第12章光的偏振--习题答案

第十四章 光的偏振和晶体光学

1. 一束自然光以30度角入射到玻璃-空气界面，玻璃的折射率 1.54n =，试计算（1）反射

光的偏振度；（2）玻璃-空气界面的布儒斯特角；（3）以布儒斯特角入射时透射光的偏振度。

解：光由玻璃到空气，354.50sin 1sin ,30,1,54.11212121=???

? ??-====θθθn n n n o

①()()()()

06305.0tan 1tan ,3528.0sin 1sin 212212-=+-==+--

=θθθθθθθθp s r r

002

22

2

min max min max 8.93=+-=+-=p

s p

s r r r r I I I I P ②o

B n n 3354.11tan tan

1121

=??

? ??==--θ ③()()

4067.0sin 1sin ,0,57902120

21=+--

===-==θθθθθθθθs p B B r r 时，

02

98364

.018364.011

,8364.01=+-===-=P T r T p s s

注：若2

21

122,,cos cos p p s s t T t T n n ηηθθη===

)(cos ,212

2

22

2

0min 0max θθ-=+-=

==p

s s p

s p s p T T t t t t P I T I I T I 或故 2. 自然光以布儒斯特角入射到由10片玻璃片叠成的玻片堆上，试计算透射光的偏振度。

解：每片玻璃两次反射，故10片玻璃透射率(

)

20

22010.83640.028s s T r =-==

而1p T =，令m m I I in ax

τ=，则m m m m I I 110.02689

0.94761I I 10.02689ax in ax in p ττ---=

===+++

3. 选用折射率为2.38的硫化锌和折射率为1.38的氟化镁作镀膜材料，制作用于氟氖激光

（632.8nm λ=）的偏振分光镜。试问（1）分光镜的折射率应为多少？（2）膜层的厚度应为多少？

解：（1）322sin 45sin n n θ?= 1

22

n tg n θ=

（起偏要求）

32222sin n tg θθ=

=

122

1.6883n n =

?==

（2）满足干涉加强22222cos 2n h λ

θλ?=+

=，13

22sin 30.1065sin 45n n θ-??==? ????

则 ()222

276.842cos h nm n λ

θ=

=

而129059.8934θθ=?-=?，()111

2228.542cos h nm n λ

θ==

4. 线偏振光垂直入射到一块光轴平行于界面的方解石晶体上，若光矢量的方向与警惕主截

面成（1）30度（2）45度（3）60度的夹角，求o 光和e 光从晶体透射出来后的强度比？

解：垂直入射123θθθ==，S 波与p 波分阶 22

s p r r =

112212

112212cos cos cos cos s n n n n r n n n n θθθθ--=

=++

211221

211221

cos cos cos cos p n n n n r n n n n θθθθ--=

=++

o 光此时对应s 波 000

11n r n -=

+，()

()2

2

2

00

20411n T r n ??

=-=??

+????

2n

3n

1

n 2n

45?

e 光此时对应p 波 1

1

e e e n r n -=

+，()

()2

2

2

2411e

e e e n T r n ??

=-=??

+????

24

222000022

0sin 1cos 1s e e p e e e I E T T n n tg I E T T n n ααα????+=== ? ?+????

取0 1.6584n =， 1.4864e n = 则

20

0.9526e

I tg I α=? （1）01

30,

0.95260.31753e I I α=?=?= （2）0

45,

0.9526e

I I α=?= （3）0

60,

30.9526 2.8578e

I I α=?=?= 5. 方解石晶片的厚度0.013d mm =，晶片的光轴与表面成60度角，当波长632.8nm

λ=的氦氖激光垂直入射晶片时（见图14-64），求（1）晶片内o 、e 光线的夹角；（2）o 光和e 光的振动方向；（3）o 、e 光通过晶片后的相位差。

解：垂直入射，o 光、e 光波失都延法线方向，而e 光光线方向

2

'

20.7187o e e

n tg tg n θθ==

取0 1.6584n =， 1.4864e n =（适合589.3λ=nm ）

'35.7e θ?=

e 光折射角''

30 5.7542e e θθ???=-==，此即与o 光分离角

图14-64 习题5图

e

光折射率' 1.6099e n =

=

()0'2 1.994e n n d δππλ

-?=?=

632.8nm λ=时，0 1.6557, 1.4852e n n ==

则'35.66,' 1.6076e e n θ?

==

1.975δπ=

6. 一束汞绿光以600角入射到KDP 晶体表面，晶体的512.10=n ，

470.1=e n ，若光轴与晶体表面平行切垂直于入射面，试求晶体中o 光与e 光的夹角。

解：先求波矢方向

100sin 60sin 34.94n θ-??

?==?

???

1

sin 60sin 36.10ek e n θ-??

?==? ???

