中考数学一轮复习第22讲相似三角形及其应用专题精练及答案18.doc

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第22讲：相似三角形及其应用

一、夯实基础

1．下列判断正确的是( )

A. 不全等的三角形一定不是相似三角形

B. 不相似的三角形一定不是全等三角形

C. 相似三角形一定不是全等三角形

D. 全等三角形不一定是相似三角形

2．△ABC 中，∠ABC 为直角，BD ⊥AC ，则下列结论正确的是( ) A. AB BD ＝BC AC B. AD BD ＝AB

BC

C. CD BC ＝

AD AB D. AC BC ＝BD

AD

3．一个三角形三边长之比为4∶5∶6，三边中点连线组成的三角形的周长为30 cm ，则原三角形最大边长为 （ ）

A. 44 cm

B. 40 cm

C. 36 cm

D. 24 cm

4．如图，在?ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ∶EC ＝3∶1，连结AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为( )

A. 3∶4

B. 9∶16

C. 9∶1

D. 3∶1

(第4题图)

(第5题图)

5．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是( )

二、能力提升

6．如图，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为__ __m.

(第6题图)

(第7题图)

7．如图，已知△ABC的面积是3的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC 与DE相交于点F，则△AEF的面积等于 (结果保留根号)．

8．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连结CD，请添加一个适当的条件，使△ABC∽△ACD：(只填一个即可)．

三、课外拓展

9．如图，在Rt△ABC中(∠C＝90°)，放置边长分别为3，x，4的三个正方形，则x的值为( )

A. 5

B. 6

C. 7

D. 12

(第9题图)

(第10题图)

10．已知：在△ABC中，BC＝10，BC边上的高h＝5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC

边于点F.点D为BC上一点，连结DE，DF.设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为( )

(第11题图)

11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD为( )

A. 2.5

B. 1.6

C. 1.5

D. 1

12．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2 m，它的影子BC＝1.6 m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木竿PQ的长度为 _ m.

(第12题图)

四、中考链接

13．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE 交AM于点N，AB＝AC＝BD，连结MF，NF.

(1)判断△BMN的形状，并证明你的结论．

(2)判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．

14．课本中有一道作业题：

有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问：加工成的正方形零件的边长是多少毫米？

小颖解得此题的答案为48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：

(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？

(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t(s)．

(1)求线段CD的长．

(2)设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

(3)当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？

参考答案

一、夯实基础 1、B 2、B 3、D 4、B 5、B

二、能力提升 6、9 7、

33

4

8、∠ACD ＝∠ABC(答案不唯一) 三、课外拓展 9、C 10、D 11、B 12、2.3 四、中考链接

13、解：(1)△BMN 是等腰直角三角形． 证明：∵AB ＝AC ，点M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，AM 平分∠BAC. ∵BN 平分∠ABE ，AC ⊥BD ， ∴∠AEB ＝90°， ∴∠EAB ＋∠EBA ＝90°，

∴∠MNB ＝∠NAB ＋∠ABN ＝1

2(∠BAE ＋∠ABE)＝45°.

∴△BMN 是等腰直角三角形． (2)△MFN ∽△BDC.

证明：∵点F ，M 分别是AB ，BC 的中点， ∴FM ∥AC ，FM ＝1

2

AC.

∵AC ＝BD ，

∴FM ＝12BD ，即FM BD ＝12.

∵△BMN 是等腰直角三角形， ∴NM ＝BM ＝12BC ，即NM BC ＝12，

∴FM BD ＝NM BC ＝1

2. ∵AM ⊥BC ，

∴∠NMF ＋∠FMB ＝90°. ∵FM ∥AC ， ∴∠ACB ＝∠FMB. ∵∠CEB ＝90°， ∴∠ACB ＋∠CBD ＝90°. ∴∠CBD ＋∠FMB ＝90°. ∴∠NMF ＝∠CBD. 在△MFN 与△BDC 中， ∵?????NM CB ＝FM DB ，∠NMF ＝∠CBD ， ∴△MFN ∽△BDC.

14、解：(1)设矩形的边长PN ＝2y mm ，则PQ ＝y mm ，由PN ∥BC 可得△APN ∽△ABC ， ∴PN BC ＝AE AD ，即2y 120＝80－y 80

， 解得y ＝2407，∴PN ＝2407×2＝480

7(mm)，

答：这个矩形零件的两条边长分别为240

7 mm ，

480

7

mm. (2)设PN ＝x mm ，同(1)可得△APN ∽△ABC ， ∴PN BC ＝AE AD ，即x 120＝80－PQ 80， 解得PQ ＝80－23

x.

