初二奥数题分式的运算
八年级奥数：分式的化简求值
八年级奥数：分式的化简求值解读课标先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略，分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类．给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值，解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件，不但要经常用到整式化简求值的知识、方法，而且还常常用到如下技巧策略：1．适当引入参数；2．拆项变形或拆分变形；3．整体代入；4．取倒数或利用倒数关系等．问题解决例1 已知，则_____________．例2 a 、b 、c 为非零实数，且，若，则 等于（ ）． A ．8 B ．4 C ．2 D ．1例3 已知，求的值．例4 已知，且，求x 的值．012=--x x =++5412x x x 0=/++c b a a c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+abca c cb b a ))()((+++11,11=+=+c b b a ac 1+012=--a a 1129322322324-=-++-a xa a xa a例5 已知a 、b 、c 满足，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为-1．数学冲浪知识技能广场1．请你先化简：=___________，再选取一个你喜爱又使原式有意义的数代人求值得_____________．2．已知实数，则代数式的值为_____________． 3．若，且，则的值为_______________． 4．若，则的值为_______________． 5．若，则的值为（ ）． 6．若的值为，则的值为（ ）． A ．1 B ．-1 C ． D ． 7．当时，代数式的值是（ ）． A ．-1 B ． C ． D ．1 1222222222222=-++-++-+abc b a ac b a c bc a c b 1)111(22-÷-+x x x 01442=+-x x xx 212+2002,2003,2004222=+=+=+m c m b m a 24=abc cb a abc ca b bc a 111---++ad d c c b b a ===d c b a d c b a +-+-+-31=+x x 1212++x x x 10.A 8.B 101.C 81.D 73222++y y 1416412-+y y 17-1561-=m 3339952122+--+÷----m m m m m m n m m 12-128．已知，，那么的值等于（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．化简求值：，其中a 满足 10．已知，求的值． 思想方法天地11．若abc ≠0，且，则=______________． 12．已知实数a 、b 、c 满足与，则的值是_____________． 13．已知a 、b 、c 满足，则的值为___． 14．已知，且，则m =____________． 15．已知，则的值是（ ）． 16．已知，且，则代数式的值为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．017．如果，，那么的值为（ ）．A ．36B ．16C ．14D ．318．若a 、b 、c 满足，则a 、b 、c 中（ ）． A ．必有两个数相等 B ．必有两个数互为相反数11=+b a 12=+c b ac 2+24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a .0122=-+a a p yx z z y x x z y y x z z y x x z y =-+-+=-+-+=++-+32P P P ++b a c a c b c b a +=+=+abca c cb b a ))()((+++11=++c b a 1713111=+++++a c c b b a ba c a cbc b a +++++1=+++++b a c a c b c b a ba c a cbc b a +++++2220142=++a a 53312324=++++a ma a ma a 161,171,151=+=+=+a c ca c h bc b a ab cabc ab abc ++241.231.221.211.D C B A 0=/abc 0=++c b a 222a b c bc ca ab++0=++c b a 0312111=+++++c b a 222)3()2()1(+++++c b a cb ac b a ++=++1111C ．必有两个数互为倒数D ．每两个数都不相等19．已知，求的值．20．已知，求的值．应用探究乐园21．探索问题：（1）请你任意写出五个正的真分数________、________、________、________、________．给每个分数的分子和分母同加一个正数得到五个分数：________、________、________、________、________．（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是（a 、b 均为正数），给其分子、分母同加一个正数m ，得，则两个分数的大小关系是：． （3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：___________________________．（4）你能用图形的面积说明这个结论吗?（5）解决问题：如图，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的小路，问原来的长方形与现在的铺过小路后的长方形是否相似?为什么?______________________________________________________________________________________________________________．（6）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题．请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关的例子．b ac a c b c b a +=+=+cb ac b a 322-+++1===cz by ax 444444111111111111z y x c b a +++++++++++a bmb m a ++ba mb m a ________++22．已知a 、b 、c 为正数，满足证明：以为三边长可构成一个直角三角形．,32①=++c b a .41②=-++-++-+ab c b a ca b a c bc a c b c b a 、、。
数学初二分式的运算练习题
数学初二分式的运算练习题下面是一个关于数学初二分式的运算练习题的文章，请参考：数学初二分式的运算练习题在初二数学学习中，分式是一个重要的概念，它对我们理解和解决各种数学问题起着关键的作用。
为了帮助同学们更好地掌握分式的运算方法，下面将介绍一些常见的分式运算练习题。
1. 简化分式a) 将分式$\frac{12x^2y^3}{6xy}$简化为最简形式。
解析：首先，我们可以将分子和分母都分解为质因数的乘积。
分子$12x^2y^3$可以分解为$2^2\cdot3\cdot{x^2}\cdot{y^3}$，分母$6xy$可以分解为$2\cdot3\cdot{x}\cdot{y}$。
然后，我们可以消去相同的因数，最后得到简化后的分式$\frac{2xy^2}{1}$。
b) 将分式$\frac{15ab^2c}{10abc}$简化为最简形式。
解析：与上一题类似，我们可以将分子和分母都分解为质因数的乘积。
分子$15ab^2c$可以分解为$3\cdot5\cdot{a}\cdot{b^2}\cdot{c}$，分母$10abc$可以分解为$2\cdot5\cdot{a}\cdot{b}\cdot{c}$。
然后，我们可以消去相同的因数，最后得到简化后的分式$\frac{3b}{2}$。
2. 分式加减a) 计算$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$。
解析：首先，我们需要找到两个分式的最小公倍数（LCM）。
在本题中，最小公倍数是4。
然后，我们将每个分式的分子乘以LCM除以原分母，得到$\frac{2}{4}+\frac{3}{4}$。
最后，我们将两个分式的结果相加，得到$\frac{5}{4}$。
b) 计算$\frac{5}{6}-\frac{2}{3}$。
解析：在本题中，两个分式的分母相同，因此我们可以直接将分子相减，得到$\frac{5}{6}-\frac{2}{3}=\frac{5-4}{6}=\frac{1}{6}$。
初二奥数之分式的运算
