高等工程数学数值分析部分试题与解答(1)

一、填空题 1. 求方程

()x f x =根的牛顿迭代格式是 .

1()1()

n n n n n x f x x x f x +-=-

'-

2. 在求解方程组b AX =时，建立的迭代格式f BX X +=+)()1(k k 对于任意初始向量）0(X 及任意f 收敛的充要条件是 .

1)(

3()1,[0,1,2,3]f x x x f =+-=

设 则差商(均差) ，

[0,1,2,3,4]f = .

4. 设(0,1,

,)j x j n =为互异节点，()j l x (0,1,

,)j n =为Lagrange 插值基函数，

则0

()n

j j l x ==∑ ，20

()n

j j j x l x ==∑ .

1，2x

二、计算题

1. 已知单调连续函数()y f x =的如下数据：

求若用插值法计算，x 约为多少时()1f x =（小数点后保留5位）。

020*******

010*********()()()()()()

()()()()()()()

x x x x x x x x x x x x L x f f f x x x x x x x x x x x x ------=

++------1.321479x ≈

2. 试给出求解线性方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=-+5

223122321

321321x x x x x x x x x

的Gauss-Seidel 迭代法，并说明其收敛性.

解：解线性方程组的系数矩阵可以表示为

U L D --=⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000100220022001000

100010001122111221， 则Gauss-Seidel 迭代格式为

b L D UX L D f BX X k k k 1)(1)()1()()(--+-+-=+=，

这里⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-=-200120220)(1

U L D B ，b 为右端向量，

且12)(>=B ρ，则该迭代法发散.

3. 用复化Simpson 公式求积分

x

e x d 1

⎰=I

的近似值时，为使计算结果误差不超过4102

1

-⨯，问至少需要取多少个节点？

解：由x e x f =)(，x e x f =)()4(，1=-a b ，有

[]

4

4

)4(4102

1128801)(2880-⨯≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤--=e n f h a b f R n η

解得08441.2≥n ，故至少需将[]1,0三等分，即取7132=+⨯个节点.

4. 用梯形方法解初值问题 '0;(0)1,y y y ⎧+=⎨=⎩ 证明其近似解为2,2n

n h y h -⎛⎫= ⎪+⎝⎭并证明当0h →时，它收敛于原初值问题的准确解.x

y e -=

1111

12

1

1

10

00 [(,)(,)]2(,)()

2

2222222 1,.2,.lim l n n n n n n n n n n n n n n n

n n n h h

y y f x y f x y h

f x y y y y y y h h h y y y y h h h h y y h h n y nh x y +++++++-→=++=-⇒=+-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⇒

===

= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

-⎛⎫

=⇒= ⎪

+⎝⎭

=⇒

=证：梯形公式为由因用上述梯形公式以步长经步计算到故有00

22im lim 22x

n

h

x

h h h h e h h -→→--⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