由于光轴与入射面垂直，故与波矢垂直，所以光线与波矢同向，即o 光与e 光的夹角

36.1034.94 1.1619'?-?=?=?

7. 图14-69中并列放有两组偏振片，偏振片A 透光轴沿铅直方向，偏振片B 透光轴与铅直方向成045方向。（1）若垂直偏振光从左边入射，求输出光强I ；（2）若垂直偏振光从右边入射，I 又为多少？设入射光强为0I

解：（1）左边入射，入射光偏光方向与A 光透光轴相同，故最后出射光强

222

001cos cos cos 8

I I I θθθ==

（2）右边入射

2222001cos cos cos cos 16

I I I θθθθ==

I 0

I 0

图14-69 习题11 图

8．图14-69中并列放有两组偏振片，偏振片A 透光轴沿铅直方向，偏振片B 透光轴与铅直方向成045方向。（1）若垂直偏振光从左边入射，求输出光强I ；（2）若垂直偏振光从右边入射，I 又为多少？设入射光强为0I

解：（1）左边入射，入射光偏光方向与A 光透光轴相同，故最后出射光强

222

001cos cos cos 8

I I I θθθ==

（2）右边入射

2222001cos cos cos cos 16

I I I θθθθ==

9．电气石对o 光的吸收系数为16.3-cm ，对e 光的吸收系数为18.0-cm ，将它作成偏振片。当自然光入射时，若要得到偏振度为0098的透射光，问偏振片需要做成多厚？

解：记0e I x I =，则()o e o e d d

d e x e e

αααα---==

0010.981e e I I x

P I I x

--=

=++

故0.02

10.980.980.01010101.98

x x x -=+?=

= ()ln 1.64e o

x

d cm αα=

=-

10．？？？？？？？？？

11. 一束线偏振的钠黄光（nm 3.589=λ）垂直通过一块厚度为mm 210618.1-?的

石英晶片。晶片折射率为54424.10=n ，55335.1=e n ，光轴沿x 方向（见图14-71）

，

I 0

I 0

图14-69 习题11 图

x

y

θ

试对于以下三种情况，决定出射光的偏振态。

（1） 入射线偏振光的振动方向与x 轴成045角； （2） 入射线偏振光的振动方向与x 轴成045-角； （3） 入射线偏振光的振动方向与x 轴成030角。

解：cos ,sin x y E E ψψ== 22,x e y o n d n d π

π

ααλ

λ

=

=

()()22 1.54424 1.55335 1.61589.32

y x o e n n d π

ππ

δααλ=-=

-=

-?=-

(1)45,,x y E E ψ?==y 分量超前2

π

，右旋圆偏振sin 0δ<

(2)45,,,2

x y E E π

ψδπ?=-=-=-

+为左旋圆偏振sin 0δ>

(3)30,

x y

E E ψ?==sin 0δ<

12．设计一个产生椭圆偏振光的装置，使椭圆的长轴方向在竖直方向，且长短轴之比为2：1。详细说明各元件的位置与方位。 解：设起偏器与x 轴的夹角为θ

2

,443.63,2cos 2sin ,2sin cos π

λ?θθθθ

θ的位相差相差

波片，使再通过y x o

x y y x A A tg A A A A A A ====?????==

13．通过检偏器观察一束椭圆偏振光，其强度随着检偏器的旋转而改变。当检偏器在某一位置时，强度为极小，此时在检偏器前插入一块4λ片，转动4λ片使

它的快轴平行于检偏器的透光轴，再把检偏器沿顺时针方向转过020就完全消光。试问（1）该椭圆偏振光是左旋还是右旋？（2）椭圆的长短轴之比？

解：

4λ波片使y 分量相位延迟2

π

，经波片后为线偏光， 其振动方向为逆时针转70?

（检偏器顺时针转20?

消光）， 光矢量在一、三象限，y 分量与x 分量同相，说明原椭圆偏光 y 分量超前

2

π

70 2.747y

x

A tg A ?==

14．为了决定一束圆偏振光的旋转方向，可将4

λ

片置于检偏器之前，再将后者

转至消光位置。此时4λ片快轴的方位是这样的；须将它沿着逆时针方向转450才

能与检偏器的透光轴重合。问该圆偏振光是右旋还是左旋？

解：圆偏光经4

λ

波片后变为线偏光，消光方向为逆时针转45?，

说明线偏光为顺时转45?