2020年数学竞赛初二奥数之分式的运算专题06 从地平面到脚手架------分式的运算阅读与思考分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等． 分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基本性质、运算法则和约分为基础．分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，通分通常有以下策略与技巧：1．分步通分，步步为营； 2．分组通分，化整为零； 3．减轻负担，先约分再通分； 4．拆项相消后通分； 5．恰当换元后通分， 学习分式时．应注意：(1)分式与分数的类比．整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分式的特殊情形； (2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在． 分式问题比起整式问题，增加了几个难点； (1)从“平房”到“楼房”，在“脚手架”上活动；(2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序； (3)需要考虑字母的取值范围， 例题与求解【例1】m ＝_________时，分式2(1)(3)32m m m m ---+的值为0.（杭州市中考试题）解题思路：分母不为0时，分式有意义，分子与分母的公因式1m -就不为0．【例2】 已知1abc =，以2a b c ++=，2223a b c ++=，则111111ab c bc a ca b +++-+-+-的值为( )．A .1B ．12-C ．2D ．23- （太原市竞赛试题）解题思路：不宜直接通分，运用已知条件2a b c ++=，对分母分解因式，分解后再通分.【例3】计算：(1)322441124a aa b a b a b a b+++-+++（武汉市竞赛试题）(2)2232233223222244113a b a ba ab ab b a a b ab b a b a b a b+++--+++-+--+-（天津市竞赛试题）（3）33232322112(1)2212211x x xx x x x x x x-+++-+++-+--（赣州市竞赛试题）（4）22223322332223()2b a b aa b a bb a b a b aa b a b a b+++÷---+-（漳州市竞赛试题）解题思路：由于各个分式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧；对于(4)，注意到题中各式是关于ba或ab的代数式，考虑设bxa=，ayb=，则1xy=，通过换元可降低问题的难度．当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。
分式的运算
分式的运算【要点梳理】一、分式的加减1.同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减：. 2.异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：. 注意：结果必须化成最简分式.二、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，. 注意：结果要化为最简分式或整式.三、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（为正整数）.注意：先定号再计算.四、分式的混合运算1.正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握..2.运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.3.运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度.【典例精析】类型一、分式的加减运算（1）同分母分式a b a b c c c±±=a c ad bc ad bc b d bd bd bd±±=±=a c acb d bd⋅=a b c d 、、、0bd ≠a c a d ad b d b c bc÷=⋅=a b c d 、、、0bcd ≠nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭n1、计算：（1）；（2）； （3）； （4）． 【答案与解析】 解：（1）原式．（2）；（3）； （4）．【总结升华】根据乘法交换律有，所以本题是三个同分母分式的加减法，根据法则：分母不变，分子相加减．注意把分子看成一个整体用括号括起来，再加减．仔细观察分母中与，与、与的互相转化中符号的变化．（2）异分母分式 2、计算：．【答案与解析】 解：原式=．【总结升华】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3.计算（1）；（2）．【答案】22256343333a b b a a b a bc ba c cba +-++-2222()()a ba b b a ---22m n n m n m m n n m ++----33()()x yx y y x ---2(56)(34)(3)3a b b a a b a bc ++--+=225634323a b b a a b a bc a c++---==2222()()a b a b b a ---222222()2()()()a b a b a b a b a b a b -=-==----22m n n mn m m n n m ++----22221m n n m m n n m n mn m n m n m n m n m++---=--===-----33()()x y x y y x ---333()()()x y x yx y x y x y +=+=---222333a bc ba c cba ==2()a b -2()b a -()n m -()m n -3()x y -3()y x -222244224y x yx y y x y x +-+--222()()()()()()a b c b c a c b aa b a c b c b a c b c a ------++------解：（1）； （2）原式 ． 4.化简【答案与解析】 解：原式．【总结升华】本题按照常规方法先将所有的分母进行因式分解，然后通分计算，不难发现：222244224y x yx y y x y x +-+--2224412(2)(2)x y y x y y x y x y x +=-+-+-22(2)(2)4422(2)(2)x y y x y x y y x y x y x y x +-=-+--+-22(2)4(2)(2)(2)(2)x y x x y y x y x y x y x -+=++-+-22(2)(2)(2)2x y x x y x y x y x-==+-+111111a c a b b a b c c a c b =+++++------1111110a c a c a b a b b c b c=-+-+-=------222236523256x x x x x x x x ++++-++++2244113256x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭22443256x x x x =+++++44(1)(2)(2)(3)x x x x =+++++4(3)4(1)(1)(2)(3)(2)(3)(1)x x x x x x x x ++=+++++++816(1)(2)(3)x x x x +=+++8(1)(3)x x =++所有的分子计算较复杂．通过观察不妨将每一个分式化简使它们的分子变得简单，然后再计算就非常的容易了．所以，在进行分式化简时不能盲目地计算，首先应该观察分式的特点，然后选择合适的计算方法．（3）分式的加减运算的应用 5.已知，求整式A ，B ．【答案与解析】 解法一：由已知得，即．所以 所以解法二：等式两边同时乘以，得，令，则A ＝1．令，则B ＝2． 所以A ＝１，B ＝2．【总结升华】解法一是利用多项式恒等，则对应项的系数分别相等，列出方程组，求出A ，B 的值．解法二是运用特殊值法，因为多项式恒等，与取值无关，故令＝1，＝2简化式子，求出A ，B 的值． 6.已知计算结果是，求常数A 、B 的值．【答案】解：因为== =所以，解得，所以常数A 的值是1，B 的值是2．类型二、分式的乘除法运算34(1)(2)12x A Bx x x x -=+----34(2)(1)(1)(2)(1)(2)x A x B x x x x x --+-=----34()(2)(1)(2)(1)(2)x A B x A B x x x x -+-+=----3,24,A B A B +=⎧⎨+=⎩1,2.A B =⎧⎨=⎩(1)(2)x x --34(2)(1)x A x B x -=-+-1x =2x =x x x（1）乘法运算 7.已知x －3y =0，求()2222x yx y x xy y +⋅--+的值．【思路点拨】先把分母分解因式，并运用分式的乘法法则约分、化简，再把x =3y 代入可求分式的值．【答案与解析】 解：原式=()()22x yx y x y +⋅--=2x yx y+- ∵ x －3y=0，∴ x=3y ．∴当x=3y 时，原式=2377322y y y y y y ⨯+==-． 【总结升华】本题考查综合运用分式的乘法法则，约分化简分式，并根据已知条件式求分式的值．8.已知分式，计算的值． 【答案】解： ． ∵， ∴ ，且，即且，解得，，此时．∴ 原式．（2）除法运算9.课堂上，李老师给同学们出了这样一道题：当，，时，求代数式的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体的过程．【思路点拨】分式求值问题的解题思路是先化简，再代入求值，一般情况下不直接代入，本题所给的的值虽然有的较为复杂，但化简分式后即可发现结果与字母的取值无关． 【答案与解析】2|2|(3)0a b a b -+-=+22222a ab a abb a b+--g 22222222()()()()a ab a ab a a b a a b a b a b b a b a b b+-+-==-+-g g 2|2|(3)0a b a b-+-=+2|2|(3)0a b -+-=0a b +≠20a -=30b -=2a =3b =50a b +=≠222439==3x=5-722212211x x x x x -+-÷-+x x解： ．