含参数的一元二次不等式及其解法

3.2.2含参数的一元二次不等式及其解法一．自主学习

以上结论是针对a>0的情形给出相应的解，a<0时请同学们自行分析。

解一元二次不等式的步骤：

1：确定二次项系数符号（一般将二次系数化为正）;

2:计算△,求相应一元二次方程的根(能用十字相乘法的则不需用公式）;

3：根据二次函数的图像,写出不等式的解集

二．自主探究

在解关于含参数的一元二次不等式时，往往都要对参数进行分类讨论。分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点。下面举例说明解题时如何做到分类“不重不漏”。

【题型一】对根的大小讨论

例1．解关于x 的不等式0)1(2<+++a x a x .(a R ∈ ).

对应练习：解关于的不等式

2x a x a

--<0 (a R ∈ ).

【题型二】对所对应方程根的个数进行讨论

例2、解不等式02>+-a x x ，R a ∈

对应练习：012

<+-ax x

【题型三】对首项系数a 的讨论

例3、 2(1)10、x ax a x +-->解关于的不等式，R a ∈

对应练习：（1）关于x 的不等式0122<+-ax ax ，R a ∈

训练（2）：函数()f x =

R ，则实数m 的取值范围.

课堂小结：

含参数的一元二次不等式需讨论一般分为

1：对二次项系数进行讨论；

2：对所对应方程根的个数进行讨论；

3：对所对应方程根的大小进行讨论；

注意：因不确定所以需要讨论，在讨论时需清楚在哪讨论；怎样讨论.讨论要不重不漏,通过讨论后化不确定为确定.

三．巩固性练习及作业

1．不等式x 2-ax-122a <0 (其中a<0)的解集为（）

A.（-3a, 4a ）

B.(4a , -3a)

C.(-3, 4)

D.(2a , 6a)

2、22210x x

x m -+->解关于的不等式

32(1)10、

x ax a x +-->解关于的不等式

4.若不等式ax 2+bx+c>0 的解集为{x|-3

分析提示：给出了一元二次不等式的解集，则可知a 的符号和ax 2+bx+c=0的两根，由韦达定理可知a,b ，c 之间的关系。

【思维拓展】不等式恒成立问题

例4不等式22

(23)m m x ---(3)1m x --<0对一切x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.

例5．若不等式x 2+2ax+2a -2a+2>0对一切11x -≤≤恒成立，求实数a 的取值范围。

提高练习：1.不等式ax 2+bx+2>0的解集是{x|12-

}，则a-b 等于（） A.-14 B.14 C.-10 D.10

2..若不等式组{22430

680x x x x -+<-+<的解满足2x 2-9x+a <0，则（）

A.a>9

B.a=9

C.a ≤9

D.0

3．不等式2

(2)2(2)4a x a x -+--<0对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是

含参数的一元二次不等式的解法

含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()04422 2 >+=-+=?a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。解：∵()04422 2 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24 222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ?????> 21|x x 当0+-a a ax ax 分析因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|>--ax x ； 2、(1－ax )2 <1. } 2,2 |{,1)5(} 2|{,1)4(}2 ,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22 | {,0)1(><>≠=><<<<=<<0，即x (x －2 a )<0. ∵2a <0，∴不等式的解集为{x |2a