人教版高中数学《椭圆的简单几何性质》教学设计
《椭圆的简单几何性质》（第一课时）教学设计
一、教学内容解析
1.内容
本节课学习椭圆的几何性质，主要包括范围、长轴、短轴、对称性、离心率，以及性质的应用.
2.内容解析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》中2.2《椭圆》的第二课时，主要内容是研究椭圆的几何性质. 椭圆的对称性、长轴、短轴描述了椭圆的形状特征，椭圆的范围描述了椭圆的大小，椭圆的离心率是用数值刻画椭圆扁平程度的量.
从单元内容看，本单元主要包括三种圆锥曲线的定义、标准方程和性质，以及坐标法的应用，在学习的过程中要深入对数形结合思想的理解.本节课是在学生熟悉了直线和圆的方程、椭圆的定义及其标准方程的基础上，并具有初步运用方程研究曲线的方法的活动经验后，第一次系统地运用代数与几何相结合的方法研究曲线的性质.它为之后研究双曲线、抛物线的几何性质、运用“以数解形”的方法解决几何问题等内容提供了数学模型和方法指导，因此本节课对体会单元核心思想方法具有举足轻重的地位和作用.
本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了数形结合、分类讨论及类比推理的思想和用代数法研究曲线性质的数学方法.
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质，理解“以数解形”的数形结合思想.
二、教学目标设置
1.教学目标
（1）在动手画椭圆的过程中，发现并提出椭圆对称性、大小、圆扁程度等几何性质的问题，发展学生发现问题提出问题的能力,培养学生数学抽象的能力.
（2）通过对椭圆图形特征的研究，分析椭圆的范围、长轴、短轴、对称性的性质，发展学生分析几何图形和直观想象的能力.
（3）结合方程分析椭圆性质，以数解形，提升学生对数形结合思想的理解.
（4）通过离心率的探究，使学生经历观察、分析、归纳、概括的思维过程和动手操
作的实践过程，发展学生数学逻辑推理的能力.
2.目标解析
（1）设计画椭圆图形，可以提高学生研究曲线时动手作图的基本技能，并让学生从作图的过程中初步了解椭圆的各项几何性质，发展学生直观想象和数学抽象的数学核心素养，培养学生分析问题和解决问题的操作性思维能力.
（2）研究曲线性质时，首先从图形角度研究，可以提高学生发现问题的能力,并让学生体会几何直观在研究曲线性质中的作用.
（3）通过方程对椭圆的几何性质的探究，学生进一步感受用代数方法解决几何问题的数形结合的思想，在由数释形的过程中，培养学生的探究习惯，发展学生的理性思维.
（4）在椭圆离心率的探究过程中，通过实验发现规律，结合老师的引导点拨，让学生去实现对离心率的发现和理解，培养学生严谨的治学态度和不断发现问题的能力，以及运用所学知识解决新问题的能力.
三、学生学情分析
学生已经熟悉和掌握椭圆的定义及其标准方程，学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力，但这是学生第一次通过方程研究曲线的几何性质，研究思路并不是很清晰.对于范围、对称性、顶点三个性质，通过老师的点拨引导，学生比较容易掌握.离心率概念比较抽象，学生缺乏研究此类问题的经验.
本节课的教学难点是：学生对椭圆的核心性质——离心率的认识与理解.
本单元内容的教学，要使学生充分经历“操作、观察、分析、抽象、概括”的学习过程.即从生活中抽象图形的模型，动手操作画图象，观察曲线的特点，探究曲线的方程，根据方程研究曲线.教学中，充分运用类比学习、螺旋提升的方法，不断形成完整的解析几何研究方法和学习策略.在运用方程讨论曲线性质时，主要以独立探究为主，离心率的发现过程要为学生创设适当的情境，使学生在最近发展区中发现问题、解决问题.
对于坐标法的理解，教师要为学生创造循序渐进地理解数形结合思想的条件，以代数与几何为什么结合、怎么结合、结合时注意什么等问题为抓手，帮助学生深刻理解此数学思想方法.
四、教学策略分析
根据本节课教学内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，激发学生的学习兴趣，在课堂教学中让学生通过动手操作画椭圆，亲历知识的生成过程，力求借助信息技术手段，以“几何画板”软件为平台，通过对椭圆的核心性质离心率e 的变化的演示，观察椭圆圆扁程度的变化，让学生体会运用“数形结合”的思想方法建立起高中数学的两条主线——代数主线和几何主线间的密切联系，同时利用展台将学生的研究成果进行实时呈现，能够使本节课重点研究的椭圆的简单几何性质的四方面——椭圆的范围、对称性、顶点及离心率问题及时得到很好的解决.具体来说包括：
1.任务驱动教学法：利用问题串作引导，引发学生积极思考并积极探究；
2.演示教学法：学生实物投影展示和教师几何画板动态演示相结合，提高课堂效率的同时兼顾解答的规范性；
3.启发式教学法：在研究范围和离心率时，教师做积极启发并与学生自主探究与合作讨论相结合突破难点；
4.学法：以小组合作为基本活动模型，采用自主学习法，结合合作探究法，讨论法，归纳总结法与交流展示法.
