角平分线的几种辅助线作法与三种模型
角平分线的几种辅助线
作法与三种模型
Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
一、角平分线的三种“模型”
模型一：角平分线+平行线→等腰三角形
如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥OB，交OA于点E，则EO=EP.
AAA
EPCEC
DFEP
OBBCOFB
图1图2图3
例1如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE.
模型二：角平分线+垂线→等腰三角形
如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作
EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF，
PE=PF.
例2如图4，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，
垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C.
模型三：角平分线+翻折→全等三角形
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题.
D
AE
AP
/BC
DB/BC
图5图6
例3 如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点.求证：PB+PC>AB+AC.
二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法
一、已知角平分线，构造三角形
1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。
求证：1
()2
BE AC AB =-
2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠
ECD ．
二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段
1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。
求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。
三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段
1、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠2
2、2、如图2，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ．
2
1F E
D
C
B
A
N
P
E
D
C
B
A
2
1
P
F
E
C
B
A
A
G C
H
D
E
F
图2
A
B
D
C
E
F
图
求证：AE=ED 3、（四（2））
四、以角的平分线为对称轴构造对称图形 例1如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ． 求证：AB=AC+CD ．
2、例题：如图2，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800， 求证：AD=DC ．
五、利用角的平分线构造等腰三角形 1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD
平分 ∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点
E ．
求证：CD=2
1
BE ．
B
A
C D E
图1
A
B D
E
C
B A
C D
E 图2