，即光矢量在二、四象限，y 分量

与x 分量有π的相位差，4λ使y 分量落后2π，故原圆偏光y 分量落后2

，为右旋。

15．导出长、短轴之比为2：1，且长轴沿左旋和右旋椭圆偏振光的琼斯矢量，并

计算这两个偏振光叠加的结果。

解：2)i

2)i - 两者相加x E = 0y E =

，即沿x 方向的线偏光

16为测量波片的相位延迟角δ，采用图14-72所示的实验装置：使一束自然光相继通过起偏器、待测波片、4λ和起偏器。当起偏器的透光轴和4λ片的快轴沿x

轴，待测波片的快轴与x 轴成450角时，从4λ片透出的是线偏振光，用检偏器

确定它的振动方向便可得到待测波片的相位延迟角。试用琼斯计算法说明这一测量原理。

解：待测波片后{

i y E E ?δ ，4λ波片后()

()

2211cos 2211sin 22

{i i i i y E e e E e e δδ?δδδδ=+=?=-=? y 分量与x 分量位相差为0，故为线偏振，偏振方向与x 夹角2x y

E tg tg E δ

θ==

17. 将一块8λ片插入两个前后放置的偏振器之间，波片的光轴与两偏振器透光

轴的夹角分别为030-和040，求光强为I 0的自然光通过这一系统的强度是多少？（不考虑系统的吸收和反射损失）

解：设波片（快慢轴为x , y ）光轴为x ，光通过1

8

波片后

4

11cos30,sin30i

x y E E E E e

π

±??

==

再经检偏器后()

21cos 40sin 40cos30cos 40sin30sin 40x y E E E E ??????=-=- 因()()()2

22222cos i i i i i a be

a be a be a

b ab e e a b ab δδδδδδ--+=++=+++=++

()()22222111cos30cos 40sin 30sin 40sin 60sin 80cos 450.2422E E E ?????????

∴=+-=????

又因101

2

I I =，故输出100.2420.121I I I ==

18一块厚度为0.05cm 的方解石波片放在两个正交的线偏振器中间，波片的光轴

方向与两线偏振器透光轴的夹角为450。问在可见光范围内哪些波长的光不能透过这一系统。

解：正交偏振器透光轴分别为x , y ，方解石光轴为ξ，令()2o e n n d π

δλ

=

-，则光过波

片后cos 45sin 45i i y E E e δδ

ξ?

?==

=-= 经检偏器后()1

cos 45cos 4512

i y y E E E e δξ?

?

=+=- 要使0y E =，则2m δπ=（m 为整数）

即不透的光波长()()()1

86002o e o e n n d nm n n d m m δ

λπ-??-===??

-??

可见光波长范围380n m ～780nm ，即m 最大23，最小11

m 11 12 13 14 15 16

λ（nm ） 781.8 716.7 661.5 614.3 573.3 537.5

17 18 19 20 21 22 23 505.9 477.8 452.6 430 409.5 390.9 373.9

19. 在两个正交偏振器之间插入一块2λ片，强度为I 0的单色光通过这一系统。

如果将波片绕光的传播方向旋转一周，问（1）将看到几个光强的极大和极小值？相应的波片方位及光强数值；（2）用4λ片和全波片替代2λ片，如何？

解：设波片快慢轴为x , y ，则光透过波片后11cos ,sin i x y E E E e E δ??==-

再经检偏器后()211

sin cos sin 212

i x y E E E e E δ???=+=

- ()()()2

222222111sin 222cos sin 2sin 42E E E δ?δ???=

-= ???

而101

2

I I =（入射光为自然光）

（1） 用2

λ波片，δπ=，()2

01sin 22I I ?=，波片转一圈，即?由0到2π，当

357,,,4444π?πππ=时，I 取最大m 01I 2ax I =，当3

0,,,22

π?ππ=时，I 最小

m I 0in =

x

1p 2p

y

?

（2） 用

4λ波片2

πδ=，()2

01sin 24I I ?=，则m 0m 1I ,I 04ax in I ==

全波片2,I 0δπ==，始终为0。

20. 在两个线偏振器之间放入相位延迟角为δ的波片，波片的光轴与起、检偏器的透光轴分别成α、β角。利用偏振光干涉的强度表达式（14-57）证明：当旋转检偏器时，从系统输出的光强最大值对应的β角为δαβcos )2(2tg tg =。

解：()2222cos sin 2sin 2sin 2I a a δαβαβ??

=-- ???

()2222sin 22sin 2cos 2sin ,2sin 1cos 22dI a a d δδαβαβδβ????

=--=- ? ?????

()22

sin 2sin 2cos 2sin 2cos 2cos a a αβαβαβδ=--+?????

22cos 2sin 2sin 2cos 2cos a a αβαβδ=-+?

令

0dI

d β

=，则cos 2sin 2sin 2cos 2cos 22cos tg tg αβαβδβαδ=??=? 此为极值满足的条件，例2

π

δ=

，则20sin 200,

,,......2tg π

βββπ??=?== ??

?

()22cos I a αβ=-此时若m αβπ-=，则I 为极大，

2

m π

αβπ-=

+，则I 为极小