四面体的性质

四面体的性质

不在一直线上的三点可以连成一个三角形，不共面的四点可以连成四个三角形，这四个三角形围成的几何体叫做四面体（如图1）.它有四个顶点，六条棱，四个面.

研究四面体的有关性质可以加深对四面体，空间四边形的知识的理解，有利于提高熟练运用知识的能力.

性质1：四面体中相对的棱所在的直线是异面直线.如图1中AB 和CD ，BC 和AD ，AC 和BD 都是异面直线.

性质2：四面体中，若一个顶点在对面内射影是这个三角形的垂心，则四面体的三组对棱分别互相垂直.

证明：如图2的四面体中，设顶点A 在面BCD 内的射影H 是BCD △的垂心.AH BCD ⊥平面.连结BH ，CH ，DH ，则BH CD ⊥，CH BD ⊥，DH BC ⊥.根据三垂线定理得AB CD ⊥，AC BD ⊥，AD BC ⊥.

性质3：四面体中，若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也互相垂直.

证明：设四面体ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，过A 作AH BCD ⊥平面，H 为垂足（如图2）.连结BH ，CH ，则BH 为AB 在平面BCD 内的射影，根据三垂线定理的逆定理，BH CD ⊥；同理CH BD ⊥，所以H 是BCD △的垂心.由性质2知AD BC ⊥.

根据性质2,3立即可以得到：

性质4：四面体中，若一个顶点在它对面内的射影是这个面的中心，则其余各顶点在其对面内的射影也分别是这些面的中心.

利用全等三角形的判定和性质，可以证明下面两条性质：

性质5：四面体中，若交于同一顶点的三条棱相等，则这个顶点在对面内的射影是这个三角形的外心，且这三条棱和顶点所对面所成的角相等.反之也真.

特别地，若这个顶点所对的面是一个直角三角形，则这顶点的射影是直角三角形斜边的中点. 性质6：四面体中，若一个顶点在对面内的射影是这个三角形的内心，则顶点到对面三角形三条边的距离相等，且以这三角形三角形三条边为棱的三个二面角相等.

性质7：四面体中，若交于同一点的三条棱两两互相垂直，则这个顶点所对面是一个锐角三角形.

证明：如图3，设90APB BPC CPA ∠=∠=∠=o

，PA a =，PB b =，PC c =，不妨设a b c ≤≤，则222AB a b =+，222BC b c =+，222CA c a =+.显然BC 是ABC △的最大边，BAC ∠是ABC △中最大内角.根据余弦定理，有

222

cos 2AB AC BC BAC AB AC

+-∠=? 222222

= 2

0=>. 所以90BAC ∠

性质8：四面体中，若交于同一顶点的三条棱分别两两垂直，则这顶点所对的三角形面积的平方等于其余三个三角形面积的平方和.

证明：设四面体ABCD 中，DA DB ⊥，DB DC ⊥，DC DA ⊥，

且DA a =，DB b =，DC c =（如图4），则12ADB S ab =△，12BDC S bc =△，12

CDA S ca =△. 在ADB △中作DM AB ⊥，则

DM =.

∵CD DA ⊥，CD DB ⊥，∴CD ADB ⊥平面.

∴CD DM ⊥.

在Rt CDM △中，

22222222

222

22222a b a b b c c a CM DM CD c a b a b ++=+=+=++. ∴22

1

()2ABC S AB CM =?△ 222222

2222

1()4a b b c c a a b a b ++=?+?+ 2222221()4

a b b c c a =++ 222ADB BDC CDA S S S =++△△△.

例题：如图5，平面α和四面体ABCD 的对棱AC ，BD 都平行，且分别交AB ，BC ，CD ，DA 于E ，F ，G ，H ，问四边形EFGH 在什么位置时面积最大.

解：∵BD EFGH ∥平面，ABCD EFGH EH =I 平面平面

∴EH BD ∥

同理 FG BD ∥，EF HG AC ∥∥.

∴四边形EFGH 是平行四边形.

不妨设FEH ∠是小于或等于90o

的角，则FEH ∠是异面直线BD ，AC 所成的角. ABCD 是已知四面体，=BD m ，AC n =，BD 和AC 成θ角（这里m ，n ，θ均为定值）.设EH AE BD AB λ==，则1EF BE AC BA

λ==-. ∴EH m λ=，(1)EF n λ=-，

sin (1)sin EFGH S EH EF FEH mn λλθ=?∠=-Y . 当12λ=

时，EFGH S Y 最大，这时E ，F ，G ，H 分别是所在棱的中点. 练习

1、在四面体ABCD 中，如果AB CD =，DA BC =，AC BD =.求证：180BAC CAD DAB ∠+∠+∠=o 。

2、在四面体ABCD 中，90BAC ∠=o ，60BAD CAD ∠=∠=o

，AB AC AD ==.求证：BCD ABC ⊥平面平面.

3、在四面体ABCD 中，60BAC ∠=o ，45BAD CAD ∠=∠=o ，求二面角C AD B --的大小.

4、在四面体P ABC -中，交于P 点的三条棱两两垂直，P 在ABC △的射影是H.求证：PAB △的面积是ABC △的面积和HAB △的面积的比例中项.

5、上题中，设PA a =，PB b =，PC c =，PH d =.求证：

22221111a b c d ++=. 6、ABC △中，60A ∠=o ，45B ∠=o ，6AC =,PC ABC ⊥平面，且4PC =，动点K 在

线段AB 上移动.问K 在什么位置时，PCK △面积有最大值和最小值？最大值和最小值各是多少？