五、教学过程设计
（一） 创设情境、建构概念
1.情境创设：让学生观察建筑中国国家大剧院，它与湖中倒影的正视图呈椭圆形，进
而引出课题.
2.知识回顾：椭圆的标准方程：
当焦点在x 轴时，)0(122
22>>=+b a b
y a x 当焦点在y 轴时，)0(122
22>>=+b a b
x a y 【设计意图】回顾上节课所学内容，巩固知识并为本节课所学做铺垫.
3.活动创设 课前布置预习作业：你能否利用所学知识，在同一坐标系中画出方程116
252
2=+y x 和19
252
2=+y x 所表示的曲线.课上分组展示学生的成果,并让学生观察他们有什么几何特征.
预设可能出现的情况：
预设1：先判断其为椭圆，再利用定义画图；
预设2：先判断其为椭圆，寻找到与坐标轴的交点，画椭圆；
评价预设：寻找画图的关键点，提高画图容易度.
预设3：先判断其对称性，只需精确画出其第一象限的图象；
评价预设：发现椭圆的对称性，可以给画图带来方便.
预设4：从函数角度出发，利用描点法作图.
评价预设：将其转化为函数，利用函数图象的画法作图.
【设计意图】数学是现实世界的反映.从学生感兴趣的问题出发，创设思维情境，让学生在动手操作的过程中重温方程和曲线的关系，直观感受椭圆的几何特征，自然引出本节课的课题.
（二）独思共议，引导探究
通过画具体的椭圆，由特殊到一般，提出一般的椭圆会有哪些性质.
以椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 为例研究椭圆的几何性质. 探究一.椭圆的范围 问题1：椭圆大小如何刻画? 问题2：该椭圆上点的横坐标的取值范围是什么?纵坐标呢(预设：学生会利用图形观察得知，老师要给予肯定:图形观察很直观)
问题3： 你能否用方程说明该范围?
追问：范围可以由不等关系求出，如何建立y x ,的不等关系?
(先独立思考2分钟再进行小组合作，后进行小组展示成果)
从方程上看： 预设1：因为012222≥-=a x b y 所以122
≤a
x ,故可得a x a ≤≤-，同理可得b y b ≤≤-. 预设2：由椭圆方程)0(12222>>=+b a b y a x 中实数平方的非负性可得122≤a x ，122
≤b
y ， o
所以a x a ≤≤-，b y b ≤≤-.
预设3：利用三角换元：设θθsin ,cos ==b
y a x ，则θθsin ,cos b y a x ==， 所以a x a ≤≤-，b y b ≤≤-.
教师总结点评：利用方程中变量的非负性，判断其它变量范围的方法，是解析几何中利用方程研究曲线范围的一般方法.
【设计意图】通过椭圆的标准方程确定椭圆的范围，使学生感受利用椭圆方程研究
椭圆几何性质的方法，理解椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 位于直线a x ±=和b x ±=所围成的矩形内，为描点法作图提供了参考，体会利用坐标法研究曲线几何性质的优越性.
探究二.椭圆的对称性
问题1：椭圆具有怎样的对称性?
师生活动：学生可以直观感受椭圆的对称性，并引导学生用椭圆的标准方程对其进行研究.学生在必修2《直线的方程》和《圆的方程》的学习中经历过对曲线对称性的探究过程，此外学生还可以类比函数的奇偶性的研究方法得到椭圆的对称性，并给出椭圆中心的定义.
预设：学生可能会从图形和方程的角度得到.
（教师通过几何画板演示）（此问题对学生具有相当的难度，老师指明图形对称的本质是点的对称，在学生回答过程中，要强调在椭圆上“任取一点”）
问题2：能否用椭圆的方程说明该对称性?
（小组讨论2分钟，找代表发言）
（教师动画展示）椭圆上任取点),(y x P ，关于y 轴的对称点),('y x P -也在椭圆上，说明椭圆关于y 轴对称，关于x 轴的对称点),(''y x P -也在椭圆上，说明椭圆关于x 轴对称，关于原点的对称点),('''y x P --也在椭圆上，说明椭圆关于原点对称.
即坐标轴x 轴和y 轴是椭圆的对称轴，原点)0,0(O 是椭圆的对称中心，称为椭圆的中心.