所以无论取何值，代数式的值均为，即代数式的值与的取值无关． 所以当，，时，代数式的值都是． 【总结升华】本题实际就是一道普通的分式化简求值题，只是赋予情景，增加兴趣，要通过认真审题，领会解决问题的实质． 10.已知，其中不为0，求的值.【答案】解：原式＝ ＝. ∵ ， ∴ .∴ 原式＝.∵ 不为0，∴ 原式＝.类型三、分式的乘方11.计算：．【思路点拨】先进行乘方运算，再计算乘法运算即可得到结果． 【答案与解析】解：原式=﹣•=﹣．【总结升华】分式乘方时也可以先确定符号，再将分子、分母分别乘方． 12．计算的结果是（ ） 2222122(1)1111(1)(1)2(1)2x x x x x x x x x x -+--+÷==-++--g x 12x 3x=5-71220a b +=a 22222b a ab a bab a --÷+()()()()2a a b a b a b b a a b ++-⋅-()22bb a +20a b +=a b 2-=22224)2()(a a a a =--a 41⨯-32)2(b a 2)2(a b 2()b a÷-A ．B ．C ．D ．13．（为正整数）的值是（ ）A ．B ．C ．D ．类型四、分式的混合运算14.若等于它的倒数，求的值．【答案与解析】解：∵等于它的倒数， ∴解得 ∴时，原式＝；时，原式＝.【总结升华】乘除混合运算，首先把除法运算转化为乘法运算，再用乘法运算法则计算．有乘方的，先算乘方，注意符号的处理. 15.化简：．【答案】 解：原式=﹣••=﹣．16.计算：（﹣）．【思路点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．68ba -638b a -5216b a 5216ba -na b 22)(-n n n a b 222+n n a b 24n n a b 212+-n nab 24-m 32222)2.()22(444m m m m m m m --+÷-++22232442().()422m m m m m m m +++÷---()()()()()()()22322222282282m m m m m m m m m m +-=-⨯⨯+-+-=-+m 1,m m=1m =±1m =1241m =-38-【答案与解析】解：原式=•=•=﹣．【总结升华】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．课后作业1．若a 2+5ab ﹣b 2=0，则的值为 ．【答案】5【解析】∵a 2+5ab ﹣b 2=0，∴﹣===5．2．、为实数，且＝1，设，则P______Q(填“＞”、“＜”或“＝”)． 【答案】＝； 【解析】.3．若＜0，则＝______．【答案】； 【解析】.4.若x，则= ．【答案】； 【解析】解：将已知等式平方得：（x ﹣）2=x 2﹣2+=16，即x 2+=18，则==． 故答案为：.a b ab 11,1111a b P Q a b a b =+=+++++()()()()()2111110111111ab a b ab a b ab b a P Q a b a b a b ---+--++---=+===++++++x |3|1||31---x x 229xx -2111123|||3|339xx x x x x -=+=--+--1191191195.计算下列各题（1） （2） 解：（1）原式. （2）原式. （3）﹣（4）÷．解：（3）原式=+=；（4）原式=•=x ．6.化简求值：，其中． 解：原式因式，所以，代入. 7．已知求的值． 解：∵ ∴ 223215233249a a a a ++++--43214121111x x x x x x +-++-+--()()2222332321523215023234949a a a a a a a a --++++=-+==+---3337224448224448111111x x x x x x x x x x x x -=-+=-=-++-+-22[()]33x y x yx y x x y x x+----÷+530x y +=22[()]331x y x y x y x x y x x++-=--÷+22(2)332x x x x yx x y =-+⨯-=-530x y +=53y x =-223543x x x y x x ==-+.0)255(|13|2=-+-+b a b a 323232236().()()a ab ba b b a-÷--.0)255(|13|2=-+-+b a b a 3105502a b a b +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩Li11解得 .1255a b ==，32394232322296236915().()()3648a ab b a a b a a b b a b a b b b -÷-=-⋅⋅=-=--。
分式的运算技巧
分式的运算技巧分式的运算技巧包括四则运算、约分、通分和化简。
下面将一步步详细介绍这些技巧及其应用。
一、四则运算分式的四则运算包括加、减、乘和除。
加法和减法：先将分母化为通分的形式，然后在分子上进行加减运算即可。
求得结果后要记得将结果化简到最简形式。
例如：\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}乘法：将分数乘起来，然后将分子和分母分别约分。
例如：\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{8}{15}除法：将被除数和除数的倒数相乘，然后将分子和分母分别约分。
例如：\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{ 5}{6}二、约分约分是指将一个分数化为最简形式的过程。
分母和分子同时除以它们的最大公约数即为最简形式。
最大公约数可以通过辗转相除法求得。
例如：\frac{6}{12}=\frac{1}{2}，因为6和12的最大公约数是6，所以分母和分子同时除以6即可。
\frac{20}{25}=\frac{4}{5}，因为20和25的最大公约数是5，所以分母和分子同时除以5即可。
三、通分通分是指将两个或多个分母不同的分数化为相同分母的分数，使它们可以相加或相减。
通分步骤如下：1. 找到两个或多个分数的最小公倍数。
2. 将每个分数的分母变成最小公倍数，分子相应地乘上一个倍数。
3. 将分数的分子相加或相减，结果的分母与通分后的分母相同。
例如：\frac{2}{3}+\frac{1}{4}最小公倍数为12，分别乘以4和3得到通分后的分数：\frac{2}{3}\times\frac{4}{4}+\frac{1}{4}\times\frac{3}{3}=\frac{8}{12}+\frac {3}{12}=\frac{11}{12}四、化简化简是指将一个分式化为最简形式或将分式中的分子和分母进行因式分解的过程。
初二奥数题分式的运算
第一讲：分式的运算【知识梳理】一、分式的意义 形如BA （B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。
当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。
二、分式的性质（1）分式的基本性质： MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（其中M 是不为零的整式）。
（2）分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
（3）倒数的性质：1、()()011011>=⋅≠=⋅a aa a a a ，； 2、若11=⋅a a ，则11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n n a a （0≠a ，n 是整数）； 3、()021>≥+a aa 。
三、分式的运算分式的运算法则有： bdbc ad d c b a c b a c b c a ±=±±=±，； n nn ba b a bc ad d c b a bd ac d c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=÷=⋅，，（n 是正整数）。
四、分式的变形分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。
【例题精讲】【例1】（1）当=m ___________时，分式()()23312+---m m m m 的值为零；（2）要使分式xx-11有意义，则x 的取值范围是_______________________。
思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义；当分子为零，分母不为零时，分式的值为零。
【巩固】1、若分式2231244x x x -++的值为0，则x 的值为_____________； 2、若使分式aa a 231142++-没有意义，则a 的值为________________；【拓展】当x 取何值时，分式6522+--x x x 有意义？【例2】化简下列分式：（1）1221422-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x x （2）1814121111842+-+-+-+--x x x x x（3）()()()()()()10099132121111--++--+--+-x x x x x x x 。
初二奥数精讲——第5讲分式（一）
