《二次函数》整章教案

二次函数

【教学目标】

（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围；

（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯。

【重点难点】

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

【教学过程】

一、试一试

问题1(P2)

1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中：

2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗?

3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式，

对于1：可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。

对于2：可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。

对于3：教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．

二、提出问题

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?

三、观察，概括

1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答；

(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个?

(各有1个)

(2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式?

(分别是二次多项式)

(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点?

(都是用自变量的二次多项式来表示的)

(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。2．二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．

四、课堂练习

1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数?

(1)y=5x＋1；(2)y=4x2－1；(3)y=2x3－3x2；(4)y=5x4－3x＋1

2．P4练习第1，2题。

五、小结

1．请叙述二次函数的定义．

2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。

六、作业：P4习题26.1 第1-4题。

【课后反思】

二次函数的图像和性质（1）

二次函数y＝ax2的图象与性质

【学习目标】

1．通过描点法画出这个函数的图象，再通过图象直观地认识二次函数的性质；2．充分感受数形结合的思想方法，体会函数图象在研究函数性质中的作用；3．通过自行动手和探索，认识发现二次函数y＝ax2的图象特征，体会、了解它的性质．

【重点难点】

重点：能够用描点法作出二次函数y＝x2的图象，了解抛物线的概念．

难点：进一步深刻理解利用图象研究函数的方法以及二次函数在实际中的应用．【课前自学】

1.我们知道，一次函数的图像是一条直线．那么，二次函数的图像是什么？它有什么特点？又有哪些性质？

让我们先来研究最简单的二次函数y＝ax2的图像与性质．

例1画二次函数y＝x2的图象．

解列表．

在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y＝x2的

图象，如图26.2.1所示．

图26.2.1

像这样的曲线通常叫做抛物线（parabola）．它有一条对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．

【课前做一做】

（1）在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝－x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？

（2）在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2、y＝－2x2的图象．观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？

解：列表得：

（3）将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？

【课堂学习】

1.函数y＝ax2的图象是一条线，它关于对称．

2.它的顶点坐标是（）．

3.观察y＝x2、y＝2x2的图象，可以看出：

当a＞0时，抛物线y＝ax2开口向．在对称轴的左边，曲线自左向右；在对称轴的右边，曲线自左向右．顶点是抛物线上位置最的点．

图象的这些特点，反映了当a＞0时，函数y＝ax2具有这样的性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；当x＝0时，函数y＝ax2取得最小值，最小值y＝0．

思考

观察函数y＝－x2、y＝－2x2的图象，试作出类似的概括，当a＜0时，抛物线y ＝ax2有些什么特点？它反映了当a＜0时，函数y＝ax2具有哪些性质？

当a＜0时，抛物线y＝ax2开口向．在对称轴的左边，曲线自左向右；在对称轴的右边，曲线自左向右．顶点是抛物线上

位置最 的点．

图象的这些特点，反映了当a ＜0时，函数y ＝ax 2具有这样的性质：当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而 ；当x ＞0时，函数值y 随x 的增大而 ；当x ＝0时，函数 y ＝ax 2 取得最 值，为 ． 【课堂练习】

1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：

（1）y ＝3x 2； （2） y ＝－3

1

x 2．

解：列表得： 画图得：

2.根据上题所画的函数图象填空．

（1）抛物线y ＝3x 2的对称轴是__________，顶点坐标是____________，当x _________时，抛物线上的点都在x 轴的上方；

（2）抛物线y ＝－3

1

x 2的开口向________，除了它的顶点，抛物线上的点都在x

轴的_________方，它的顶点是图象的最___________点．

【课堂检测】

不画图象，说出抛物线y ＝－4x 2和y ＝4

1x 2

的对称轴、顶点坐标和开口方向．

【课后作业】

1. 在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象： （1）y ＝2x 2； （2） y ＝－

2

1x 2．

2.根据上题所画的函数图象填空．

（1）抛物线y ＝2x 2的对称轴是_______________，顶点坐标是____________，当x _________时，抛物线上的点都在x 轴的上方； （2）抛物线y ＝－

