1、高二数学等比数列综合测试题答案

等比数列测试题

A 组

一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．在等比数列{}n a 中，3620,160a a ==，则n a = ． 1．20×2n-3.提示：q 3=

160

20=8,q=2.a n =20×2n-3. 2.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为2

3

，则项数n 等

于 .

2.4. 提示：1

3=98×（23

）n-1,n=4.

3.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 .

3.

12.提示：由题设知a n q 2=a n +a n q,得q=12

+. 4.在等比数列{a n }中，已知S n =3n +b ，则b 的值为_______．

4.b=-1.提示：a 1=S 1=3+b ，n ≥2时，a n =S n －S n －1=2×3n －1．

a n 为等比数列，∴a 1适合通项，2×31－1=3+

b ，∴b =－1．

5.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，则56a a +=

5.4.提示：∵在等比数列{}n a 中, 12a a +,34a a +,56a a +也成等比数列,∵12324a a +=，3436a a +=∴563636

4324

a a ?+=

=. 6.数列{a n }中，a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1…是首项为1、公比为3

1的等比数列，则a n 等于 。

6．23（1－

n

31

）.提示：a n =a 1+（a 2－a 1）+（a 3－a 2）+…+（a n －

a n －1）=23（1－n 3

1）。

7.等比数列 ,8,4,2,132a a a 的前n 项和S n = .

7. 1,,2

1(2)1a 122n n

n a S a a ?=??=?-?≠?-?

，。提示：公比为a q 2=， 当1=q ，即2

1

=a 时，;,12n S a n ==

当1≠q ，即2

1

≠a 时，12≠a ，则a a S n n 21)2(1--=.

8. 已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项和，某同学经计算得

224S =，338S =，465S =，后来该同学发现其中一个数算错了，则算

错的那个数是__________，该数列的公比是________.

8.2S ；3

2

。提示：设等比数列的公比为q ，若2S 计算正确，则有2q =，但此时3438,65S S ≠≠，与题设不符,故算错的就是2S ,此时, 由338S =可得32

q =,且465S =也正确.

二．解答题(本大题共4小题，共54分)

9.一个等比数列{}n a 中，701333241=+=+a a a a ，，求这个数列的通项公式。

9．解：由题设知3

112

11133

a 70

a a q a q q ?+=??+=??两式相除得q =2552或， 代入a a 14133+=，可求得a 1125=或8，

∴=?? ?

?

?

=?? ?

?

?

--a a n n n n 125258521

1

或

10.设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,S 4=1,S 8=17,求通项公式a n .

解 设{}n a 的公比为q ，由S 4=1,S 8=17知q ≠1,

∴418

1a (1)

1,1a (1)17,1q q q q

?-=?

-??-?=?-?解得11152a q ?=??

?=?或1152

a q ?

=-

???=-?。∴a n =1215n -或a n =1(1)25n n --?。

11.已知数列{}2log n x 是公差为1 的等差数列，数列{}n x 的前100项的和等于100，求数列{}n x 的前200项的和。 11.解：由已知，得212log log 1n n x x +-=，1

2n n

x x +∴

=， 所以数列{}n x 是以2为公比的等比数列，设{}n x 的前n 项和为S n 。

则S 100=1001x (12)12

--=1001x (21)-，

S 200=2001x (12)12

--=2001x (21)-= S 100()10012+=()10010012?+

故数列{}n x 的前200项的和等于()10010012?+。

12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中0n a ≠，1a 为常数，且1a -、n S 、1n a +成等差数列．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设1n n b S =-，问：是否存在1a ，使数列{}n b 为等比数列？若存在，求出1a 的值；若不存在，请说明理由． 12.解：（Ⅰ）依题意，得112n n S a a +=-．于是，当2n ≥时，有11

1

122n n n n S a a S a a +-=-??=-?．

两式相减，得13n n a a +=（2n ≥）．

又因为211123a S a a =+=，0n a ≠，所以数列{}n a 是首项为1a 、公比为3的等比数列．因此，113n n a a -=?（n *∈N ）；

（Ⅱ）因为111(13)1131322n n n a S a a -==?--，所以1111

11322

n n n b S a a =-=+-?．

要使{}n b 为等比数列，当且仅当11102

a +=，即12a =-．

备选题：

1.已知在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数

列{}n a 的通项公式是_________=n a 。

1.12-n 。提示：由,7,13211=++=a a a a 得21602,2n n q q q a -+-=∴=∴=。 2．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a =___________.

2.

3375±。提示：610925,q q a a q ===?=±。

3.设数列{a n }的前项的和S n =3

1（a n -1） (n ∈N +),（1）求a 1;a 2; (2)求证数列{a n }为等比数列。

3.解: (Ⅰ)由)1(3111-=a S ,得)1(31

11-=a a

∴=1a 2

1

- 又)1(3122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得412=a .

(Ⅱ)当n >1时,),1(3

1

)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a

得,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-,公比为2

1

-的等比数列.

