2012年工程数学期末试卷及答案

2012年期末试卷

1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。

A. 全部击中.

B. 至少有一发击中.

C. 必然击中

D. 击中3发

2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。

A. X 和Y 独立。

B. X 和Y 不独立。

C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)

D. D(XY)=D(X)D(Y)

3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。

A ． 其它1||0|)|1(2)(≤???-=x x x f 。 B. 其它

2

||05.0)(≤???=x x f

C. 0

021)(2

2

2)(<≥???

?

???=--x x e x f x σμπ

σ D. 其它0

0)(>???=-x e x f x ，

4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,

}5{2+≥=μY P P , 则有（ ）

A. 对于任意的μ, P 1=P 2

B. 对于任意的μ, P 1 < P 2

C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2

D. 对于任意的μ, P 1 > P 2

5．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）

A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)

6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则

|A*+3A –2E|= 。

7．设A= ???

?

? ??-????? ??--10000002~011101110x ，则x = 。

8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统

正常工作的概率为 。

9．设随机变量X 的概率密度函数为其它A

x x x f <

2)(，则概率

=≥)2

1

(X P 。

10．设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为

其它当0

,00),()43(>>?

?

?=+-y x ke y x f y x ，则系数=k 。

11．求函数t e t f β-=)(的傅氏变换 (这里0>β)，并由此证明：

t

e d t ββπωωβω-+∞

=+?2cos 0

22

12．发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“1”和“0”。由于通讯系统受到干扰，当发出信号“1”时，收报台未必收到信号“1”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“1”和“0”；同时，当发出信号“0”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“0”和“1”。求 （1）收报台收到信号“1”的概率；

（2）当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。

13．设二维随机变量),(Y X 的联合概率函数是

其它0

,00),()42(>>?

?

?=+-y x ce y x f y x 求：（1）常数c ；（2）概率P (X ≥Y )；（3）X 与Y 相互独立吗？请说

出理由。

14．将n个球随机的放入N个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X的数学期望。

15．设一口袋中依此标有1，2，2，2，3，3数字的六个球。从中任取一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求

(1)X的概率分布律和分布函数。(2)EX

12n )

T ，a 1≠0,其长度为║a ║，又A=aa T , (1)证明A 2=║a ║2A ；

(2) 证明a 是A 的一个特征向量，而0是A 的n-1重特征值； (3) A 能相似于对角阵Λ吗？若能,写出对角阵Λ. 17.设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X 是随机变量,

四、证明题（共10分）

五、应用题（共10分）

它在[2000,4000]( 单位：吨 )上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。

参考答案及评分标准

一、选择题

1．B2．C3．D4．A5．A

二、填空题

6. 9

7. 1

8. 1–(1–P)3

9. 3/4 10. 12 三、计算题

11.解答：函数f(t)的付氏变换为：

F (w )=dt e dt e

dt e

e

e

t j t

j t

j t t ???+∞

--+∞

+--+∞

∞

---+==?0

)(0

)(|||

|][?β?β?ββ （3分）

=

2

2

211?ββ

?β?β+=-++j j (2分) 由付氏积分公式有

f(t)=[1

-?F(w )]=

??π

?d e F t

j ?

+∞

∞

-)(21

(2分) =

????

ββ

π

d t j t ?+∞

∞-++)sin (cos 221

22 ==

??

β?πβ

???

ββπ

d t

d t ??+∞

+∞∞-+=+0222

2cos 2cos 221

（2分） 所以 t

e d t ββπωωβω-+∞

=+?2cos 0

22 （1分）

12.解答:

设 A1=“发出信号1”，A0=“发出信号0”，A=“收到信号1” （2分）

(1)由全概率公式 （1分） 有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0) （2分） =0.8x 0.6+0.1 x0.4=0.52 （1分） (2)由贝叶斯公式 （1分） 有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A) （2分） =0.8x 0.6/0.52=12/13 （1分）

13.解答:

(1) 由联合概率密度的性质有

??+∞

∞

-+∞

∞

-=1),(dy y x f dx

即

??+∞

+-+∞=0

)

42(0

1dy ce dx y x （2分） 从而 c =8 （2分）

(2)??

≥=

=

≥y

x dxdy y x f Y X P ),()(??=+-+∞

x

y x dy e dx 0

)

42(0

3

2

8 （2分） (3) 当x >0时， ??∞

∞

-∞

-+-===

2)42(28),()(x y x X e dy e dy y x f x f （2分）

当x <=0时, 0)(=x f X

同理有 其它0

4)(4>???=-y e y f y Y （1分）

因 y x y f x f y x f Y X ,)

()(),(?=

故X 与Y 相互独立 （1分）

14.解答：

设 否则

个盒子有球

第i X i ??

?=0

1

i =1,2,…,N (2分)

则 ∑==

N

i i

X

X 1

(1分)

因 n

n

i N

N X P )1()0(-== (2分) n

n

i i N N X P X P )1(1)0(1)1(--==-== (2分)

因而 n

n

i i i N

N X P X P EX )1(1)1(1)0(0--==?+=?= (2分) 所以 ))11(1(1

n

N

i i N

N EX EX -

-==

∑= (2分) 15.解答：

（1）随机变量X 的取值为1，2，3。 （1分）

依题意有：6

2)3(;63}2{;61}1{=====

=X P X P X P （3分） X 的分布函数}{)(x X P x F ≤= （1分） 由条件知：当1

当21<≤x 时，;6

1

)1((===X P x F ）

（1分） 当32<≤x 时，;3

2

)2()1((==+==X P X P x F ）

（1分） 当3≥x 时，;1(=）

x F （1分） （2）EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6 （1分）

四、证明题

(1) A 2=aa T ·aa T =a T a ·aa T =║a ║2

A （2分）

(2)因 Aa= aa T ·a=a T a ·a= ║a ║2

a （2分）

故a 是A 的一个特征向量。

又A 对称，故A 必相似于对角阵 （1分） 设A ∽ diag(λ1,λ2,…,λn )=B, 其中λ1,λ2,…,λn 是A 的特征值 (1分) 因rank(A)=1, 所以 rank(B)=1 (1分) 从而λ1,λ2,…,λn 中必有n-1个为0, 即0是A 的n-1重特征值 （1分） (3) A 对称，故A 必相似于对角阵Λ，

Λ=diag(║a ║2

, 0,…,0) (2分)

五、应用题 解答:

设y 为预备出口的该商品的数量，这个数量可只介于2000与4000之间，用Z 表示国家的收益（万元）, （1分）

则有 y

X y

X X y X y X g Z <≥??

?

--==)

(33)( （4分） 因 X 服从R(2000,4000), 故有

其它

4000

20000

2000

/1)(<

?=x x f X (1分)

所以

dx y

dx x y x dx x f x g EZ y

y

X ?

??+

--==∞

∞-4000

2000

2000

32000)

(3)()( =–( y 2 –7000y + 4?106 ) /1000 (3分) 求极值得 y=3500 (吨) (1分)