（x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y

∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。如果当0→∆x 时，x y

∆∆有极限，我们就说函数

y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim →∆x x y

∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。如果x y

∆∆不存在极

限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：

（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；

（2）求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)

()(00；

（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y

x ∆∆→∆0lim

。

2．导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。

3．几种常见函数的导数:

①0;C '= ②

()1

;

n

n x

nx

-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;

⑤();x x e e '=⑥()ln x x

a a a '=; ⑦()1ln x x '=

; ⑧()1

l g log a a o x e x '=.

4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： (

.)'

''v u v u ±=±

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：

.)('

''uv v u uv +=

若C 为常数,则'

''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

.)('

'Cu Cu =

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分

子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2

'

'v uv v u -（v ≠0）。

形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X

导数应用知识清单

单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

如果'

f )(x 0>，则)(x f 为增函数；

如果'

f 0)(

如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数；

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

3．最值：

一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。

①求函数?)(x 在(a ，b)内的极值；

②求函数?)(x 在区间端点的值?(a)、?(b)；

③将函数? )(x 的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

二、热点题型分析

题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1．

32

()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2

2．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数

c ＝ 6 ；

3．函数3

31x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3

题型二：利用导数几何意义求切线方程

1．曲线3

4y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =-

2．若曲线x x

x f -=4

)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为

（1，0）

3．若曲线4

y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --=

4．求下列直线的方程：

（1）曲线123

++=x x y 在

P(-1,1)处的切线； （2）曲线2

x y =过点P(3,5)的切

线； 解：（1）

123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P

所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即，

（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为)

,(00y x A ，则

2

00x y =①又函数

的导数为x y 2/

=，

所以过

),(00y x A 点的切线的斜率为

/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以

有

3

52000--=

x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====25

5 110

000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切

线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切

线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，

或