初二奥数精讲——第5讲分式（一）本讲适用于初二、初三，因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目，所以只要有课堂上基本的知识储备，都可以一起来学习，相信对你的奥数、数学思维，解题思路都大有裨益。
抖音号“数学奥数思维拓展” 1059021292，持续更新的相关视频讲解。
一、知识点解析分式是初中数学学习中一类重要知识类型，是贯穿初中、高中乃至大学学习的重要知识点。
因此，分式历来是“高考”和数学竞赛着重考察的热点问题。
分式在数学竞赛中，除了常规的基本方法，还需要掌握和运用一些特殊方法，让我们来开始学习吧。
1. 基本知识分式是有理式，它的运算与分数的计算相似，不过在运算中要特别注意：对含有分式的等式而言，可对等式两边同时乘以各分式的分母的公倍式，以去掉分母。
但对若干分式的和而言，则“不能去分母”，只能利用分式的基本性质（分子、分母同时乘以或除以同一个代数式，其值不变），将各分式的分母化的相同。
符号法则：分式的基本性质：将一个分式的分子和分母同时乘以一个不为零的代数式，分式的值不变。
部分分式：将一个真分式（分子的次数小于分母的次数）分解为若干个真分式的和，叫做将分式化为部分分式。
真分式：如果一个分式分子的次数低于分母的次数，则称之为真分式，否则称为假分式。
真分式具有如下一些性质：（1）几个真分式的和或差仍为真分式，或为零。
（2）如果是真分式，且P(x)与Q(x)是互质的整式，则这个分式可表示成分别以P(x)、Q(x)为分母的两个真分式的和，并且这样的表达式是唯一的（此结论可以推广到分母是多个整式的积的情形）。
（3）如果一个真分式的分母可分解为若干个互不相同的一次因式a i x+b i与若干个互不相同的二次因式的积，则原分式可分解为一些形如的分式的代数和。
如果一真分式的分母含有一次因式的幂：(ax+b)r，则它的部分分式中含有这样一些分式的代数和，按这种方式分解的部分分式都称为最简部分分式。
分式的运算
分式的运算分式是数学中常见的一种运算形式，它由分子和分母组成，分子和分母都可以是整数、小数或其他代数表达式。
在数学中，我们经常需要对分式进行各种运算，如加法、减法、乘法和除法等。
本文将介绍分式的运算规则和注意事项。
在进行分式的运算时，我们需要注意以下几点：分式的加法和减法分式的加法和减法运算可以通过以下步骤进行：1.找到分式的公共分母。
如果分母不同，需要进行通分，将分母转化为相同的值。
2.对于相同的分母，将分子相加或相减，保持分母不变。
3.化简分数，如果有需要，可以将分数化简为最简形式。
示例：假设我们要计算分式$$\\frac{3}{4} + \\frac{1}{2}$$的结果。
首先，我们找到分式的公共分母，可以发现4和2的最小公倍数是4。
将分式转化为相同的分母：$$\\frac{3}{4} + \\frac{1}{2} = \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{2}{2} + \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4}{4} = \\frac{6}{8} + \\frac{4}{8}$$。
然后，我们对相同分母的分子进行加法运算：$$\\frac{6}{8} + \\frac{4}{8} = \\frac{10}{8}$$。
最后，我们将结果化简为最简形式：$$\\frac{10}{8} = \\frac{5}{4}$$。
所以，$$\\frac{3}{4} + \\frac{1}{2} = \\frac{5}{4}$$。
分式的乘法和除法分式的乘法和除法运算可以通过以下步骤进行：1.分别将分子和分母进行相乘或相除。
2.将结果进行化简，如果有需要，可以将分数化简为最简形式。
示例：假设我们要计算分式$$\\frac{3}{4} \\times \\frac{2}{3}$$的结果。
首先，我们将分子和分母进行相乘：$$\\frac{3}{4} \\times \\frac{2}{3} = \\frac{3 \\times 2}{4 \\times 3} =\\frac{6}{12}$$。
【初中】初中数学奥赛专题复习 知识梳理例题精讲 第一讲 分式的运算(基础篇,适合八年级使用,无答案)
分式的运算【知识梳理】一、分式的意义 形如BA （B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。
当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。
二、分式的性质（1）分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（其中M 是不为零的整式）。
（2）分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
（3）倒数的性质：1、()()011011>=⋅≠=⋅a aa a a a ，； 2、若11=⋅a a ，则11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n n a a （0≠a ，n 是整数）； 3、()021>≥+a aa 。
三、分式的运算分式的运算法则有：bdbc ad d c b a c b a c b c a ±=±±=±，； n nn ba b a bc ad d c b a bd ac d c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=÷=⋅，，（n 是正整数）。
四、分式的变形分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。
【例题精讲】【例1】（1）当=m ___________时，分式()()23312+---m m m m 的值为零；（2）要使分式xx-11有意义，则x 的取值范围是_______________________。
思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义；当分子为零，分母不为零时，分式的值为零。
【巩固】1、若分式2231244x x x -++的值为0，则x 的值为_____________；2、若使分式aa a 231142++-没有意义，则a 的值为________________；【拓展】当x 取何值时，分式6522+--x x x 有意义？【例2】化简下列分式：（1）1221422-+⋅⎪⎭⎫⎝⎛---x x x x x （2）1814121111842+-+-+-+--x x x x x（3）()()()()()()10099132121111--++--+--+-x x x x x x x 。
初二奥数辅导分式方程的解法
分母中含有未知数的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是转化为整式方程 求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行 有效的变形•变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根.
例1解方程
解令y=X+2x-8，那么原方程为
111,
+_*=a
y+9y y y亠15k
分析与解形式与上例相似.本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故
可考虑用合分比定理化简•原方程变形为
(3x2+4x~1)+(3x2-4x -1)(x2++1) +(x2-4x+1)
去分母得
y(y-15x)+(y+9x)(y-15x)+y(y+9x)=0，
y2-4xy-45x2=0,
(y+或y=-5x .
由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以Xi=-1 ,X2=8;由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2+7x-8=0，所以X3=-8，X4=1.
经检验，它们都是原方程的根.
例2解方程
x2+72x~72
——+_-18 =0・'
X2+4x
解设厂则原方費化为
整理得
\3茎一2
黑十！x+2x2+3x+2
去分母、整理得
x+ 9=0,x=-9 .
经检验知，x=-9是原方程的根.
例4解方程x+ 1 X +6x+ 2x+5
+=+
黑 +2x+ 7x+3x+ 6
奥林匹克数学题型分式的简化与运算
奥林匹克数学题型分式的简化与运算分式是数学中常见且重要的概念，它在奥林匹克数学竞赛中也经常出现。
分式可以表示为两个整数之间的比值，通常由一个分子和一个分母组成。
本文将探讨奥林匹克数学题型中关于分式的简化和运算的方法与技巧。
一、分式的简化在奥林匹克数学竞赛中，简化分式是一个基础而又重要的步骤。
为了简化分式，我们需要找到分子和分母的最大公因数，并将其约分。
例如，考虑分式$\frac{12}{18}$。
我们可以观察到12和18都可以被2整除，因此它们的最大公因数是2。
通过将分子和分母都除以最大公因数2，我们可以得到简化后的分式$\frac{6}{9}$。
这个分式仍然存在可以约分的因子，进一步简化为$\frac{2}{3}$。
我们得到了最简形式的分式。
二、分式的乘法奥林匹克数学题型中常常涉及到多个分式的乘法运算。
在进行分式乘法时，我们需要将分式的分子与分子相乘，分母与分母相乘，并约分得到结果。
考虑以下示例：$\frac{1}{2} \times \frac{3}{4}$。
我们将分子1与分子3相乘，得到3；将分母2与分母4相乘，得到8。
最后，我们对结果$\frac{3}{8}$进行简化。
三、分式的除法除法是分式运算中的另一个常见问题。
当我们需要将两个分式相除时，可以通过将除式取倒数，再进行分式乘法来实现。
例如，考虑分式$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}$。
