平面向量高考题及答案

平面向量

【知识点】

1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．

2、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式

：

a b a b a b

-≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；

②结合律：()()

a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设

()11,a x y =，()22,b x y =，则()121

2,a b x x

y

y

+=++． 3、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设

()11,a x y =，()22,b x y =，则()121

2,a b x x

y

y

-=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 4、向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①

a a λλ=；

②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．

⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()

a b a b λλλ+=+．

b

a

C

B

A

a b C C -=A -AB =B

⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．

5、向量共线定理：向量()

0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()

0b b ≠共线．

6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）

7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ

λ++??

?++??．（当时，就为中点公式。）1=λ 8、平面向量的数量积：

1、()cos 0,0,0180

a b a b a b θθ?=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0． 2、运算律：①a b b a ?=?；②()(

)()

a b a b a b λλλ?=?=?；③()

a b c a c b c +?=?+?． 3、坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ?=+． 若(),a x y =，则2

2

2

a x y =+，或2a x y =

+． 设()11,a x y =，()22,b x y =，则

12120a b x x y y ⊥?+=

． 设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，

θ是a 与b 的夹角，则

121

cos a b a b

x θ?=

=

+．

【考题】

1、 （全国Ⅰ新卷文2）a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于（ ）

A ．

865 B ．865- C ．1665 D ．1665

- 2、 （重庆卷理2）已知向量a ，b 满足0,1,2,a b a b ?===，则2a b -=（ ）

A ． 0

B ．

C ． 4

D ． 8

3、 （重庆卷文3）若向量a=（3,m ）,b=（2,-1）,a·b=0,则实数m 的值为（ ）

A ．32-

B ．3

2

C ．2

D ．6 4、 （安徽卷理3文3）设向量()1,0=a ，11,22??

=

???

b ，则下列结论中正确的是（ ）

A ．=a b

B ．2

?=

a b C ．-a b 与b 垂直 D ．a ∥b

5、 （湖北卷理3）在ABC ?中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =（ ）

A B C D 6、 （北京卷文4）若a,b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+?-是（ ）

A ．一次函数且是奇函数

B ．一次函数但不是奇函数

C ．二次函数且是偶函数

D ．二次函数但不是偶函数

7、 （湖南卷理4）在Rt ABC ?中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ?uu u r uuu r

等于（ ）

A ．-16

B ．-8

C ．8

D ．16

8、 （广东卷文5）若向量a

=（1,1），b

=（2,5），c =（3,x ）满足条件 （8a

－b

）·c

=30，则x =（ ）

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

9、 （四川卷理5文6）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，

2

16,B C A B A C A B A C =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=（ ）

A ．8

B ．4

C ． 2

D ．1

10、（湖北卷理5文8）已知ABC ?和点M 满足0MA MB MC --→

--→

--→

+=+.若存在实数m 使得

AB AC AM m --→--→--→

+=成立，则m=（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

11、（湖南卷文6）若非零向量a ，b 满足||||,(2)0a b a b b =+?=，则a 与b 的夹角为（ ）

A ． 300

B ． 600

C ． 1200

D ． 1500 12、（北京卷理6）a ，b 为非零向量。“a b ⊥”是“函数()()()f x xa b xb a =+-为一次函数”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

13、（湖南卷理6文7）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a,b,c ，若∠C=120°，c =,

则（ ）

A ．a>b

B ．a

C ．a=b

D ．a 与b 的大小关系不能确定

14、（江西卷理7）,E F 是等腰直角ABC ?斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ）

A ．

16

27

B ．

23

C D ．

34

15、（辽宁卷理8文8）平面上O,A,B 三点不共线，设,OA=a OB b =，则△OAB 的面积等于（ ）

A B ．

C ．

D ． 16、（福建卷文8）若向量a =（x ，3）（x ∈R ），则“x = 4”是“| a |=5”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 17、（天津卷文9）如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，

3BC =BD ，1AD =，则AC AD ?=（ ）

A ．

B ．

2

C D

18、（全国Ⅱ卷理8文10））ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若C B a

=u r

，CA b =uu r

，

1a =，2b =，则CD =uu u r

（ ）

A ．1233a b +

B ．2133a b +

C ．3455a b +

D ．4355

a b + .

19、（陕西卷理11文12）已知向量a=（2，-1），b=（-1，m ），c=（-1,2），若（a+b ）∥c ，则m= 。

20、（江西卷理13）已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60?，则

||a b -= .

21、（浙江卷文13）已知平面向量,,1,2,(2),αβαβααβ==⊥-则2a β+的值

是 。

22、（天津卷理15）如图，在三角形ABC 中，AD AB ⊥,3BC BD =,

1AD =,则AC AD = .

23、（江苏卷15）在平面直角坐标系xOy 中，点A （-1,-2）,B （2,3）,C （-2,-1） 求以线段AB ．AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 设实数t 满足（OC t AB -）·OC =0，求t 的值

24、（浙江卷理16）已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=，且α与βα-的夹角为

120°，则α的取值范围是__________________ .