强调：利用曲线上任意一点关于坐标轴和原点的对称点仍在曲线上来判断曲线的对称性，也是利用方程研究曲线对称性的一般方法.
问题3：研究曲线 的对称性
【设计意图】学生可以直观感受椭圆的对称性，并引导学生用椭圆的标准方程对其进行研究.教师通过信息技术的引入，让学生理解图形对称性的本质是构成图形的点的对称性，即利用曲线上点的坐标的对称性，可以实现曲线的对称性.并通过练习题，让学生学以致用，体会研究曲线对称性的一般方法.
探究三.椭圆的顶点
问题1：观察椭圆图形，他有哪些特殊点?
问题2：这些点的坐标是什么?
利用学生描点画图时的特殊点，引入椭圆的顶点，让学生感受图形中某些特殊点在确定曲线位置时的作用，从而得到顶点定义，即椭圆与对称轴x 轴和y 轴的四个交点.并指出长轴，短轴和长半轴长，短半轴长等相关概念.
【设计意图】让学生明确顶点等相关概念，理解顶点与对称性的关系.
探究四.椭圆的形状——认识椭圆的离心率e
问题1：用什么量可以刻画椭圆的扁平程度?
学生活动：小组合作，利用椭圆的定义画椭圆，
（小组合作讨论，相互交流，小组展示）
预设1：a c ；预设评价：学生可能从椭圆的定义出发，发现画椭圆时a
c 的变化对椭圆形状的影响.
预设2：a
b .预设评价：学生可能观察预习作业中两个椭圆的扁平程度得到. 师生活动：小组展示探究成果.学生观察当a 保持不变时，随着
c 的改变，椭圆圆扁程度的变化，发现椭圆随着
a c 的增大而变扁，随着a c 的减小而变圆.教师利用几何画板动态展示，并给出离心率的概念，并引导学生求出椭圆离心率的范围，
【设计意图】让学生从具体问题中抽象出离心率的定义，信息技术的引入不仅可以使学生体会到定义的科学性、严谨性，让学生深刻地理解定义，更有助于培养学生的数学抽象、逻辑推理等数学素养，不断积累数学活动的经验.
问题2：离心率的大小如何影响椭圆的扁平程度?
预设：e 越接近于0，则c 越接近于0,即22c a b -=越接近于a , 椭圆越接近于圆； 122=-y x
e 越接近于1，则c 越接近于a ，即22c a b -=越接近于0,椭圆越扁.
（让学生用逼近的思想想象当0→e 时，椭圆接近于圆，当1→e 时，椭圆接近于一条线段.）
【设计意图】利用等价转化的思想刻画椭圆的扁平程度，加深学生对椭圆的核心性质离心率e 的认识与理解.
（三）类比联想，知识迁移
类比焦点在x 轴上的椭圆的几何性质，得到焦点在y 轴上的椭圆的几何性质，让学生体会数学研究中的类比推理的过程与方法.
【设计意图】让学生体会椭圆焦点位置的变化对其性质的影响，提升学生的逻辑推理素养，并为后续双曲线和抛物线的学习奠定基础.
（四）巩固新知，提升能力
例题分析：
例1.椭圆400251622=+y x 的长轴长是________，短轴长是_________，焦点坐标是________，焦距是__________，顶点坐标是__________，离心率是________.
例2.在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 中，已知B OF 2?为等腰直角
三角形，求椭圆的离心率.
问题：你能从三角函数的角度理解离心率对椭圆形状的影响吗?
【设计意图】通过例题分析，巩固椭圆的几何性质，例2旨在引导学生深刻理解椭圆离心率的几何意义，实现认识上的又一次飞跃.
（五）回顾反思，归纳总结
学生和老师共同回顾、梳理、总结本节课所学的数学知识、思想、方法.
（1）椭圆的几何性质
（2）用坐标法研究曲线性质的过程与方法
（3）所用的数学思想方法：数形结合、化归转化、类比推理
师生活动：先由学生总结所学内容，教师补充说明，特别是通过本节课所经历的知识的探究过程，体会类比与数形结合的数学思想.通过本节课，让学生看到数学在生活中的应用，意识到还有很多与椭圆相关的知识需要去探究，从而不断地激发学生的数学学习兴趣.
【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构.
（六）目标测试，当堂反馈
1.已知椭圆方程为6622=+y x ，它的长轴长是__________,短轴长是___________, 焦点坐标是________,焦距是________,顶点坐标是_________,离心率是________.
2.椭圆以坐标轴为对称轴，离心率3
2=e ，长轴长为6，则椭圆的标准方程为（ ） (A)1203622=+y x (B)15
92
2=+y x (C)15922=+y x 或15922=+x y (D)1203622=+x y 或120
362
2=+y x 【设计意图】通过目标检测，可以了解学生对知识的理解和掌握情况，为教学评价提供依据,其中第2题旨在体会分类讨论思想在数学中的应用.