2

1x 2

的开口向________，除了它的顶点，抛物线上的点都在x 轴的_________方，它的顶点是图象的最___________点．

3.不画图象，说出抛物线y ＝－8x 2和y ＝8

1

x 2的对称轴、顶点坐标和开口方向．

二次函数的图像和性质（2）

二次函数y＝ax2+k的图象与性质

【学习目标】

1．通过描点法画出二次函数y＝ax2+k的图象；

2．通过二次函数y＝ax2+k的图象与二次函数y＝ax2图象之间的关系，形象直观地认识二次函数的性质．

【重点难点】

重点：理解y＝ax2+k类型函数的图象特点和性质．

难点：灵活运用y＝ax2+k类型函数的图象特点和性质去解决问题．

【课前自学】

1．复习：上节课我们研究了二次函数y＝ax2的图象与性质：（结合图象）

2．新课探索

在同一直角坐标系中，画出函数221x y =

与1212+=x y ，22

1

2-=x y 的图像．

观 察：

当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

观察这三个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．它们有哪些是相同的？又有哪些不同？

观察归纳：

思 考：

在同一直角坐标系中，函数y ＝－31x 2＋2的图象与函数y ＝－31

x 2的图象有什么

关系？你能说出函数y ＝－3

1

x 2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

这个函数有哪些性质？

1. 已知函数y ＝－31x 2、y ＝－31x 2＋2和y ＝－3

1

x 2－2．

（1）分别画出它们的图象；

（2）说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（3）试说出函数y ＝－3

1

x 2＋4的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

2. 根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝－3

1

x 2，

得到抛物线y ＝－31x 2＋2和y ＝－31x 2－2？如果要得到抛物线y ＝－31

x 2＋4，应

将抛物线y ＝－3

1

x 2作怎样的平移？

3.口答下列二次函数图像开口方向，顶点坐标，对称轴： （1）14

12

+=

x y ；（2）122+-=x y ；（3）23x y =； （4）2

21x y -=；（5）3

1

22-=x y

【课堂小结】

试说出函数y ＝ax 2＋k （a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．

二次函数的图像和性质（3）

二次函数()2

y a x k =-的图象与性质

【学习目标】

1．通过图象之间的关系，形象直观地认识二次函数二次函数2)(k x a y -=的性质； 2．通过二次函数2)(k x a y -=的图象与二次函数y ＝ax 2图象之间的关系，形象直观地认识二次函数的性质． 【重点难点】

重点：理解2)(k x a y -=类型函数的图象特点和性质．

难点：灵活运用2)(k x a y -=类型函数的图象特点和性质去解决问题． 【课前自学】

1.本节课将探讨二次函数y ＝ax 2和2)(k x a y -=的图象与性质之间的关系． 例 在直角坐标系中，画出函数22x y =和2)1(2-=x y 的图象． 解 列表．

描点、连线，画出这两个函数的图象．

观察

根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

思考

这两个函数的图象之间有什么关系？ 概括

1.通过观察、分析，可以发现：函数y ＝2（x －1）2与y ＝2x 2的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同．

函数y ＝2（x －1）2的图象可以看作是将函数y ＝2x 2的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线_____，顶点坐标是（_____，_____）． 2.可以由函数y ＝2x 2的性质，得到函数y ＝2（x －1）2的性质：

当x ______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x _____时，函数值y 随x 的增大而增大；当x _____时，函数取得最______值，最______值y ＝______． 3.画出22x y =和2)1(2+=x y 的草图，猜想2)1(2+=x y 的性质。

（1）2)1(2+=x y 的图象可以看作是将函数y ＝2x 2的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线____，顶点坐标是（_____，_____）． （2）2)1(2+=x y ，当x ____时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ____时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ____时，函数取得最_____值，最_____值y ＝____．

【课堂学习】

在同一直角坐标系中画出函数221x y =

、2)2(21+=x y 和2)2(2

1

-=x y 的图象，比较它们的联系和区别．并说出函数2)2(2

1

+=

x y 的图象可以看成由函数221x y =

的图象经过怎样的平移得到．由此讨论函数2)2(2

1

+=x y 的性质．再说出函数2)2(21-=

x y 的图象可以看成由函数22

1

x y =的图象经过怎样的平移得到．由此讨论函数2)2(2

1

-=x y 的性质． 解：列表得

1.函

数2)2(21+=

x y 的图象可以看作是将函数22

1

x y =的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线__ ___，顶点坐标是（_____，_____）． 2.得到函数2)2(2

1

+=

x y 的性质：当x ______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x _____时，函数值y 随x 的增大而增大；当x _____时，函数取得最______值，最______值y ＝______． 3.函数2)2(21-=

x y 的图象可以看作是将函数22

1

x y =的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线__ ___，顶点坐标是（_____，_____）． 4.得到函数2)2(2

1

-=

x y 的性质： 当x ______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x _____时，函数值y 随x 的增大而增大；当x _____时，函数取得最______值，最______值y ＝______． 【课堂练习】 1. 已知函数231x y =

、2)3(31+=x y 和2)3(3

1

-=x y ． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；

（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质

2. 根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线2

3

1x y =

得到抛物线2)3(31+=x y 和2)3(3

1

-=x y ？

【课堂小结】

你能说出函数y ＝a （x －h ）2（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．

实践与探究（1）

【学习目标】

1. 能通过分析表示实际问题中变量之间的二次函数关系，能运用二次函数知识求出实际问题中的最大（小）值；

2. 经历探索最优化问题的过程，进一步用数学模型解决实际问题，提高运用二次函数知识的能力.

【学习过程】

一、课前导学

1．（2015江苏淮安10分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤.通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤.为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售.

（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x 的代数式表示）；

（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

二、模仿学习

根据课本26—27页问题1和2，完成上述作业.

问题2一个涵洞成抛物线形，它的截面如图26.3.2．现测得，当水面宽AB＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？

分析：根据已知条件，要求ED宽，只要求出FD的长度．在图示的直角坐标系中，即只要求出点D的横坐标．因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标．你会求吗？

列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：

(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)；

(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；

(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数；

(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题；

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案；

(6)写出答案．

三、例题教学

例1．（2015江苏南通10分）某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元.若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元.已知该服装成本是每件200元.设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元.

（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？

四、当堂练习

1．（2015江苏南京10分）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1(单位：元)、销售价y 2(单位：元)与产量x (单位：kg )之间的函数关系． (1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式．

(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

/kg

y /（第27题）