静安区2017学年第一学期期末学习质量调研

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九年级数学 2018.1 (考试时间:100分钟 总分:150分)

考生注意:

1. 本试卷含三个大题,共25题,答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试

卷上答题一律无效。

2. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步

骤。

3. 答题时可用函数型计算器。

一、 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1. 化简()

5

2a a ?-所得的结果是 B

（A ）7a ； （B ）7a -； （C ）10a ； （D ）10

a -. 2. 下列方程中，有实数跟的是 D （A ）

011=+-x ； （B ）11=+

x x ； （C ）0324=+x ； （D ）11

2-=-x . 3. 如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC 和BD 交叉构成，利用它可以把线段按一定

的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OC OA 3=，OD OB 3=），然后张开两脚，使A ，B 两个尖端分别在线段a 的两个端点上，当cm CD 8.1=时，AB 的长是 B

（A ）cm 2.7；

（B ）cm 4.5； （C ）cm 6.3； （D ）cm 6.0.

4. 下列判断错误的是 C

（A ）如果0=k 或0 =a ，那么0

=a k ；

（B ）设m 为实数，则()

b m a m b a m

+=+；

（C ）如果e a //，那么e a a

=；

（D ）在平行四边形ABCD 中，=-. 5. 在ABC Rt ?中，?=∠90C ，如果3

1

sin =

A ，那么

B sin 的值是 A （A ）

322； （B ）22； （C ）4

2

； （D ）3.

第3题图

C A

B

D C

B A

6. 将抛物线322

1--=x x y 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线

c bx ax y ++=22重合，现有一直线323+=x y 与抛物线c bx ax y ++=22相交，当32y y ≤时，

利用图像写出此时x 的取值范围是 C

（A ）1-≤x ； （B ）3≥x ； （C ）31≤≤-x ； （D ）0≥x .

二、填空题 7. 已知

31==d c b a ，那么d b c a ++的值是 3

1 . 8. 已知线段AB 长是2厘米，p 是线段AB 上的一点，且满足BP AB AP ?=2,那么AP 长为

)15(- 厘米.

9. 已知ABC △的三边长是262、

、，DEF △的两边长分别是1和3，如果ABC △与DEF △相似，那么DEF △

10. 如果一个反比例函数图像与正比例函数x y 2=图像有一个公共点),1(a A ，那么这个反比例函数的解

析式是 x

y 2

=

. 11. 如果抛物线c bx ax y ++=2

（其中c b a 、、是常数，且0≠a ）在对称轴左侧的部分是上升的，那

么 < .（填“<”或“>”）

12. 将抛物线2

)(m x y +=向右平移2个单位后，对称轴是y 轴，那么m 的值是 2 .

13. 如图，斜坡AB 的坡度是4:1，如果从点B 测得离地面的铅垂线高度BC 是6米，那么斜坡`

AB 的

.

(第15题图) (第13题图)

14. 在等腰ABC Δ中，已知5==AC AB ，8=BC ，点G 是重心，联结BG ，那么CBG ∠的余切值

是____4______.

15. 如图，ABC Δ中，点D 在边AC 上，C ABD ∠=∠，9=AD ，7=DC ，那么=AB ___12____.

D

C

B

A

16. 已知梯形ABCD ，BC AD //，点E 和点F 分别在两腰AB 和DC 上，且EF 是梯形的中位线，

3=AD ，4=BC 。设=，那么向量=____a

6

7_______。

（用向量表示） 17. 如图，ABC Δ中，AC AB =，?=∠90A ，6=BC ，直线BC MN //，且分别交边AB ，AC 于

点M 、N ，已知直线MN 将ABC Δ分为面积相等的两部分，如果将线段AM 绕着点A 旋转，使点

M 落在边BC 上的点D 处，那么=BD _____3_____。

N M

C

B

A

(第18题图) (第17题图)

18. 如图，矩形纸片ABCD ，4=AD ，3=AB ，如果点E 在边BC 上，将纸片沿AE 折叠，使点B 落

在点F 处，联结FC ，当EFC Δ是直角三角形时，那么BE 的长为___2

3

/

3______。 19. （本题满分10分）计算：

???-+?+??60sin 60tan 1

60cos 21

30cos 45cot 3 。

解：原式123

212233121212

3

13=-+=?-+?+

?=

20. （本题满分10分）解方程组：?

??=----=+②

①03)(2)(5

2

y x y x y x 。

解：由②得：0)1)(3(=+---y x y x ∴ 3=-y x 或 1-=-y x

∴ ???=-=+35y x y x 或 ?