我们可以将除式$\frac{4}{5}$取倒数，得到$\frac{5}{4}$。
然后，我们可以将原始分式转化为$\frac{2}{3} \times \frac{5}{4}$的形式。
最后，按照分式乘法的规则进行计算，得到结果$\frac{10}{12}$。
我们可以对结果进行简化，得到最终的答案$\frac{5}{6}$。
四、分式的加法与减法在奥林匹克数学竞赛中，有时候需要进行分式的加法和减法运算。
为了实现这些操作，我们需要找到两个分式的公共分母，并按照相应的运算法则进行计算。
分式运算练习题及答案
分式运算练习题及答案分式运算练习题及答案在数学学习过程中，分式运算是一个重要的内容。
它不仅涉及到分数的加减乘除，还包括分式的化简、分式方程的解法等等。
掌握好分式运算，对于解决实际问题以及进一步学习高等数学都具有重要意义。
下面给大家提供一些分式运算的练习题及答案，希望能够帮助大家巩固知识。
一、分式的加减乘除1. 计算：$\frac{3}{4} + \frac{2}{5}$解答：首先找到两个分数的公共分母，这里是20，然后分别乘以相应的倍数，得到$\frac{15}{20} + \frac{8}{20} = \frac{23}{20}$。
2. 计算：$\frac{5}{6} - \frac{1}{3}$解答：同样找到两个分数的公共分母，这里是6，然后分别乘以相应的倍数，得到$\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。
3. 计算：$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$解答：将两个分数的分子相乘，分母相乘，得到$\frac{8}{15}$。
4. 计算：$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}$解答：将除法转化为乘法，即$\frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$。
二、分式的化简1. 化简：$\frac{4x^2 - 9}{2x^2 - 3x - 2}$解答：将分子和分母进行因式分解，得到$\frac{(2x - 3)(2x + 3)}{(2x + 1)(x - 2)}$，然后约去相同的因子，得到$\frac{2x + 3}{2x + 1}$。
2. 化简：$\frac{2a^2 + 6a + 4}{a^2 + 5a + 6}$解答：同样进行因式分解，得到$\frac{2(a + 2)(a + 1)}{(a + 2)(a + 3)}$，然后约去相同的因子，得到$\frac{2(a + 1)}{a + 3}$。
分式运算初中数学知识点之分式的四则运算法则
分式运算初中数学知识点之分式的四则运算法则初中数学中，分式是一个重要的知识点，它在数学运算中起到了重要的作用。
分式的四则运算法则是我们学习分式运算的基础，掌握了这些法则，我们就能够正确地进行分式的加减乘除运算。
下面我们将详细介绍分式的四则运算法则。
一、分式的加法和减法假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，它们的分子分别为a和c，分母分别为b和d。
那么它们的加法运算可以通过以下步骤进行：1. 找到两个分式的公共分母，记为m；2. 将两个分式的分子分别乘以m/b和m/d，得到分子为am/b，cm/d的两个分式；3. 将两个新分式的分子相加，即(am/b) + (cm/d)；4. 分子的和除以公共分母m，即[(am/b) + (cm/d)] / m。
同样地，分式的减法运算也可以按照上述步骤进行，只需要将第3步的相加改为相减即可。
二、分式的乘法分式的乘法运算较为简单，只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。
假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，那么它们的乘法运算可以用以下公式表示：(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)。
三、分式的除法分式的除法与乘法类似，只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。
假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，那么它们的除法运算可以用以下公式表示：(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)。
需要注意的是，除法的时候我们需要将第二个分式取倒数后再进行乘法运算。
以上就是分式的四则运算法则，通过掌握这些法则，我们可以正确地进行分式的加减乘除运算。
在实际运算中，我们还需要注意约分的情况和分母为0的特殊情况。
当分式中的分子和分母有公因子时，我们需要将其约分为最简形式，即分子和分母没有共同的约数。
而当分式的分母为0时，这个分式是无定义的，因为在数学中，除数不能为0。
通过不断的练习和运用，我们可以更好地掌握分式的四则运算法则，为更复杂的数学运算打下坚实的基础。
分式的运算
分式的运算分式的乘除（一）1．计算：2()xy x -·xy x y -=___ _____．2．计算：23233y xy x-÷____ ____．3．计算：3()9a ab b -÷=____ ____．4．计算：233x y xya a÷=____ ____． 5．若m 等于它的倒数，则分式mm m m m 332422--÷--的值为（）A ．－1B ．3C ．－1或3D ．41- 6．计算2()x y x xy x++÷的结果是（ ）A ．2()x y + B ．y x +2C ．2xD ．x 7．计算2(1)(2)3(1)(1)(2)a a a a a -++++的结果是（）A ．3a 2－1 B ．3a 2－3 C ．3a 2＋6a ＋3 D ．a 2＋2a ＋18．已知x 等于它的倒数，则263x x x ---÷2356x x x --+的值是（）A ．－3B ．－2C ．－1D ．09．计算22121a a a -++÷21a aa -+．10．观察下列各式：2324325432(1)(1)1(1)(1)1(1)(1)1(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x x x -÷-=+-÷-=++-÷-=+++-÷-=++++（1）你能得到一般情况下(1)(1)nx x -÷-的结果吗？ （2）根据这一结果计算：2320062007122222++++++．1．计算22234()()()x y y y x x÷-得（ ）A ．5x B ．x 5y C ．y 5 D ．xy 52．计算2()x y y y x x ÷-的结果是（ ）A ．y -B ．2x y - C ．x y D ．2x y3．计算2243312()()22a a ba b b -÷-的值等于（ ） A ．9a - B ．9a C ．36a - D ．36a4．计算：2223x y mn ·2254m n xy÷53xym n ． 5．计算：2222()()64y y x x ÷-．6．计算：24911214223x x x x -÷---． 7．计算：2221644168282m m m m m m m ---÷++++．8．阅读理解：计算1(2)2x x x ÷--时，小虎给出了他的解答过程如下： 解：12(2)122x x x x x x x x -÷-=÷=÷=--． 试说明小虎的求解过程是否正确？如不正确，请你指出错误之处，并写出你认为正确的解答过程．9．课堂上，吴老师给大家出了这样一道题：求当x 等于（1）7－（2）请分别计算代数式22211x x x -+-÷221x x -+的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？•请你写出具体过程．10．先化简，再求值：2222225632()()12728x x x x x x x x -+++÷-+-+，其中2x =-．1． 直接写出结果：（1）m n m na a-++= ； （2）=+-+yx y y x x 22 .2． 计算（1）=-x x 126 ； (2)=-+-a b b b a a 22 ． 3． 计算21x x x --的结果为_______ ____．4． 如果a >b >0，则a b b a b --+1的值的符号是__________．5． 某校教学楼建筑工地上有S 吨渣土，用大渣土车每次能运走a 吨，用小渣土车每次能运走的渣土是大渣土车的53，用大小渣土车同时运送，共需运 次． 6． 公路全长s 千米，骑车t 小时可到达，要提前20分钟到达，每小时应多走__ __千米.7． 化简21424a a ---的结果为 ( )A ．12a + B ． 2+a C ．21-a D ．2-a 8． 若2a b ab -=，则11a b -的值为（ ）A ．12 B ．－12C ．－2D ．29． 计算：（1）6532----x x x x x ； （2）211a a a+-+.10．已知x 为整数，且222218339x x x x ++++--为整数，求所有符合条件的x 值的和.11．若311=-y x ，求yxy x y xy x -+-+2232的值． 12．已知2113x x x =++，求分式1242++x x x 的值． 拓展延伸1．已知111,,345ab bc ca a b b c c a ===+++，求abcab bc ca++的值．2．已知2222007,2008,2009a x b x c x +=+=+=，abc =6024, 求111a b c bc ca ab a b c++---1．直接写出结果：（1）a a b b ÷-= ；（2）2n n mm m n n--=- ． 