接着展示图片：展示椭圆在建筑与天文等方面的应用，让学生看到数学在生活中的应用，意识到还有很多与椭圆相关的知识需要去探究，从而不断激发学生的学习兴趣.
（七）布置作业，巩固所学
实践作业：查阅椭圆在建筑学与天文学方面应用的资料，每组写一份调研小报告.
分层作业：
P习题2.2A组2,3,4,5题
必做：课本
49
选做：A组第9题
【设计意图】作业分层布置，力求让不同基础的学生都拥有成功学习的体验.必做题主要考查学生对本节课重点知识的掌握情况，检查学生运用所学知识解决问题的能力，实践作业的设置是为了让学生体验如何检索、搜集资料进行数学学习，这是本节课所学内容的提高与拓展，可以更好地培养学生分析问题和解决问题的能力.
人教版新课标高中数学必修四 全册教案
按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B
例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ③象限角； ④终边相同的角的表示法． 5．课后作业： ①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2 α 各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限， 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角
高中数学《椭圆》教案设计
教案设计高中数学 《椭圆》 一、椭圆的定义 1、平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 定点F1, F2叫做椭圆的焦点，|F1F2|叫做椭圆的焦距。 2、点集P=﹛M | |MF1| + |MF2|=2a,2a2a＞|F1F2|﹜,其中两定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两 焦点的距离叫做椭圆的焦距。 二、椭圆的标准方程 1、焦点在x轴上，焦点坐标（±c,0）,焦距为2c。 2、焦点在y轴上，焦点坐标（0,±c）,焦距为2c。 三、一般方程式 1、Ax2+By2=C 2、Ax2+By2=1 四、椭圆标准方程的求解方法 1、定义法 2、待定系数法 五、几种题型的讲解 1、共焦点 2、焦点三角形 3、与椭圆有关的的轨迹方程的求解 4、直线与椭圆关系 5、中点弦问题及点差法 例题1：过已知圆内的一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹是（）。 A.圆 B.椭圆 C.圆或椭圆 D.线段 例题2：如图，Rt△ABC中，|AB|=|AC|=1，以点C为一个焦点的椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且这个椭圆过A，B两点，则这个椭圆的焦距长为。
例题3：求适合下列条件的椭圆的标准方程。 （1）、两个焦点的坐标分别是（-4,0），（0，-4），椭圆上任意一点p 到两焦点距离之和等于10； （2）、两个焦点的坐标分别为（0，-2），（0,2），并且椭圆经过 (23 -,25) (3)、焦点在y 轴上，且经过两个点（0,2），（1,0); (4)、经过点P(-23,1),Q(3,-2). 共焦点问题： 例题4：过点（-3,2）且与92x +142 =y 有相同焦点的椭圆的方程为 。 焦点三角形问题： 例题5：已知P 为椭圆174252 2=+y x 上的一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=60°,求△F 1PF 2的面积。 与椭圆有关的的轨迹方程的求解问题： 例题6：已知圆922=+y x ，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′,点M 在PP ′上，并且 求点M 的轨迹。 直线与椭圆关系问题 例题7：已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，直线y=x+1与该椭圆交于点P 、Q ，且 0·=→ → OQ OP ,|PQ|=210 ,求椭圆的方程。 ' =→→MP PM 2
高中数学——集合教学设计的说明
人教A版必修1《集合的含义与表示》教学设计说明 一、本质、地位、作用分析 集合是中学数学的一个重要的基本概念，集合语言是现代数学的基本语言.在小学数学中，就渗透了集合的初步知识，到了初中，更进一步应用集合的语言表示有关的数学对象.例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集.把集合的知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础.例如，下一章讲函数的概念时，使学生不仅把函数看成变量间的依赖关系，同时还会用集合与对应的语言刻画函数.高中数学只将集合作为一种语言来学习，让学生学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用集合语言进行交流的能力. 二、教学目标分析 知识目标： 理解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；会用适当的方法表示集合. 能力目标： 培养学生合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；并通过自己举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义. 情感目标： 使学生感受数学的简洁美与和谐统一美,培养学生独立思考、敢
于创新、勇于探索的科学精神,激发学生学习数学的兴趣,从而实现情感、态度、价值观方面的培养目标. 教学重点： 集合的含义与表示方法. 教学难点： 集合表示方法的恰当选择. 三、教学问题诊断 对学生而言，集合是进入高中以后的第一节课，也是抽象的概念，学生不易理解，从初中数学的感性认识走到高中数学的理性思考，是一个大的转变，应该从对集合的学习有一个新的开始. 针对学生的认知水平，在教学过程中通过引入贴近生活的实例，与学生一起归纳出集合的含义、元素的特征及关系.集合中的元素是什么，集合的表示方法，元素与集合的关系等等，都要借助具体实例展示出来. 四、教学流程 根据以上综合分析，这节课的教学流程为：对集合的初步认识→实例的引入→分组合作探究→集合概念的产生→元素特征的深入分析→元素与集合的关系→常用数集及其记法→集合的表示方法（列举法、描述法）→列举法、描述法的练习→学生对本节内容的自我总结→教师布置作业 五、教法特点
高中数学教学设计模版及案例
联系已学知识，可以解决这个问题。 对应问题1. 第三边c 是确定的，如何利用条件求之？ 首先用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c ()() 222 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-? C a 从而2222cos c a b ab C =+-，同理可证2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+- 教学情境二 对余弦定理的理解、定理的推论 对应问题2 公式有什么特点？能够解决什么问题？ 等式为二次齐次形式，左边的边对应右边的角。主要作用是已知三角形的两边及夹角求对边。 对应问题3 从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：（由学生推出）
