新人教版八年级上册数学[分式全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习
重难点突破
课外机构补习优秀资料
分式全章复习与巩固（基础）
【学习目标】
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．
3．掌握分式的四则运算．
4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．
5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．
【知识网络】
【要点梳理】
【分式全章复习与巩固知识要点】
要点一、分式的有关概念及性质
1．分式
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A
B
叫做分式.其中A
叫做分子，B叫做分母.
要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即
当B≠0时，分式A
B
才有意义.
2.分式的基本性质
（M为不等于0的整式）. 3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算
1．约分
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
3．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
a b a b c c c
±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
（2）乘法运算 a c ac b d bd
?=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算 a c a d ad b d b c bc
÷=?=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算
分式的乘方，把分子、分母分别乘方.
4．零指数
.
5.负整数指数
6.分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
要点三、分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.
要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将
所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.
要点四、分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
【典型例题】
类型一、分式及其基本性质
1、在m
a y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C ； 【解析】()21131x x a x x x y m
+++，，，是分式. 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
2、当x 为何值时，分式293
x x -+的值为0？ 【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值．
【答案与解析】
解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．
由题意，得290,30.x x ?-=?+≠?
解得3x =． ∴ 当3x =时，分式293
x x -+的值为0． 【总结升华】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况.
举一反三：
【变式】（1）若分式的值等于零，则x ＝_______；
（2）当x ________时，分式没有意义．
【答案】（1）由24x -＝0，得2x =±. 当x ＝2时x －2＝0，所以x ＝－2；
（2）当10x -=，即x ＝1时，分式
没有意义． 类型二、分式运算
3、计算：2222132(1)441
x x x x x x x -++÷-?++-． 【答案与解析】 解：222222132(1)(1)1(2)(1)(1)441(2)(1)1
x x x x x x x x x x x x x x -+++-++÷-?=??++-+-- 2
2
(1)(2)(1)x x x +=-+-． 【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把2
(1)x -和2321x x x ++-先约分；二是将(1)x -和(1)x -约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键．
举一反三：
【变式】（2016?聊城）计算：228244244x x x x x x +-??-÷
?---+??
． 【答案】 解：原式=()()()()28222224x x x x x x +-+-?+--
=()()()()242224
x x x x x ---?+-- =22
x x --+ ．
4、计算：
（1）5231010-??； （2）134139m np
mn p ----÷； （3）22223a a b b ??-??÷ ? ?????
；（4）1322233(3)(2)(3)mn m n m n ----÷． 【思路点拨】（1）题和（2）题只有乘除运算，按幂的乘法和除法法则进行计算；（3）题中出现了分式，可先将每一个分式转化为整数指数幂，然后再用法则计算；（4）题中出现了整数幂的乘法、除法、乘方计算；先算乘方，再算乘除．
【答案与解析】
解：（1）原式5233133103103101000-+-=?=?=?
=； （2）原式5
111(4)3(1)252221(39)33n m n p m n p m p
---------=÷==；
（3）原式242
222244994a a a b b b b
a =÷= 242222999444a
b a a
--+-===； （4）原式333244333(2)(3)m n m n m n ---=-÷
32
4
34334(3)44
43236363m m n m n n +-------?==-=-． 【总结升华】（1）整数指数幂的运算结果一般要用正整数指数幂来表示．如：（4）题中的结
果得到44
36m n --后，还要化为4
436m n -．
（2）进行混合运算时特别要注意运算顺序． 类型三、分式方程的解法
【 分式全章复习与巩固 例6（1）】
5、解方程23222
x x x -=+- 【答案与解析】
解：23222
x x x -=+- 方程两边同乘以()()22x x -+，得
()()()()2232222x x x x x --+=+- 72x =
27x =
检验： 当27x =时，最简公分母()()22x x -+≠0， ∴27
x =是原方程的解. 【总结升华】分式方程一定要记得检验.
举一反三：
【变式】()1231244
x x x -=---， 【答案】
解： 方程两边同乘以()24x -，得
()()
12422332x x x =---=-∴
检验：当32x =-
时，最简公分母()240x -≠， ∴32
x =-是原方程的解． 类型四、分式方程的应用
6、（2015?东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？
【思路点拨】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．
【答案与解析】
解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得：
﹣=5，
解得：x=20，
经检验：x=20是原方程的解．
答：原计划每天铺设20米管道．
【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
举一反三：
【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?
