概率论与数理统计1_8课后习题答案

第一章

思 考 题

1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？

2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个

能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？

３．圆周率ΛΛ1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把

它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:

67

5844625664686762609876543210出现次数数字 你能说出他产生怀疑的理由吗?

答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，

或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.

4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？

５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不

相容事件又有何区别和联系？

６．条件概率是否是概率？为什么？

习 题

1．写出下列试验下的样本空间：

（1）将一枚硬币抛掷两次

答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反

（2）将两枚骰子抛掷一次

答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==

（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出

答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，

样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥

2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶”

则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：

(1) “甲未中靶”： ;A

(2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A

(3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB

(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A Y Y

(5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A Y Y

(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A Y Y 或;ABC

(7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB Y Y

(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB Y Y

(9)“三人均未中靶”： ;C B A

(10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A Y Y Y

(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A Y Y

3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()A B A B U U (2) ()()A B A B U U

解:(1)()()A B A B AB AB B B ==U U U U , (2) ()()A B A B U U ()A B A B B A A B B ==Ω=U U U U .

4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一

个，求电话号码由五个不同数字组成的概率. 解：510

50.302410

P P ==. 5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有

一人中奖的概率。

解法一：试验可模拟为m 个红球，n m -个白球，编上号，从中任取k 个构成一组，则

总数为k

n C ，而全为白球的取法有k m n C -种，故所求概率为k n k m

n C C --1。

解法二：令i A —第i 人中奖，,.,2,1k i Λ=B —无一人中奖，则k A A A B Λ21=，注意到

k

A ，，A ，A Λ21不独立也不互斥：由乘法公式 )()()()()(1

1213121-=k k A A A P A A A P A A P A P B P ΛΛ (1)(2)(1)121n m n m n m n m k n n n n k -------+=??---+L !,1k k n m n m k k n n C C k C C ---同除故所求概率为.

6．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A ）

的概率是多少？ 解：122585410

()C C C P A C -= 7．在[]1,1-上任取一点X ，求该点到原点的距离不超过

15的概率. 解：此为几何概率问题：]11[，-=Ω,所求事件占有区间 ]51

51[，-，从而所求概率为

121525P ?==. 8．在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个

三角形的概率。

解：设一段长为x ，另一段长为y ，样本空间:0,0,0x a y a x y a Ω<<<<<+<，

所求事件满足： 0202()a x a y x y a x y ?<--???

从而所求概率＝14

CDE OAB S S =V V . 9． 从区间(0,1)内任取两个数，求这两个数

的乘积小于

14

的概率。 解：设所取两数为,,X Y 样本空间占有区域Ω,

两数之积小于14:14

XY <,故所求概率 ()()1()()1S S D S D P S Ω--==Ω, 而1

1411()(1)1(1ln 4)44

S D dx x =

-=-+?,故所求概率为1(1ln4)4

+。 10．设A 、B 为两个事件，()0.9P A =，()0.36P AB =，求()P AB 。

解：()()()0.90.360.54P A B P A P AB =-=-=;

11．设A 、B 为两个事件，()0.7P B =，()0.3P AB =，求()P A B U .

解：()()1()1[()()]1[0.70.3]0.6P A B P AB P AB P B P AB ==-=--=--=U .

12．假设()0.4P A =，()0.7P A B =U ，若A 、B 互不相容，求()P B ；若A 、

B 相互独立，求()P B 。 解：若A 、B 互不相容，()()()0.70.40.3P B P A B P A =-=-=U ；

若A 、B 相互独立，则由()()()()()P A B P A P B P A P B +=+-可得()P B =0.5.

13．飞机投弹炸敌方三个弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为

0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库的概率.

解：设=A {命中仓库}，则=A {没有命中仓库}，又设=i A {命中第i 仓

库})3,2,1(=i 则03.0)(,02.0)(,01.0)(321===A P A P A P ，

根据题意321A A A A Y Y =（其中321,A A A 两两互不相容）

故123()()()()P A P A P A P A =++=0.01+0.02+0.03=0.06 所以94.006.01)(1)(=-=-=A P A P

即飞机投一弹没有命中仓库的概率为0.94

14．某市有50%住户订日报，有65%的住户订晚报，有85%的住户至少

订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比

解： 设=A {用户订有日报}，B ={用户订有晚报}，则=B A Y {用户至少订有日报

和晚报一种}，=AB {用户既订日报又订晚报}，已知85.0)(,65.0)(,5.0)(===B A P B P A P Y ，所以

3.085.065.05.0)()()()(=-+=-+=B A P B P A P AB P Y

即同时订这两种报纸的住户的百分比为30%

15．一批零件共100个，次品率为10%，接连两次从这批零件中任取一个零件，第

一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率。

解：设=A {第一次取得次品}，=B {第二次取得正品}，则

=AB {第二次才取得正品}，又因为9990)(,10010)(==

A B P A P ，则 0909.099

9010010)()()(===A B P A P AB P 16.设随机变量A 、B 、C 两两独立，A 与B 互不相容. 已知0)(2)(>=C P B P 且5()8

