高中数学幂函数

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1 a , f ( x) x 2 2
25 5
x
f (25)
1.所有幂函数在 (0, ) 上均有定义,当 象限,都经过定点 (1,1)
观察下列幂函数的图象,并完成填空:
x (0, ) 时图象均在第一
2、若 幂函数 为奇函数,则图象在 一、三 象限且关于 原点 对称; 若 幂函数 为偶函数,则图象在 一、 二 象限且关于 y 轴对称; 定义域为 (0, ) 的幂函数 为非奇非偶函数,则图象只在 第一 象限
yx
3
yx
2
yx x
3
2 3
2
yx
1 2
x
11 ) 3.当 a 0 时,幂函数图象都经过 (0,0)和(, 点,并且在 (0, )
上为

函数。
yx
1 3
yx
1 4
y x4
y x5
4. 幂指数 a 0 时,幂函数的图象在 (0, ) 上单调递 减,类似反比例 y 函数图象,以 x 轴、 轴为渐近线
x3 ,这里 y
(4)如果一个正方形场地的面积为 x ,那么这个正方形的边 长
yx
1 2
,这里
y 是 x 的函数;
(5)如果某人 x s 内骑车行进了 1 km , 那么他骑车的平均 速度 y x 1 km/s,这里 y 是 x 的函数;
问题1:这五个函数 是否为指数函数?为什么?
y y y y y x, x , x , x , x
2
3
1 2
1
答:都不是指数函数,指数函数是形如 y a x(0<a <1) 的函数,其中指数x是自变量,底数a是常数,而这五个函 数的自变量x都不是指数。
问题2:这五个函数的共同特征是什么?
答:都是是形如 y 量,指数a是常数。
x 的函数,其中底数x是自变
a
y x a 的函数称为 定义:一般地,形如
R R
x x 0 x x 0
y y 0

y y 0 y y 0
非奇非偶 奇
单调递减
奇偶性
第一象限 的单调性


单调递增 单调递增
单调递增 单调递增
都过特殊点 (1,1) (1,1)(1,1) (1,1)(1,1) 图象分布象限 第1,3
象限 第1,2 象限 第1,3 象限 第1象限 第1,3 象限
3.当 a 0 时,幂函数图象都经过 增 函数。
(0,0)
点并且在
(0, )
上为
4. 幂指数 a 0 时,幂函数的图象在 (0, ) 上单调递减,类似反比例函 数图象,以 x 轴、y 轴为渐近线
作业
1.课本p79的习题2.3的第1,2题 2.课本p82的复习参考题A组的第10题 3.练习册上:p62至p64
解:取
上的增函数故 1.10.1 1.20.1,
(2)0.24
0.2
与0.25
0.2
,
f ( x) x 0.2 , 则 解:取
幂指数0.1>0,故f(x)为(0, ) 上的减函数,故 0.240.2 0.250.2 ,

一、定义: 一般地,形如 y 二、性质;

的函数称为幂函数,其中x是自变量,a是常数。
幂 函

石河子第一中学 颜 波
我们先看几个具体问题:
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜 x 千克,那么她 需要支付 y x 元,这里 y 是 x 的函数; (2)如果正方形的边长为 x ,那么正方形的面积 是 x 的函数;
y x2 ,这里y
(3)如果正方体的边长为 x ,那么正方形的体积 y 是 x 的函数;
y x 2
y x 3
yx
3 2
yx

2 3
例1、求下列函数的定义域与值域
(1) y x
6
(2) y x
3 5
(3) y x
1 4
(4) y x 3
yx
yx
6
3 5
yx
1 4
y x3
例2、比较下列数的大小
(1)1.10.1 与1.20.1 ,
f ( x) x 0.1 , 则 幂指数0.1>0,故f(x)为 0,

27 8 1 0
8 27
yx
3
y x3
函数
性质
1 2
定义域
奇偶性 非奇非偶 …
第一象限 的单调性 单调递增
图象分布象限
第1象限
yபைடு நூலகம்x
x x 0
0
x y
1 1
4 2
9
0
3

y=x
1 2
y=x
1 2
函数 性质 定义域 值域
yx
R R
yx

2
y x y=x
3
1 2
y=x 1
练习:1、判断下列函数中有几个幂函数? 1 2 y 2x2 ⑴ yx x ⑵ ⑶ y 2

yx


y ( x 1)
3
x
答: ⑶ ,⑷
2、若函数 y (m 2) x3 , 为幂函数,则m=
3 5
3、若幂函数f(x)的图象过点(9,3),则 f(25)=
解:设

f ( x) x a,则由题意 f (9) 3,即 9a 3, 1
xa
1.所有幂函数f(x)在 (0, ) 上均有定义,当 x (0, ) 时图象均在第 一象限,图象都经过定点(1,1)
2、若幂函数 f ( x) 为奇函数,则图象在一、三象限且关于原点对称;
若幂函数 f ( x) 为偶函数,则图象在一、二象限且关于 y 轴对称;
定义域为 (0, ) 的幂函数(非奇非偶函数),其图象只在第一象限
幂函数,其中x是自变量,a是常数。
分别作出这五个函数的图象
1、先画三个大家 比较熟悉的图象:
(1) y x,
(2) y x 2, (3) y x 1,
性质 定义域 函数
奇偶性 奇
第一象限 的单调性 单调递增
图象分布象限 第1,3象限
y x3

x
y


3 2
1 0
1
1
2
3

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