2017届上海市宝山区高考数学一模试卷(解析版)

2017年上海市宝山区高考数学一模试卷

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1． = ．

2．设全集U=R ，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x |x ≥2}，则A ∩?U B= ．

3．不等式

的解集为 ．

4．椭圆

（θ为参数）的焦距为 ．

5．设复数z 满足

（i 为虚数单位），则z= ．

6．若函数的最小正周期为aπ，则实数a 的值为 ．

7．若点（8，4）在函数f （x ）=1+log a x 图象上，则f （x ）的反函数为 ．

8．已知向量，，则在的方向上的投影为 ．

9．已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为 ．

10．某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为 （结果用最简分数表示）

11．设常数a ＞0，若的二项展开式中x 5的系数为144，则a= ．

12．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为 ．

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13．设a ∈R ，则“a=1”是“复数（a ﹣1）（a +2）+（a +3）i 为纯虚数”的（ ）

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分又非必要条件

14．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（ ）

A ．80

B ．96

C ．108

D ．110

15．设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：

（1）若M、N为互斥事件，且，，则；

（2）若，，，则M、N为相互独立事件；

（3）若，，，则M、N为相互独立事件；

（4）若，，，则M、N为相互独立事件；

（5）若，，，则M、N为相互独立事件；

其中正确命题的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

16．在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k、l均为常数，且k＜l）之间的点所组成区域（含直线y=k，直线y=l）称为“k⊕l型带状区域”，设f（x）为二次函数，三点（﹣2，f（﹣2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“0⊕4型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“﹣1⊕3型带状区域”，那么，函数y=|f（t）|的最大值为（）

A．B．3 C．D．2

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为，侧面积为36；

（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；

（2）求异面直线A1C与AB所成的角的大小．

18．已知椭圆C的长轴长为，左焦点的坐标为（﹣2，0）；

（1）求C的标准方程；

（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，且，试求直线l的倾斜角．

19．设数列{x n}的前n项和为S n，且4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*）；

（1）求数列{x n}的通项公式；

﹣y n=x n（n∈N*），且y1=2，求满足不等式的最小正整数n （2）若数列{y n}满足y n

+1

的值．

20．设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；

（1）当m=2时，解不等式；

（2）若f（0）=1，且在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数f（x）的图象过点（98，2），且不等式f[cos（2n x）]＜lg2对任意n∈N均成立，求实数x的取值集合．

21．设集合A、B均为实数集R的子集，记：A+B={a+b|a∈A，b∈B}；

（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；

（2）设a1=，当n∈N*，且n≥2时，曲线的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，

a n}，B=，设A+B中的所有元素之和为S n，对于满足m+n=3k，且m≠n 的任意正整数m、n、k，不等式S m+S n﹣λS k＞0恒成立，求实数λ的最大值；

（3）若整数集合A1?A1+A1，则称A1为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A2的某个非空有限子集中所有元素的和，则称A2为“N*的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集？请说明理由．

2017年上海市宝山区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1．=2．

【考点】极限及其运算．

【分析】分子、分母都除以n，从而求出代数式的极限值即可．

【解答】解：==2，

故答案为：2．

2．设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩?U B={﹣1，0，1} ．【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】根据补集与交集的定义，写出?U B与A∩?U B即可．

【解答】解析：因为全集U=R，集合B={x|x≥2}，

所以?U B={x|x＜2}=（﹣∞，2），

且集合A={﹣1，0，1，2，3}，

所以A∩?U B={﹣1，0，1}

故答案为：{﹣1，0，1}．

3．不等式的解集为（﹣2，﹣1）．

【考点】其他不等式的解法．

【分析】不等式转化（x+1）（x+2）＜0求解即可．

【解答】解：不等式等价于（x+1）（x+2）＜0，

解得：﹣2＜x＜﹣1，

∴原不等式组的解集为（﹣2，﹣1）．

故答案为：（﹣2，﹣1）．

4．椭圆（θ为参数）的焦距为6．

【考点】椭圆的参数方程．

【分析】求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．

【解答】解：消去参数θ得：，所以，c==3，所以，焦距为2c=6．

故答案为6．

5．设复数z满足（i为虚数单位），则z=1+i．

【考点】复数代数形式的混合运算．

【分析】设z=x+yi，则代入，再由复数相等的充要条件，即可得到x，y的值，则答案可求．

【解答】解：设z=x+yi，∴．

则=x+yi+2（x﹣yi）=3﹣i，即3x﹣yi=3﹣i，

∴x=1，y=1，因此，z=1+i．

故答案为：1+i．

6．若函数的最小正周期为aπ，则实数a的值为1．

【考点】三角函数的周期性及其求法．

【分析】利用行列式的计算，二倍角公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的周期性，求得a的值．

【解答】解：∵y=cos2x﹣sin2x=cos2x，T=π=aπ，所以，a=1，

故答案为：1．

7．若点（8，4）在函数f（x）=1+log a x图象上，则f（x）的反函数为f﹣1（x）=2x﹣1．．【考点】反函数．

【分析】求出函数f（x）的解析式，用x表示y的函数，把x与y互换可得答案．

【解答】解：函数f（x）=1+log a x图象过点（8，4），

可得：4=1+log a8，

解得：a=2．

∴f（x）=y=1+log2x

则：x=2y﹣1，

∴反函数为y=2x﹣1．

故答案为f﹣1（x）=2x﹣1．

8．已知向量，，则在的方向上的投影为．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】根据投影公式为，代值计算即可．

【解答】解：由于向量，，

则在的方向上的投影为=．

故答案为：

9．已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为18π．

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

【分析】由题意，得：底面直径和母线长均为6，利用侧面积公式求出该圆锥的侧面积．【解答】解：由题意，得：底面直径和母线长均为6，

S侧==18π．

故答案为18π．

10．某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生

均有的概率为（结果用最简分数表示）

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】先求出基本事件总数n=，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生或三人均为女生，由此能求出在选出的3人中男、女生均有的概率．

【解答】解：某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，

基本事件总数n=，

在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生或三人均为女生，