??=-=+35

y x y x

∴???==1411y x ???==32

2

2y x

21. （本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知：二次函数图像的顶点坐标是()5,3，

且抛物线经过点()3,1A 。 （1）求此抛物线的表达式；

（2）如果点A 关于该抛物线对称轴的对称点是B 点，且抛物线与y 轴的交点是C 点，求ABC ?的

面积。

解：（1）设抛物线的解析式为：5)3(2

+-=x a y 将()3,1A 代入上式得：5)31(32+-=a

解得：2

1

-

=a ∴抛物线的解析式为：5)3(2

1

2+--

=x y （2） ∵ ()3,1A 抛物线对称轴为：直线3=x ∴ ()3,5B

令0=x ，则2

15921=+?-

=y ∴??

? ??

21,

0C ∴ 5213152121=-?-?=-?=

?C A ABC y y AB S

22. (本题满分10分，其中第(1)小题5分，第(2)小题5分)

如图，在一条河的北岸有两个目标M 、N ,现在位于它的对岸设定两个观测点A 、B .已知

AB //MN ,在A 点测得?=∠60MAB ,在B 点测得?=∠45MBA ,600=AB 米. (1)求点M 到AB 的距离；(结果保留根号)

(2)在B 点又测得?=∠53NBA ,求MN 的长.(结果精确到1米)

(参考数据:732.13≈,8.053sin ≈?,6.053cos ≈?,33.153tan ≈?,75.053cot ≈?)

解：（1）过点M 作AB MD ⊥于点D

∵AB MD ⊥

∴?=∠=∠90MDB MDA

∵?=∠60MAB ，?=∠45MBA

∴在ADM Rt ?中，

3tan ==A AD

MD

； 在BDM Rt ?中，

1tan =∠=MBD BD

MD

∴AD MD BD 3==

∵m AB 600=

∴m BD AD 600=+ ∴m AD AD 6003=+

∴()

m AD 3003300-= ∴()

m MD BD 3300900-== ∴点M 到AB 的距离()

m 3300900-。 （2）过点N 作AB NE ⊥于点E

∵AB MD ⊥，AB NE ⊥ ∴MD //NE ∵AB //MN

∴四边形MDEN 为平行四边形

∴()

m MD NE 3300900-==，DE MN = ∵?=∠53NBA ∴在NEB Rt ?中，

75.053cot ≈?=NE

BE

∴()

m BE 3225675-≈

∴m BE AD AB MN 95375225≈-≈--=。

23. 已知：如图，梯形ABCD 中，AB DC //，BD AD =，DB AD ⊥，点E 是腰AD 上一点，作

?=∠45EBC ，联结CE ，交DB 于点F ． （1）求证：ABE ?∽DBC ?；

（2）如果

6

5

=BD BC ，求BDA BCE S S ??的值．

证：（1）∵?=∠90ADB ，BD AD =

∴?=∠=∠45DBA A 又∵AB DC //

∴A DBA CDB ∠=?=∠=∠45 又∵?=∠=∠45DBA CBE ∴CBD EBA ∠=∠ ∴ CBD ?∽EBA ? （2）∵CBD ?∽EBA ? ∴

AB

BD

EB CB = ∵ DBA CBE ∠=∠

∴ 36252

=

???

??=??BD BC S S BDA BCE

24. 在平面直角坐标系xoy 中（如图），已知抛物线3

5

2

-+=bx ax y ，经过点)0,1(-A 、)0,5(B . （1）求此抛物线顶点C 的坐标；

（2）联结AC 交y 轴于点D ，联结BD 、BC ，过点C 作BD CH ⊥，垂足为点H ，抛物线对称轴交x

轴于G ，联结HG ，求HG 的长。

解：（1）把)0,1(-A 、)0,5(B 代入抛物线解析式，得：

???????=-+=--035525035b a b a ，解得：???

????

-

==343

1b a ， ∴抛物线的解析式为：3)2(3

1

35343122--=--=x x x y ， ∴)32(-，C

（2）方法一：设BD 与CG 相交于点P

1:--=x y AC ，∴)1,0(-D ,

151:-=x y BD

，)5

3

,2(-P

∵△BPG ∽△CPH ，

∴△HPG ∽△CPB ， ∴

PB PG

BC HG =， ∴

265

3532

3=

HG ,

∴13

13

3=

HG 方法二：过点H 作CG HM ⊥于M ， ∵22=CD ，23=BC ，26=BD ,

∴222BC CD BD +=， ∴?=∠90BCD ，、 ∵CD BC BH CH S BCD ?=?=

2

1

21?, ∴2613

6

26

2

322=

?=

CH ， ∵HCG ABD ∠=∠， ∴△OBH ∽△MCH ，