222cos 2+-=b c a A bc ； 222cos 2+-=a c b B ac ； 222 cos 2+-=b a c C ba [理解定理]余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角求第三边； ②已知三角形的三条边求三个角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若?ABC 中，C=90，则cos 0=C ，这时222=+c a b 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 教学情境三 例题与课堂练习 例题．在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ⑴解：2222cos =+-b a c ac B =222+-?cos 045=2121)+-=8 ∴=b 求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： ⑵解法一：∵cos 2221,22+-=b c a A bc ∴060.=A 解法二：∵0sin sin sin45a A B = 又 a ＜c ，即00＜A ＜090, ∴060.=A 评述：解法二应注意确定A 的取值范围。 课堂练习 在?ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=120°） 教学情境四 课堂小结 （1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。 （3）正、余弦定理从数量关系的角度解释了三角形全等，已知边角求做三角形两类问题，使其化为可以计算的公式。 习题设计 1． 在?ABC 中，a=3,b=4,?=∠60C ,求c 边的长。 2． 在?ABC 中，a=3,b=5，c=7,求此三角形的最大角的度数。 3． 若sin :sin :sin 5:7:8A B C =,求此三角形的最大角与最小角的和的大小。 4． △ABC 中，若()222tan a c b B +-=，求角B 的大小。 5． ?ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,求角C 的大小） （本案例由河北师大附中 刘建良设计，由汉沽五中 纪昌武 在目标设计和习题设计方面略作改动） 编写要求： 1、页面设置：A4，上、下、左、右边距都为2cm ；教学课题：小四宋体加粗；问题设计：课本上没有的有价值的情境、问题、例题、习题用五号黑体字，并简要说明设计意图。其他都用五号宋体。“目标设计、情境设计、问题设计、习题设计”要加粗。 2、目标设计主要写知识目标的设计。目标要具体明确、具有可操作性、可测性。
人教版高中数学_全册教案
第一章空间几何体 第一章课文目录 1．空间几何体的结构 1．空间几何体的三视图和直观图 1．3空间几何体的表面积与体积 知识结构： 一、空间几何体的结构、三视图和直观图 1．柱、锥、台、球的结构特征 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 棱柱与圆柱统称为柱体； （2）锥 棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 棱锥与圆锥统称为锥体。 （3）台 棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。 圆台和棱台统称为台体。 （4）球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；
半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。 （5）组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 几种常凸多面体间的关系 名称棱柱直棱柱正棱柱 图形 定义有两个面互相平 行，而其余每相 邻两个面的交线 都互相平行的多 面体 侧棱垂直于底面 的棱柱 底面是正多边形的 直棱柱 侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形 平行于底面的截面 的形状与底面全等的多 边形 与底面全等的多 边形 与底面全等的正多 边形 名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形 定义有一个面是多 边形，其余各面 底面是正多边 形，且顶点在底 用一个平行于 棱锥底面的平 由正棱锥截得 的棱台
完整word版,人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案
人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案 一、课型 新授课 二、教学内容 1、椭圆的定义； 2、椭圆的两类标准方程； 3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。 三、教学目标 1、知识与技能：理解并掌握椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；掌握椭圆标 准方程的两种形式及其推导过程；掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系。能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程； 2、过程与方法：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力； 通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系； 3、情感态度与价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学 习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。培养学生的探索能力和进取精神，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感，同时培养团队协作的能力。 四、教学重点、难点 重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程； 难点：椭圆标准方程的推导过程。 五、教学方法 教师引导为主、学生自主探究为辅。 六、教学媒体
幻灯片、黑板。 七、教学过程 （一）创设情境，导入新课 用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型，它运行的轨迹又是什么图形呢？可以看出，它的运行轨迹是椭圆。此时老师指出：在实际生活中，椭圆随处可见，很多学科也涉及到椭圆的应用，所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。这就是我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。 （二）问题探究 老师提问：我们从直观上认识了椭圆，那么椭圆它是如何形成的呢？椭圆满足什么样的条件呢？它的定义又是如何？ 1、椭圆的形成 下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具：一段固定长的细绳、两颗钉子、一块长3分米，宽3分米的硬纸板。然后将钉子系在细绳的两头，将钉子固定在图板上，使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度（请同学们考虑一下，为什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度？），我们用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动，请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢？ 如果我们将两个钉子之间的距离变大，使得两个钉子之间的距离恰好等于细绳的长度，同样用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动。我们发现笔尖只能在两个钉子之间来回运动，这时笔尖运动的轨迹是两个钉子之间的线段。 将两个钉子之间的距离再增大，此时就可以发现，细绳的长度比两个钉子之间的距离小，笔尖没有轨迹。 再用课件给学生进行演示： 通过演示可以发现，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。 请同学们根据作图的过程和老师刚才的演示，思考：在作图过程中，有哪些物体的位置没变化？有哪些量没有变化？如何来归纳椭圆的定义呢？ 2、椭圆的定义 平面内到两定点F 1、F 2 的距离之和等于常数(大于|F 1 F 2 |)的点的轨迹叫做 椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。通常常数