2．计算：=⎪⎭⎫⎝⎛--+÷--252423x x x x _______3．计算：1()a b a b b a a b+÷=--+________________． 4．计算：1(1)122a a a +÷=--________________． 5．计算11()x x x x -÷-的结果为 ( )A ．1 B ．211x x -- C ．11x - D ．11x + 6．计算11(1)(1)a a +÷-的结果为 ( )A ．11a a +- B ．11a a -+ C ．221a a - D ．221a a -7．计算：23111x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭． 8．计算：2223189218a a a a a +-÷-+-+．9．计算：2221()2444x x xx x x x x+----+-．10．求222222(1)2a b a b a b ab ab-+÷+-的值，其中5a =-，3b =．11．已知3,24a b ==-，求222222()()12a a a a a b a ab b a b a b -÷-+--++-的值12．阅读理解：我们把分子为1的分数叫做单位分数．如21，31，41，…任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如111236=+，1113412=+，1114520=+，… （1）根据对上述式子的观察，你会发现51＝11+．请写出□，○所表示的数；（2）进一步思考，单位分数n 1（n 是不小于2的正整数）＝11+，请写出△，☆所表示的式，并加以验证．○□ △ ☆16.2.3 整数指数幂（一）1．（1）2(4)--= ；（2）02007-= .2．（1）13(2)xy ---= ；（2）321728a b a b--= . 3．下列计算中，正确的是（ ） A ．0a =1 B ．23-=－9 C ．5.6×210-=560 D ．21()5-＝254．111()x y ---+=（ ）A ．x y = B ．1x y + C ．xy x y + D ．x y xy+ 5．计算：22255(2)3a b a b --. 6．计算：42321()()x y x y y--÷.拓展延伸【例题】阅读第（1）题的解题过程，再做第（2）题： （1）已知13x x-+=，求33x x -+的值．解：因为1222()29x x x x --+=++=所以227x x -+=所以332211()()()73318x x x x x x x x ----+=++-+=⨯-=； （2）已知13x x -+=，求55x x -+的值．16.2.3 整数指数幂（二）1．用科学记数法表示：（1）0.000 09= ；（2）0.000 56= 2．用科学记数法表示的数4210-⨯，其原数为 .3．用科学记数法表示的数83.0210-⨯，其原数为 .4．一个正数用科学记数法表示10na -⨯的形式，则a 的取值范围为 （ ）A ．a 为整数B ．a 为绝对值小于1的小数C ．1＜a ≤10D . 1≤a ＜10。
分式的运算(含答案)
分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法则；当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。
2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。
求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。
（2）同分母的分式加减法法则（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
3. 分式乘方的法则（n为正整数）4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。
学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。
下面我们一起来学习分式的四则运算。
【分类解析】例1：计算的结果是（）A. B. C. D.分析：原式故选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。
例2：已知，求的值。
分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。
解：原式例3：已知：，求下式的值：分析：本题先化简，然后代入求值。
化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。
最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。
这是解决条件求值问题的一般方法。
解：故原式例4：已知a、b、c为实数，且，那么的值是多少？分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。
解：由已知条件得：所以即又因为所以例5：化简：解一：原式解二：原式说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。
分式的运算掌握分式的四则运算方法
分式的运算掌握分式的四则运算方法分式是数学中的一个重要概念，它在实际生活中具有广泛的应用。
掌握分式的四则运算方法是学习和应用分式的基础。
本文将介绍分式的四则运算方法，并提供一些例题进行讲解。
1. 加法运算分式的加法运算可以通过分母的通分来实现。
具体步骤如下：- 首先，将两个分式的分母化为相同的公分母。
- 然后，将两个分式的分子相加得到分式的新分子。
- 最后，将得到的新分子与公分母组合，即得到最简分式。
例题1：计算 1/2 + 1/3解：首先，找到两个分式的公分母，分别为6。
然后，将分子相加得到新分子1+2=3。
最后，得到最简分式3/6，可以进一步化简为1/2。
2. 减法运算分式的减法运算也可以通过分母的通分来实现。
具体步骤如下：- 首先，将两个分式的分母化为相同的公分母。
- 然后，将两个分式的分子相减得到分式的新分子。
- 最后，将得到的新分子与公分母组合，即得到最简分式。
例题2：计算 3/4 - 1/5解：首先，找到两个分式的公分母，分别为20。
然后，将分子相减得到新分子15-4=11。
最后，得到最简分式 11/20。
3. 乘法运算分式的乘法运算可以通过分式的分子和分母的相乘得到结果的分子和分母。
具体步骤如下：- 将两个分式的分子相乘得到新分子。
- 将两个分式的分母相乘得到新分母。
- 最后，将得到的新分子与新分母组合，即得到最简分式。
例题3：计算 2/3 * 1/4解：将分子相乘得到新分子2*1=2。
将分母相乘得到新分母3*4=12。
最后，得到最简分式 2/12，可以进一步化简为 1/6。
4. 除法运算分式的除法运算可以通过将除法转化为乘法来实现。
具体步骤如下：- 将除号改为乘号。
- 将第二个分式取倒数，即将分子与分母互换位置。
- 将乘法运算进行简化，得到最简分式。
例题4：计算 3/4 ÷ 1/5解：将除号改为乘号，得到 3/4 * 5/1。
将第二个分式取倒数，得到3/4 * 5/1 = 3/4 * 5/1 = 15/4。
八年级奥数-第十二讲：分式的运算
经典例题解析
• 说明 本题的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消 元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大 简化．
• 分析 在有关分式的诸问题中，往往一道题牵涉多方面的 知识，对于分式条件等式的证明，更是需要综合运用有理 式的变形技巧及代入法、换元法等数学方法，通过分析推 理在已知条件的约束下，将分式恒等变形、推出结论。本 题并不复杂，但用常规的“直接代入法”无济无事，将已 知条件作“整体变形”似乎也难奏效，我们考虑到“化整 为零”，把已知条件左边的三个分式分别用其他两个表示， 这只需用到通分的基本变形方法就够了，再进行合成即得 到所证结论。于是“化整为零”的小技巧解决了大问题。
注意：
（1）如果分母能分解因式，通分时一般 应先把分母分解因式。
（2）分式运算的结果如果可以约简，要 约简成最简分式或整式。
知识方法扫描
• 初中数学竞赛中的与分式有关的问题和整式一样，包 括分式的化简求值与恒等式的证明等，在处理分式恒 等变形问题时，分式的基本性质是最重要的依据。 • 在解答有关分式的问题时，有如下几种方法： • 1．逆用通分的步骤，将一个分式变形为两个分式的 和或者一个整式和一个分式的和。 • 2．在等式两边“取倒数”也是处理分式问题的一种 常用方法。 • 3．在证明恒等式时，可以采用逆推的方法（分析法） 来思考。 • 4．在遇到条件中有比例式出现时，可以先将相等的 比设成一个字母。
•
Байду номын сангаас分式有意义的条件：
分式的分母不等于零
•
分式的值为零的条件：
分式的分子等于零
且分母不等于零
•分式无意义的条件：
分式的分母等于零
分式运算有： （1） 分式的乘除法
（2） （3） （4）
分式奥数题