∴矩形PQMN 的面积S ＝PN·PQ＝x ?

????80－23x ＝－23x 2＋80x ＝－23(x －60)2

＋2400，

∴S 的最大值为2400 mm 2

，此时PN ＝60 mm ，PQ ＝80－23×60＝40(mm)．

15、解：(1)∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6， ∴AB ＝10. ∵CD ⊥AB ，

∴S △AB C ＝12BC·AC＝1

2AB·CD，

∴CD ＝BC·AC

AB ＝4.8，

∴线段CD 的长为4.8.

(2)①过点P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，如解图①所示， 由题可知DP ＝t ，CQ ＝t ，则CP ＝4.8－t ， ∵∠ACB ＝∠CDB ＝90°， ∴∠HCP ＝90°－∠DCB ＝∠B. ∵PH ⊥AC ，∴∠CHP ＝90°， ∴∠CHP ＝∠ACB ， ∴△CHP ∽△BCA ，

∴PH AC ＝PC AB ，即PH 8＝4.8－t 10，得PH ＝9625－45t ， ∴S △CPQ ＝12CQ·PH＝12t(9625－45t)＝－25t 2＋4825t.

②存在某一时刻t ，使得S △CPQ ∶S △ABC ＝9∶100， ∵S △ABC ＝1

2×6×8＝24，

且S △CPQ ∶S △ABC ＝9∶100， ∴(－25t 2＋48

25

t)∶24＝9∶100，

整理，得5t 2

－24t ＋27＝0，即(5t －9)(t －3)＝0， 解得t ＝9

5或t ＝3.

∵0≤t≤4.8，

∴当t ＝9

5 s 或t ＝3 s 时，S △CPQ ∶S △ABC ＝9∶100.

(3)①若CQ ＝CP ，

则t ＝4.8－t ，解得t ＝2.4. ②若PQ ＝PC ，如解图①所示，

∵PQ ＝PC ，

PH ⊥QC ， ∴QH ＝CH ＝12QC ＝t

2.

∵△CHP ∽△BCA ， ∴CH BC ＝CP

AB ，∴t

26＝4.8－t 10， 解得t ＝14455

.

③若QC ＝QP ，

过点Q 作QE ⊥CP ，垂足为E ，如解图②所示． ∵QC ＝QP ，QE ⊥CP ， ∴CE ＝P E ＝12PC ＝t

2

.

∵∠QEC ＝∠ACB ＝90°，∠QCE ＝∠ABC ， ∴△QCE ∽△ABC ， ∴CE BC ＝QC

AB ， ∴4.8－t 26＝t 10，

解得t ＝2411

.

综上所述：当t 为2.4 s 或4455 s 或24

11 s 时，△CPQ 为等腰三角形．中考数学知识点代数式 一、 重要概念

分类：

1.代数式与有理式

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独

的一个数或字母也是代数式。

整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式

含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3.单项式与多项式

没有加减运算的整式叫做单项式。(数字与字母的积—包括单独的一个数或字母)

几个单项式的和，叫做多项式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，

=x, =│x│等。

4.系数与指数

区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看

5.同类项及其合并

条件：①字母相同;②相同字母的指数相同

合并依据：乘法分配律

6.根式

表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：①从外形上判断;②区别：、是根式，但不是无理式(是无理数)。

7.算术平方根

⑴正数a的正的平方根( [a≥0—与“平方根”的区别]);

⑵算术平方根与绝对值

①联系：都是非负数，=│a│

②区别：│a│中，a为一切实数; 中，a为非负数。

8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。把分母中的根号划去叫做分母有理化。

9.指数

⑴( —幂，乘方运算)

①a>0时，>0;②a0(n是偶数)，⑵零指数：=1(a≠0)

负整指数：=1/ (a≠0,p是正整数)

二、运算定律、性质、法则

1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则

2.分式的性质

⑴基本性质：= (m≠0)

⑵符号法则：

⑶繁分式：①定义;②化简方法(两种)

3.整式运算法则(去括号、添括号法则)

4.幂的运算性质：①· = ;②÷ = ;③= ;④= ;⑤

技巧：

5.乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。

6.乘法公式：(正、逆用)

(a+b)(a-b)=

(a±b) =

7.除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。

8.因式分解：⑴定义;⑵方法：a.提公因式法;b.公式法;c.十字相乘法;d.分组分解法;e.求根公式法。

9.算术根的性质：= ; ; (a≥0,b≥0); (a≥0,b>0)(正用、逆用)

10.根式运算法则：⑴加法法则(合并同类二次根式);⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：a. ;b. ;c. .

11.科学记数法：(1≤a<10,n是整数