高中数学教学设计
高中数学教学设计
等比数列的前n项和（第一课时） 一．教材分析。 （1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 （2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。 二．学情分析。 （1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。 （2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。 （3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三．教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为： （1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。 （2）过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．
高一数学教案人教版
高一数学教案人教版 【篇一：人教版高中数学必修3全册教案】 教育精品资料 按住ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 按住ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 第一章算法初步??????????????11.1算法与程序框图???????????????2 1.1 算法与程序框图（共3课时） 1.1.1 算法的概念（第1课时） 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点； 2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想； 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力. 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想. 二、实例分析 例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解：第一步：把水注入电锅； 第二步：打开电源把水烧开； 第三步：把烧开的水注入热水瓶. （以上算法是解决某一问题的程序或步骤）
(完整)高中数学分层教学设计
高中数学分层教学教学设计 一意义与价值 现代课程理论的观点——教学设计是应用系统方法对各种课程资源进行有机整合，对教学过程中相互联系的各部分作出科学合理安排的一种构想。教学设计直接反映出教师的业务水平，反映教师对教材的理解程度和对新课标的把握尺寸，它直接影响课堂教学效果，尤其在全面推进素质教育的同时，更要注重培养学生的个性品质。所以我们在本课题的研究中把“高中数学分层教学设计”作为一个子课题研究，通过对本课题的研究，能彻底改变教师的教学观念，在提高教师业务水平的同时，是教师在教学方法有新的突破，在教学艺术出具特色，在教学风格上有自己的独特之处，为培养特色教师奠定基础，在全面提高教学质量的同时，更注重培养学生的个性品质及非智力因素。 二研究目的 1、教学设计科学合理，教学目标明确，教学设计环节齐全，教学过程中的其他环节紧扣教学目标，教学设计要科学严谨，不能有形式无内容，也不能有内容不注重形式，所有的教学设计都是围绕教学目标所设定，教学目标的实现是通过测试而实现的。 2、教学设计中要体现新课标的核心理念，新课标是教学的指导思想，深入理解新课程标准是对教学内容的定位，是确定教学内容三维目标的主要依据，同时在教学设计中，要贯穿分层教学思想，在备、讲、改、辅、作业等诸多环节中体现分层教学思想。 3 、通过对本课题的研究，教学设计要在科学合理可行的基础上，又要体现教学艺术和教学风格。 三研究内容 1、学生情况分层分析： 对学生学习改内容时，要分析各层学生原有的知识背景，学习该内容的生活经验和学习经验，对各层学生进行测试和访谈，学习该内容可能存在的困难对各层学生进行访谈，对学生的学习兴趣、学习积极性、学习方法、学习习惯对学生进行分层方法。 2 、教学内容分层分析：
人教版高中数学集合教案
1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学过程: 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2
（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（? 也可表示为 ）两种。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32 A. 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集A 记作 a ?A （或a A ） 注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… 2、“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写。 4 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 请回答：已知a+b+c=m ，A={x|ax 2+bx+c=m}，判断1与A 的关系。 1.1.2 集合间的基本关系 教学目标：1.理解子集、真子集概念； 2.会判断和证明两个集合包含关系； 3 . 理解 ”、“?”的含义； 4.会判断简单集合的相等关系； 5.渗透问题相对的观点。 教学重点：子集的概念、真子集的概念 教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算 教学过程： 观察下面几组集合，集合A 与集合B 具有什么关系？ (1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}. (2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}. (3) A={正方形}，B={四边形}. (4) A=?，B={0}. ∈?∈
高中数学精讲教案-椭圆及其性质
高中数学-圆锥曲线与方程 第1讲椭圆及其性质 考点一椭圆的标准方程 知识点 1椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数． 2椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S△PF 1F 2 ＝ 1 2|PF1||PF2|·sinθ＝b 2· sinθ 1＋cosθ ＝b2tan θ 2＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为 bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3椭圆的标准方程 椭圆的标准方程是根据椭圆的定义，通过建立适当的坐标系得出的．其形式有两种： (1)当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)． (2)当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为y2 a2＋ x2 b2＝1(a>b>0)． 4特殊的椭圆系方程 (1)与椭圆x2 m2＋y2 n2＝1共焦点的椭圆可设为 x2 m2＋k ＋ y2 n2＋k ＝1(k>－m2，k>－n2)． (2)与椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆可设为 x2 a2＋ y2 b2＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或 y2 a2＋ x2 b2＝k2(k2>0，焦 点在y轴上)．