B 组

一．填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1.正项等比数列{a n }中，S 2=7，S 6=91，则S 4= 。

1．28提示：∵{a n }为等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，即7，S 4－7，91－S 4成等比数列，即（S 4－7）2=7（91－S 4），解得S 4=28或－21（舍去）．

2.三个不同的实数c b a ,,成等差数列，且b c a ,,成等比数列，则::a b c = _ 。

2、)2(:1:4-。提示：22222,2,(2),540a c b c b a ab c b a a ab b +==-==--+= ,4,2a b a b c b ≠==-。

3.在等比数列{a n }中，已知n ∈N *，且a 1+a 2+…+a n =2n －1，那么a 12+a 22+…

+a n 2等于 。

3. 3

1（4n －1）。提示：由S n =2n －1，易求得a n =2n －1，a 1=1，q =2，

∴{a n 2}是首项为1，公比为4的等比数列， a 12+a 22+…+a n 2= 3

1（4n －1）。

4. 设数列{}237n n n a n S a n =+-中前项的和，则n a =________.

解析 11111,237

4n a S a a ===+-∴=当时

1

1111111

12,(237)[23(1)7]223

2332(3)

{3}-34-3=1,23122{}23

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a S S a n a n a a a a a a a a a a a --------≥=-=+--+--=-+∴=-∴-=--=∴-=?=∴=+当时即成等比数列,其首项是公比是数列的通项公式是

5.已知函数()cos ,(,3)2

f x x x π

π=∈，若方程()f x a =有三个不同的根，且

从小到大依次成等比数列，则a = 。

5.12

-。提示：设最小的根为α，结合余弦函数的图像可知则另两根依次为 2,2παπα-+，所以()()2

22πααπα-=?+， 解得23

π

α=

，21

cos

32

πα==-。

制为6位数能表示十进制中最大的数是 6.63.提示：

111

:2121217,2121206,2120215,2120204,21213,21202,21121021021021010100写成二进制为进而知?+?+?=?+?+?=?+?+?=?+?+?=?+?=?+?=?=于是知二进制为6位数能表示十进制中最大的数是

631

21

2212121212121:11111165

4

3

2

1

=--=?+?+?+?+?+?化成十进制为。

二．解答题(本大题共2小题，共36分)

7． 数列}{n a 满足：*).(2

123,23,11221N n a a a a a n n n ∈-===++

（1）记n n n a a d -=+1，求证：{d n }是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式；

（3）令23-=n b n ，求数列}{n n b a ?的前n 项和S n 。 （1）2

1123,23,11221=-=-∴==a a a a

又n n n n a a a a 2

12

1112-=-+++。n n n n n n d d a a a a 2

1

,211112==--∴

++++即

故数列2

12

1}{为首项，公比为是以n d 的等比数列. （2）由（1）得

n n n n a a d )2

1

(1=-=+

1

121112211)2

1(21)21

(...)21()21()(...)()(-------=++++=+-++-+-=∴n n n n n n n n a a a a a a a a

（3）11)2

1()23()46(])21

(2[)23(23--?---=-?-=?=-=n n n n n n n n n b a c n b 令

021

12111112[147...(32)][147...(32)]2222111

(31)[147...(32)]

222

n n n S n n n n n --∴=?++++--?

+?+?++-?=--+?+?++-?

令122

1)23( (2172)

1

41-?-++?

+?+=n n n T ① n n n n n T 2

1

)23(21)53(...21721421121132?-+?-++?+?+?=-② ① －②得

1

21

1322

4

3832

4

382

1)23()21...212121(3121---++--=∴+-=∴--+++++=∴n n n n n

n n n n n S n T n T

8. 已知关于x 的二次方程)(0112*+∈=+-N n x a x a n n 的两根βα,满足

3626=+-βαβα，且11=a

（1）试用n a 表示1+n a （2）求证：}3

2

{-n a 是等比数列 （3）求数列的通项公式n a （4）求数列}{n a 的前n 项和n S 8. 解(1) 是方程βα, )(0112*+∈=+-N n x a x a n n 的两根

312102361

111+=?=--????

????

==+∴+++n n n n n n n a a a a a a a αββα

(2)

为等比数列

常数}3

2

{213

232

3121323121111-∴==--

?

-=-?+=+++n n n n n n n a a a a a a a (3)令3

132,21}{,3211=-=-=a b b a b n n n 首项是等比数列，公比为则 3

2)2

1(313

2)2

1(3111+=+=?=∴--n n n n b a b

(4)n n

n n n S )21(32322]2

11)21(1[

3132-+=--+= 备选题：

1.数列}{n a 是正项等差数列，若n

na a a a b n

n ++++++++=

32132321，则数

列}{n b 也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列}{n c ，若

n d = ，则数列}{n d 也为等比数列。

1. n d =n n n

c c c c +++?? 211

3

3221)

(。提示：

a n =a 1+（n-1）d c n =c 1q n-1 a n =

11

2

n n a a -++ c n 2=c n-1c n+1 a n +a m =a p +a q c n c m =c p c q （若m+n=p+q ，m 、n 、p 、q ∈N +）

由此可知，等差数列元素间（或结果）的加减运算对应等比数列相应元素间（或结果）

的乘除运算;倍数运算（（n-1）d ）对应幂的运算（q n-1）；算术平均

数对应几何平均数。因此猜想n d =n n n

c c c c +++?? 211

33221)

(。