P B C =U ，求()P A B U . 解：依题意0)(=AB P 且)()()(B P A P AB P =，因此有0)(=A P . 又因

25()()()()()3()2[()]8

P B C P B P C P B P C P C P C +=+-=-=，解方程 08

5)(3)]([22=+-C P C P 151()[()]()442

P C P C P B ==?=舍去，，()()()()()0.5.P A B P A P B P AB P B =+-==U 17．设A 是小概率事件，即()P A ε=是给定的无论怎么小的正数.试证明：

当试验不断地独立重复进行下去，事件A 迟早总会发生（以概率1发生）.

解：设事件i A —第i 次试验中A 出现(1,2,,)i n =L ，∵

(),()1i i P A P A εε==-，(1,2,,)i n =L ，∴n 次试验中，至少出现A 一次的概率

为

1212()1()n n P A A A P A A A =-U UL U U UL U 121()n P A A A =-L 121()()()n P A P A P A =-???L （独立性）

1(1)n ε=--

∴12lim ()1n n P A A A →∞

=U UL U ，证毕. 18．三个人独立地破译一密码，他们能单独译出的概率分别是15，13，14

，求此密码被译出的概率。

解:设A ，B ，C 分别表示{第一、二、三人译出密码}，D 表示{密码被译出}，则

()()()1 P D P A B C P A B C ==-U U U U 1()1()()() P ABC P A P B P C =-=-42331..5345

=-=. 19．求下列系统（如图所示）的可靠度，假设元件i 的可靠度为i p ，各

元件正常工作或失效相互独立

解：(1)系统由三个子系统并联而成，每个子系统可靠度为123p p p ，从而

所求概率为31231(1)p p p --；

（2）同理得231

2[1(1)]p p --. 20．三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概

率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率.

解：设1A —第一第三台机器发生故障，2A —第一第三台机器发生故障，3

A —第一第三台机

器发生故障，D —三台机器中至少有一台发生故障，则

123()0.1,()0.2,()0.3P A P A P A ===，故

()()()1 P D P A B C P A B C ==-U U U U

1()1()()()10.90.80.70.496 P A BC P A P B P C =-=-=-??=

21．设A 、B 为两事件，()0.7P A =,()0.6P B =,()0.4B P A

=，求()P A B U . 解：由()0.4B P A

=得 ()0.4,()0.12,()()()0.48()

P AB P AB P AB P B P AB P A ==∴=-=， ()()()()0.82P A B P A P B P AB =+-=U .

22.设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为

0.4. 问现年20岁的这种动物, 它能活到25岁以上的概率是多少?

解：设A —某种动物由出生算起活到20年以上，()0.8P A =，B —某种动物由出生

算起活到25年以上，()0.4P B =，则所求的概率为 ()()0.4()()0.5()()0.8

P AB P B B B P P A A P A P A ===== 23．某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80%，40年内

发生特大洪水的概率为85%，求已过去了30年的地区在未来10年内发生

特大洪水的概率。

解：设A —某地区后30年内发生特大洪灾，()0.8P A =，B —某地区后40

年内发生特大洪灾，()0.85P B =，则所求的概率为

()()0.15()1()1110.250.2()()

P BA P B B B P P A A P A P A =-=-=-=-=. 24．设甲、乙两袋，甲袋中有2只白球，4只红球；乙袋中有3只白球，2只红球.今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球。

1）问取到白球的概率是多少？

2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？

解：设A ：取到白球，B ：从甲球袋取白球

24431) ()(/)()(/)()5/9 6666

P A P A B P B P A B P B =+?+?= (/)()2/92) (/)()/()2/5()5/9

P A B P B P B A P AB P A P A ==== 25、一批产品共有10个正品和2个次品，任取两次，每次取一个，抽出后不再放回，求第二次抽出的是次品的概率. 解：设i B 表示第i 次抽出次品,(1,2)i =,由全概率公式

2221111()()()()()B B P B P B P P B P B B =+=211021*********

?+?=. 26.一批晶体管元件，其中一等品占95%，二等品占4%，三等品占1%，它们能工作500h 的概率分别为90%，80%，70%，求任取一个元件能工作500h 以上的概率.

解：设=i B {取到元件为i 等品}(i =1,2,3) ，=A {取到元件能工作500小时以上} 则%1)(%,4)(%,95)(321===B P B P B P

%70)(%,80)(%,90)(321===B A P B A

P B A P 所以)()()()()()()(332211B A

P B P B A P B P B A P B P A P ++= =?+?+?=%70%1%80%4%90%950.894

27．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.如果一件产品是优质品，求它的材料来自甲地的概率

解：以B i

分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地，A={抽到优等品}，则有：123()0.35,()0.25,P B P B ==P(B )=0.4,1()0.65,A P B =