(新)高中数学教学设计
等比数列的前n项和 （第一课时） 一．教材分析。 （1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 （2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。 二．学情分析。 （1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。 （2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。 （3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三．教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为： （1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。
高中数学人教版必修4全套教案
第1，2课时1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角：按顺时针方向旋转形成的角
角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究： 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{β|β=α+k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o
高中数学椭圆的教学设计
选修1-1《2.1.1 椭圆及其标准方程》教学设计 一、指导思想与理论依据 1. 新课程标准理念——高中数学新课程标准指出：“强调本质，注意适度形式化。高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，让学生体会蕴涵在其中的思想方法。”在“椭圆及其标准方程”的引入与推导中，遵循学生的认识规律，通过动手实践、观察思考、合作交流、应用反思等过程，让学生逐步将认识由感性上升到理性，把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学，努力揭示知识的发生、发展过程。 2. 建构主义理论——建构主义认为：知识不是通过教师讲授得到的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，充分利用各种学习资源（包括文字教材、音像资料、多媒体课件、软件工具以及从Internet上获取的各种教学信息等等），通过意义建构而获得。由于学习是在一定的情境下借助其他人的帮助即通过人际间的协作活动而实现的意义建构过程，因此建构主义学习理论认为“情境创设”、“协作学习”、“会话交流”是学习环境的基本要素。 二、教学背景分析 1. 教材分析 解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。平面解析几何问题，就是借助建立适当的坐标系，科学合理地把几何问题代数化，运用代数的方法来研究几何问题。 在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法，并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形。在选修1中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。本章所研究的三种圆锥曲线都是重要的曲线，因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种圆锥曲线的学习的重点放在了椭圆上，通过求椭圆的标准方程，是学生掌握推导出这一类轨迹方程的一般规律和化简的常用方法。因此，“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。 2. 学情分析 知识方面 （1）在必修2第二章里学生已经学习了直线和圆的方程，并初步熟悉了求曲线方程的一般方法和步骤，具备主动探究椭圆知识的基础； （2）根据日常生活中的经验，学生对椭圆有了一定的认识，但仍没有上升到成为“概念”的水平，将感性认识理性化将会是对他们的一个挑战； （3）在初中阶段没有涉及过含两个字母、两个根式的方程化简问题； 自身特征方面 （1）我所教授的班级是文科班，他们普遍对数学有一定的畏难情绪，但是他们思维比较活跃，对新鲜事物有一定的好奇心和探索欲望，对老师的讲授敢于质疑，有自己的想法和主见，愿意自己去探索是什么和为什么。并且具备了初步的探索能力；
(完整版)高中数学教学设计示例
教学设计示例 加法原理和乘法原理 教学目标 正确理解和掌握加法原理和乘法原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力． 教学重点和难点 重点：加法原理和乘法原理． 难点：加法原理和乘法原理的准确应用． 教学用具 投影仪． 教学过程设计 （一）引入新课 从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理．它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般．虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后
学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它． 今天我们先学习两个基本原理． （二）讲授新课 1．介绍两个基本原理 先考虑下面的问题： 问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4个班次，汽车有 个班次，轮船有3个班次．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？ 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法． 这个问题可以总结为下面的一个基本原理（打出片子——加法原理）：
加法原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+m 种不同的方法． n 请大家再来考虑下面的问题（打出片子——问题2）： 问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条（见下图），从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C 村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C 村共有3×2=6种不同的走法． 一般地，有如下基本原理（找出片子——乘法原理）：
高中数学教学设计模版及案例
教学情境一：（问题引入）在ABC中，已知两边a,b和夹角C，作出三角形。 联系已学知识，可以解决这个问题。
对应问题1. 第三边c 是确定的，如何利用条件求之 首先用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c ()() 222 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-? C a 从而2222cos c a b ab C =+-，同理可证2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+- 教学情境二 对余弦定理的理解、定理的推论 对应问题2 公式有什么特点能够解决什么问题 等式为二次齐次形式，左边的边对应右边的角。主要作用是已知三角形的两边及夹角求对边。 对应问题3 从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角 从余弦定理，又可得到以下推论：（由学生推出） 222cos 2+-=b c a A bc ； 222cos 2+-=a c b B ac ； 222 cos 2+-=b a c C ba [理解定理]余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角求第三边； ②已知三角形的三条边求三个角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系 （由学生总结）若?ABC 中，C=90，则cos 0=C ，这时222=+c a b 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 教学情境三 例题与课堂练习 例题．在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ⑴解：2222cos =+-b a c ac B =222+-?cos 045=2121)+-=8 ∴=b 求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： ⑵解法一：∵cos 2221,22+-==b c a A bc ∴060.=A 解法二：∵0sin sin sin45a A B b = 又 a ＜c ，即00＜A ＜090, ∴060.=A 评述：解法二应注意确定A 的取值范围。
