基本计数原理

基本计数原理

一、主要内容

一般计数原理部分的考试，分为两种，一是排列组合二项式定理单独出题，二是在概率中需要用到排列组合二项式定理。

1、基本计数原理

2、排列和组合

3、常用方法

二、知识梳理

1、基本计数原理

（1）分类加法计数原理

从甲地到乙地，可乘坐三类交通工具：可以乘火车，可以坐汽车，还可以乘轮船，假定火车每日1班，汽车每日3班，轮船每日2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法？（1+3+2=6种）

做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中，有1m 种不同的方法，在第二类办法中，有2m 种不同的方法，以此类推，在第n 类办法中，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法。

（2）分步乘法计数原理。

某中学的阅览室有50本不同的科技书，80本不同的文艺书，现在张三同学想借1本科技书和1本文艺书，共有多少种借法？（50*80=4000）

做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一个步骤有

1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法，以此类推，做第n 个步骤有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯=...21种不同的方法。

以上两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论依据。他们分别给出了两种不同方式完成一件事的方法总数的不同计算方法。

注意：分类要“不重不漏”，每类的每一种方法都能独立完成事件；

分步要“步骤完整”，每一步不能完成事件，只有各步依次都完成，才能完成事件。

2、排列与组合

（1）排列

有红球、白球、黄球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里，有多少种不同的方法？（3*2=6）

我们把被取的对象叫做元素。取出的元素按照已知的顺序排成一列，我们称它为该问题的一个排列。

一般地，从n 个不同元素中任取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

两个排列相同，则组成排列的元素相同，并且元素的排列顺序也相同。

从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出

m 个元素的排列数，用符号m n

A 表示。 根据分步乘法计数原理，得到公式)1()2)(1(+---=m n n n n A m n

这里+∈N m n ,，并且n m ≤，这个公式叫做排列数公式。

一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列，这时n m =，则有123)2()1(∙∙∙∙-∙-∙= n n n A m n ，这个公式是由1到n 。我们把正整数1到n 的连

乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示。所以n 个不同元素的全排列数公式可以写成!n A n n

= 排列数的公式还有下面的另一种形式：)!

(!m n n A m n -=，我们规定1!0=。 （2）组合

有红球、黄球、白球各一个，从这三个小球中，任意取出两个小球，共有多少种不同的取法？（与顺序无关，共3种）

一般地，从n 个不同元素中，任意取出)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的一个组合。

从n 个不同元素中，任意取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号m

n C 表示。

一般地，从n 个不同元素中，任取m 个元素的排列，可以分两步完成：

第一步 选取元素 从n 个不同元素中，任意m 个元素的组合，有种m n C 方法；

第二步 排位置 选出的m 个不同元素的全排列，有m m A 种方法。

根据分步乘法计数原理，得：m m m n m n

A C A ∙= 由m n A 的计算公式和m m m n m

n A A C =可以得出组合数m n C 的计算公式为：

)!(!!!

)

1)...(2)(1(m n m n C m m n n n n C m n m n -=+---=

通过上面两个公式还可以推出：10=n

C （3）组合数的两个性质

性质1 m n n m n C C -=

性质2 11-++=m n m n m

n C C C 3、排列组合的常用方法

（1）捆绑法解决相邻问题；

（2）插空法解决不相邻问题；

（3）除序法解决相同元素问题，除序法是除法；

（4）排除法解决算多了需要减掉多余的，排除法是减法；

（5）特殊元与特殊位优先解决，再解决一般；

（6）穷举法。

练习题

1、一个科技小组中有3名女同学，5名男同学

（1）若从中任选一名同学参加学科竞赛，共有多少种选派方法？

（2）若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有多少种选派方法？

2、求证：3101

2100242322...C C C C C =++++ 3、（1）4个同学分配到3个课外小组中，共有几种分配方法？

（2）4个同学争夺3项竞赛的冠军，冠军的获得者共有几种可能情况？

4、4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？

5、四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有？

6、某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有多少种？

7、 从6名男生和4名女生中，选3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有__种？ 8、12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组，则3个强队恰好被分在同一组的概率为？

9、7人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？

10、3个歌舞，4个独唱，2个小品排成一份节目单，3个歌舞中任意两个都不排在一起，共有多少种排法？

11、求三元一次方程100=++z y x （+∈N z y x ,,）解的个数？

12、5名运动员参加军事三项赛，射击、游泳和长跑各设一名冠军，则三项冠军获得者的结果有多少种？

13、有3枚一分硬币，6枚一角硬币，4张十元硬币，共组成多少种非零币值？

14、甲乙丙丁参加400米接力比赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同跑法？

15、某宿舍4个人互赠贺卡，每个人都拿到不是自己的贺卡情况有多少种？

16、8个人排队照相，按如下要求各有多少种不同的排队方法：

（1）甲乙丙三人必须相邻，丁戊不相邻；

（2）甲乙两人必须站中间，丙丁两人不站两端；

（3）甲不在左端且不在乙右侧的任何位置；

（4）8人中，有4个男生4个女生，要求同性别不相邻。