分式奥数题式分步通分，每一步只通分左边两项．例3 若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4 化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．例7 化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值．(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+1 0=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1 利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有说明比例有一系列重要的性质,在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或 a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．练习四1．化简分式：2．计算：3．已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，的值．。
(完整版)八年级奥数：分式的运算
八年级奥数：分式的运算解读课标．分式是表示具体情境中数量关系的工具，由于分式是分数的“代数化”，所以其性质与运算是完全类似的，类比分数学分式是学习分式的重要方法．分式的运算是以分式的基本性质、通分和约分的概念、运算法则为基础，以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算中的重点与难点，怎样合理地通分是化解这一难点的关键，恰当通分的基本策略与技巧有： 1．分步通分； 2．分组通分；3．先约分后再通分； 4．换元后通分等． 问题解决例1 （1）若分式的值为0，则x 的值为____________．（2）如果整数a （a ≠1）使得关于x 的一元一次方程：的解是整数，则该方程所有整数解的和为____________．例2 已知实数a 、b 、c 满足那么的值（ ）． A ．是正数 B ．是零 C ．是负数 D ．可正可负例3 计算 （1）; （2）；4412322++-x x x x a a ax ++=-232.4.0==++abc c b a cb a 111++4214121111x x x x ++++++-)100)(99(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++x x x x x x x x Λ例4 分式中的欧拉公式欧拉是18世纪瑞士著名数学家，他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时，在初等数学中也到处留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式，请证明．例5 A 、B 两个家庭同去一家粮店购买大米两次，两次大米的售价有变化，但两个家庭购买的方式不同．其中A 家庭每次购买25千克，B 家庭每次用去25元，且不问购买大米各多少，问谁的购买方式合算？数学冲浪． 知识技能广场1． 埃及算术古埃及人在土地丈量、产品分配等生产生活中积累了许多数学知识．整个埃及数学最特异之处，是一切分数都化为单分数，即分子为1的分数．在一部记录古埃及数学的《赖因德纸草书》中，有相当的篇幅写出了“”型分数分解成单分数的结果，如，则．更一般地，有 取大于2的自然数）． 2．（1）要使分式没有意义，则a 的值为___________．（2）当m =__________时，分式的值为零．3．已知的和等于，则 a =__________，b =__________． 4．化简__________． ⎪⎩⎪⎨⎧=++===--+--+--.3211,00))(())(())((时）（时）（时）（r c b a r r b c a c c a b c b b c a b a a rrr2n 4515192,2814172,1513152+=+=+=)(1)(1112+=n n ()(1)(1122+=-aa231142++-α23)3)(1(2+---m m m m 22-+x b x a 与442-x x =+--÷-+-22229631y xy x y x yx y x5．若分式的值为零，则x 的值为（ ）．A ．±1B ．-1C ．8D ．-1或8 6．已知，则的值等于（ ）． A ．6 B ．-6 C ．D ． 7．化简，其结果是（ ）．8．方程的整数解有（ ）组． A ．1 8．2 C ．3 D ．49．若a 满足请你选取一个合适的数a ，使得代数式的值为一个奇数．10．计算： （1）； （2）．1||)1)(8(-+-x x x 411=-b a bb a b ab a α7222+---215272)22444(22-÷+-++--x x x x x x x 28.28.28.28.++----x D x C x B x A 013=-++y x x 33≤≤-a )11(12aa a -÷-443)2111(2+++÷++-+-x x x x x x x 2]244)2)(1([22-÷--+--+a aa a a a a a a11．试说明下列等式成立： （1）； （2）．思想方法天地 12．已知x 为整数，且为整数，则所有符合条件的x 值的和为_____． 13．已知abc =1，则关于x 的方程的解是___．14．设正整数m ,n ，靠满足m <n ，且则m +n 的值是______________． 15．已知则x =______________． 16．代数式的化简结果是（ ）． 17．设有理数a 、b 、c 都不为零，且． 则的值是（ ）．A ．正数B 负数C ．零D ．不能确定18．甲、乙两人同时从A 地出发沿同一条路线去B 地，若甲用一半的时间以a 千米／时的2222)(1)(1)(1)111(a c c b b a a c c b b a -+-+-=-+-+-ac c b b a b c a c b a a b c b a c c a b a c b -+-+-=---+---+---222))(())(())((918232322-++-++x x x x 2004111=++++++++cac xbc b x ab a x ⋅=++++++++2311)1()1(11222nn m m mm Λ3,2,1=+=+=+xz zxz y yz y x xy 14121111432++++++-x x x x x x 18.65-x x A 18.84-x x B 14.87-x x C 18.87-x x D 0=++c b a 222222222111c b a b a c a c b -++-++-+速度行走，另一半时间以b 千米／时的速度行走；而乙用a 千米／时的速度走了一半的路程，另一半的路程以b 千米／时的速度行走（a ，b 均大于0，且a ≠b ），则（ ）． A ．甲先到达B 地 B ．乙先到达B 地C ．甲乙同时到达B 地D ．甲乙谁先到达B 地不确定 19．存在这样的有理数a 、b 、c 满足a <b <c ，使得分式的值等于（ ）． A ．-2003 B ．0 C ．2003 D ．20．太平盛世，吉祥如意，神舟“五号”，豪气冲天．若能被n +5整除（n 为正整数），则称n 为995的吉祥数．据说，中国载人飞船首飞日期恰好与995的吉祥数有关，试求n 的最大值．21．已知求下式的值： ．应用探究乐园22．用水清洗蔬菜上残留的农药．设用x （x ≥1）单位量的水清洗一次后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为． ‘现有a （a ≥2）单位的水，可以一次清洗也可以把水平均分成两份后清洗两次．试问用哪种方法清洗后蔬菜上残留的农药量较少?说明理由．ac c b b -+-+-111α2995n +xxx f +=1)(.)2004()2003()2()1()0()1()21()20031()20041(f f f f f f f f f +++++++++ΛΛ11x +23．一分为二 任何一个单位分数都可以写成两个单位分数的和：（n ，p ，q 都是正整数）．显然，这里的p ，q 都大于n ． 如果设p =n +a ，q =，n +b ，那么有． （1）探索上式中的正整数a ，b 与正整数n 之间存在什么样的关系（写出推理过程）；（2）写出等于两个单位分数之和的所有可能情况．1n qp n 111+=bn a n n +++=11116。
初二年级奥数分式的运算试题及答案
初二年级奥数分式的运算试题及答案1．计算ax2b yb2yax的结果是(B)A．ax B．bx C.xb D.xa2．计算－b2a?(－4a3b)?(－2a3b)的结果是(D)A．－ba B.baC．－b4a D．－4a9b3．计算：(1)2x3zy2 3y24xz2；解：原式＝6x3y2z4xy2z2＝3x22z.(2)x2－xyxy2?yy－x；解：原式＝x（x－y）xy2?yy－x＝－xy（x－y）xy2（x－y）＝－1y.(3)x2－6x＋9x2－1?x2＋xx－3.解：原式＝（x－3）2（x＋1）（x－1）?x（x＋1）x－3＝x（x－3）x－1＝x2－3xx－1.4．计算3ab÷b3a的结果是(D)A．b2 B．18a C．9a D．9a25．化简2x2－1÷1x－1的结果是(A)A.2x＋1B.2xC.2x－1 D．2(x＋1)6．计算：(1)12x2y5z2÷4xy215z2；解：原式＝12x2y5z2?15z24xy2＝9xy.(2)a2－1a2＋2a＋1÷a2－aa＋1；解：原式＝（a＋1）（a－1）（a＋1）2?a＋1a（a－1）＝1a.(3)2x＋6x2＋2x÷(x＋3)．解：原式＝2（x＋3）x2＋2x?1x＋3＝2x2＋2x.7．由甲地到乙地的一条铁路全长为s km，火车的运行时间为a h；由甲地到乙地的公路全长为这条铁路全长的m倍，汽车全程运行b h．那么火车的速度是汽车速度的bam倍．8．甲乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修(a2－4)米，乙工程队每天修(a－2)2米(其中a>2)，则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？解：900a2－4÷600（a－2）2＝3a－62a＋4.