新人教版高中数学必修一全套教案
第一章集合与函数概念 §1．1集合 1.1.1集合的含义与表示（第一课时） 教学目标：1.理解集合的含义。 2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。 3.熟记有关数集的专用符号。 4.培养学生认识事物的能力。 教学重点：集合含义 教学难点：集合含义的理解 教学方法：尝试指导法 教学过程： 引入问题 （I）提出问题 问题1：班级有20名男生，16名女生，问班级一共多少人？ 问题2：某次运动会上，班级有20人参加田赛，16人参加径赛，问一共多少人参加比赛？ 讨论问题：按小组讨论。 归纳总结：问题2已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述（板书标题）。 复习问题 x-< 问题3：在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有理数的集合，不等式73的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等）。（II）讲授新课 1．集合含义 通过以上实例，指出： （1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。 说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。 （2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 问题4：由此上述例中集合的元素分别是什么？ 2. 集合元素的三个特征
由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征： （1） 确定性： 设A 是一个给定的集合，a 是某一具体的对象，则a 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种而且只有一种成立。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋） “中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P 周围的点”一般不构成集合 元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) 若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A ，记作a ∈A ； 若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ?A 。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32?A.(请学生填充)。 （2） 互异性：即同一集合中不应重复出现同一元素。 说明:一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此,以后提到集合中的两个元素时,一定是指两个不同的元素. 如:方程(x-2)(x-1)2 =0的解集表示为{1,-2 },而不是{ 1,1,-2 } （3）无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列，调换. 。 3.常见数集的专用符号 （III ）课堂练习 （IV ）课时小结 1.集合的含义； 2.集合元素的三个特征中，确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集合的表示，无序性可用于判定集合的关系。
椭圆的标准方程教案
河北阜城中学--高二数学组 组题人：高泽宁 审核人：沈志华 日期：2019年 月 日 …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○ 学校： 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○ 第 1 页 共 3 页 学习目标： 1：熟练掌握椭圆的定义。 2：熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆并确定椭圆的标准方程。 学习重点：椭圆的定义及标准方程。 学习难点：椭圆的定义及标准方程的推导。 教学过程： 一：椭圆概念的引入： 1：动画演示：（1）天体行星和卫星运行的轨道。 （2）立体几何中作圆的一种直观图。 2：手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F 1,F 2两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。 分析：在这个运动过程中，什么是不变的？ 答：两个定点，绳长。 即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变） 3：由此总结椭圆定义： 平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常熟（大于）的点的轨迹叫作椭圆， 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 说明 注意椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （1）两个定点------两点间距离确定。 （2） 绳长------轨迹上任意点到两定点距离和确定。 思考： 改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 绳长能小于两图钉之间的距离吗？ 二：根据定义推导椭圆标准方程： 1：复习求轨迹方程的基本步骤： 2：推导：取过焦点21F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴。 设P （x,y ）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c （ c>0）. 则：)0,()0,(21c F c F -，又设M 与F 1,F 2距离之和等于2a （常数） {}a PF PF P P 221=+=∴ 221)(y c x PF ++= 又， a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得： )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22> 022>-∴c a 令222b c a =-∴代入，得： 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得： 选修2-1 第一章 2.2.2 椭圆的标准方程 教案 试卷类型 学案 ※ 数学是一切知识的最高形式----柏拉图 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a ＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在