答：甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的3a－62a＋4倍．9．使代数式x＋2x－3÷x＋1x－2有意义的条件是(D)A．x≠3且x≠2 B．x≠3且x≠－1C．x≠2且x≠－2 D．x≠－1且x≠2且x≠310．已知分式x2－y2x乘以一个分式后结果为－（x－y）2x，则这个分式为－x－yx＋y．11．李明同学骑自行车上学用了a分钟，放学时沿原路返回家用了b分钟，则李明同学上学与回家的速度之比是ba．12．计算：(1)(a－2)?a2－4a2－4a＋4；解：原式＝(a－2)?（a＋2）（a－2）（a－2）2＝a＋2.(2)(a2＋3a)÷a2－9a－3；解：原式＝a(a＋3)?a－3（a＋3）（a－3）＝a.(3)x2－1x2－2x＋1÷(x＋1)；解：原式＝（x＋1）（x－1）（x－1）2?1x＋1＝1x－1.(4)x2＋2xy＋y2xy－y2÷xy＋y2x2－2xy＋y2.解：原式＝（x＋y）2y（x－y）?（x－y）2y（x＋y）＝（x＋y）（x－y）y2＝x2－y2y2.13．先化简，再求值：a2－4a2＋6a＋9÷a－22a＋6，其中a＝－5.解：原式＝（a＋2）（a－2）（a＋3）2?2（a＋3）a－2＝2（a＋2）a＋3＝2a＋4a＋3.当a＝－5时，原式＝2×（－5）＋4－5＋3＝3.14．有这样一道题：计算x2－2x＋1x3－x÷x－1x2＋x的值，其中x＝2 017，某同学把x＝2 017错抄成2 071，但他的计算结果准确，你说这是怎么回事？解：原式＝（x－1）2x（x＋1）（x－1）?x（x＋1）x－1＝1.计算的结果与x的值无关，∴他的计算结果准确．15．先化简：x＋3x2－4x＋4÷x2＋3x（x－2）2，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．解：原式＝x＋3x2－4x＋4÷x2＋3x（x－2）2＝x＋3（x－2）2÷x（x＋3）（x－2）2＝x＋3（x－2）2?（x－2）2x（x＋3）＝1x.当x＝1时，原式＝1.03 综合题16．有甲、乙两筐水果，甲筐水果重(x－1)2千克，乙筐水果重(x2－1)千克(其中x>1)，售完后，两筐水果都卖了50元．(1)哪筐水果的单价卖得低？(2)高的单价是低的单价的多少倍？解：(1)甲筐水果的单价为50（x－1）2，乙筐水果的单价为50x2－1.∵0<(x－1)2<x2－1，∴50x2－1<50（x－1）2.答：乙筐水果的单价低．(2)50（x－1）2÷50x2－1＝50（x－1）2?（x＋1）（x－1）50＝x＋1x－1.答：高的单价是低的单价的x＋1x－1倍．。
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第一讲：分式的运算
【知识梳理】
一、分式的意义 形如B
A （
B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。
当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。
二、分式的性质
（1）分式的基本性质： M
B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（其中M 是不为零的整式）。
（2）分式的符号法则：
分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
（3）倒数的性质：
1、()()011011>=⋅≠=⋅a a
a a a a ，； 2、若11=⋅a a ，则11=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅n n a a （0≠a ，n 是整数）； 3、()021>≥+a a
a 。
三、分式的运算
分式的运算法则有： bd
bc ad d c b a c b a c b c a ±=±±=±，； n n
n b
a b a bc ad d c b a bd ac d c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=÷=⋅，，（n 是正整数）。
四、分式的变形
分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。
【例题精讲】
【例1】（1）当=m ___________时，分式
()()2
3312+---m m m m 的值为零；
（2）要使分式x
x
-11有意义，则x 的取值范围是_______________________。
思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义；当分子为零，分母不为零时，分式的值为零。
【巩固】
1、若分式2231244
x x x -++的值为0，则x 的值为_____________； 2、若使分式a
a a 23114
2++-没有意义，则a 的值为________________；
【拓展】当x 取何值时，分式
6
522+--x x x 有意义？
【例2】化简下列分式：
（1）1221422-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x x （2）1814121111842+-+-+-+--x x x x x
（3）
()()()()
()()10099132121111--++--+--+-x x x x x x x 。
【巩固】化简：
（1）12442222+--÷--+n m m n m n m m n n
（2）
12
71651231222+-++-++-a a a a a a ；
【例3】已知02>>y x ，y x A =，21++=y x B ，试比较A 与B 的大小；
【巩固】比较两数
67890123455678901234与6789012347
5678901235的大小。
【例4】化简：()()()()()()()()()
y z x z y x z y x y x z z x y x z y ---+---+---222。
【巩固】化简：
()()()()()()()()()()()()
z y x x z y z y z x x z y z y x y x y z z y x z y x x z x y +--+--+-+-+--+-++---222222
第二讲：分式的化简求值
【知识梳理】
1、先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略，分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类。
给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值，解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件。
常常用到如下策略：
（1）适当引入参数；
（2）拆项变形或拆分变形；
（3）整体代入；
（4）取倒数或利用倒数关系等。
2、基本思路
（1） 由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边；
（2） 两边同时变形为同一代数式；
（3） 证明：0=-右边左边，或
1=右边
左边，此时0≠右边。
3、基本方法 在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。
【例题精讲】
【例1】（1）已知x y -=20，求22
22
323x xy y x xy y -+=+-___________________；
（2）已知511=+y x ，则=+++-y
xy x y xy x 2252___________________；
（3）若345
a b c ==，则=--++c b a c b a 3223____________________；
【例2】若a b b c c a x c a b +++=
==，求x 的值？
【例3】已知0≠abc ，且
a c c
b b a ==，求3223a b
c a b c ++--的值？
【巩固】若
a d d c c
b b a ===，则d
c b a
d c b a +-+-+-的值是 __________________；
【例4】已知：x x 210--=，求x x
441+的值。
【巩固】
（1）已知2
310a a -+=，则代数式3
61a a +的值为_______________；
（2）若2
10x x --=，则4521x x x ++=_______________；
【例5】已知a 、b 、c 为实数，且
a b a b b c b c c a ca +=+=+=131415，，，那么a b c a b b c c a ++的值是多少？
【例6】已知1=abc ，求证：11
11=++++++++c ac c b bc b a ab a 。
思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。
【巩固】已知：0abc ≠，abc ++=0，求a bc b c a c ab
()()()1111113++++++的值。
【例7】已知11a b +
=，11b c +=，求1c a +的值。
【例8】已知a
c a c z c b c b y b a b a x +-=+-=+-=，，，求证：()()()()()()z y x z y x ---=+++111111。
思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。
【巩固】已知3==d c b a ，求证：()()d c b a d c b a d b d b c a c a ++++++=+++++2
22222。