【答案】
解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h ． 根据题意得：230.50.520360
x x ?+=+． 解得：5x =．
经检验5x =是原方程的根且符合题意．
当5x =时，315x =．
答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．
八年级数学分式的加减法练习题
17.2.2 分式的加减法（1） 同步练习 一、请你填一填(每小题4分,共36分) 1. 异分母分式相加减，先________变为________分式，然后再加减. 2. 分式xy 2,y x +3,y x -4 的最简公分母是________. 3. 计算：222321xyz z xy yz x +-=_____________. 4. 计算：)1 1(1x x x x -+-=_____________. 5. 已知22y x M -=2222y x y xy --+y x y x +-,则M=____________. 6. 若（3－a ）2与|b －1|互为相反数，则b a -2 的值为____________. 7. 如果x ＜y ＜0，那么x x | |+xy xy | |化简结果为____________. 8. 化简y x y x --2 2 的结果为____________. 9. 计算22+-x x －22 -+x x =____________. 二、判断正误并改正: (每小题4分,共16分) 1. a b a b a a b a a b a --+=--+=0（ ） 2. 11 )1(1 )1(1)1()1(1)1(22222-=--=---=-+-x x x x x x x x x （ ） 3. )(21 21 21 2222y x y x +=+（ ） 4.222b a c b a c b a c +=-++（ ） 三、认真选一选:(每小题4分,共8分) 1. 如果x ＞y ＞0,那么x y x y -++11的值是（ ） A.零 B.正数 C.负数 D.整数
(完整word版)苏教版八年级数学下册分式测试题
八年级数学下册《分式》综合讲解 姓名： 班级： 学校： 一、选择题：（每小题2分，共20分） 1．下列各式： 2b a -，x x 3+，πy +5，()1432+x ，b a b a -+，)(1y x m -中，是分式的共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2．下列判断中，正确的是（ ） A ．分式的分子中一定含有字母 B ．当B ＝0时，分式 B A 无意义 C ．当A ＝0时，分式 B A 的值为0（A 、B 为整式） D ．分数一定是分式 3．下列各式正确的是（ ） A ．11++=++b a x b x a B ．22x y x y = C ．()0,≠=a ma na m n D ．a m a n m n --= 4．下列各分式中，最简分式是（ ） A ．()()y x y x +-8534 B ．y x x y +-22 C ．222 2xy y x y x ++ D ．() 222y x y x +- 5．化简2 293m m m --的结果是（ ） A.3+m m B.3+-m m C.3-m m D.m m -3 6．若把分式 xy y x 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A ．扩大3倍 B ．不变 C ．缩小3倍 D ．缩小6倍 7．A 、B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆 流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水 中的速度为x 千米/时，则可列方程（ ） A ．9448448=-++x x B ．9448448=-++x x C ．9448=+x D ．94 96496=-++x x 8．已知230.5 x y z ==，则32x y z x y z +--+的值是（ ） A ．17 B.7 C.1 D.13 9．一轮船从A 地到B 地需7天，而从B 地到A 地只需5天，则一竹排从B 地漂到A 地需 要的天数是（ ） A ．12 B.35 C.24 D.47 10．已知226a b ab +=，且0a b >>，则a b a b +-的值为（ ） A ．2 B ．2± C ．2 D ．2± 二、填空题：（每小题3分，共24分） 11．分式392--x x 当x _________时分式的值为零，当x ________时,分式x x 2121-+有意义． 12．利用分式的基本性质填空： （1）())0(,10 53≠=a axy xy a （2）() 1422=-+a a 13．分式方程1 111112-=+--x x x 去分母时，两边都乘以 ．
新人教版八年级数学分式典型例题(供参考)
分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹22 2xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3 y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145b -+. 2、分式有，无意义，总有意义： 例1：当x 时，分式 51 -x 有意义； 例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。 例4：当x 时，分式1 2+x x 有意义 例5：x ，y 满足关系 时，分式 x y x y -+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7：使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2 分式的混合专题练习 3234)1(x y y x ? x y xy 22 63)3(÷ a a a a 21 22)2(2+? -+ 41441)4(222--÷+--a a a a a 5、x y x y x y -+- 6、a a a 31211++ 7、4 )223(2 -÷+-+x x x x x x 8、44212-+-m m 9、423)231(--÷--m m m 10、2 2 22x xy y xy xy y x ---- 11、224+--a a 12、112+-+x x x 13、1 )111(-÷ -+-a a a a a 14、 1 1 12112--+--x x x 15、m m -+-329122 16、a+2－a -24 17、2 2221106532x y x y y x ÷? 18、ac a c bc c b ab b a -+-++ 19、2 22 24421y xy x y x y x y x ++-÷ +-- 20、224)2222(x x x x x x -?-+-+- 21、262--x x ÷ 443 2+--x x x 22、 1?? ? ???÷ ÷a b b a b a 324923 23、m n n n m m m n n m -+-+--2 24、1 111-÷? ?? ??--x x x 25、( ﹣)÷ 26、( 22+--x x x x )2 4-÷x x ; 27、??? ? ??++÷--ab b a b a b a 22222 28、??? ??--+÷--13112x x x x 。 29、、() 2 211n m m n m n -??? ? ??-÷??? ??+; 30、16842 2+--x x x x ,其中x =5、 31、已知2 1)2)(1(12++-=+-+x B x A x x x ,求A 、 B 的值。 32、先化简,再求值2 2 )11(y xy y x y y x -÷-++,其中2-=x ,1=y 、 33、3,3 2 ,1)()2(2 22222-==+--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中 八年级数学下册《分式》测试题 一、填空题：（每小题2分，共26分） 1、分式3 92--x x 当x __________时分式的值为零。 2、当≠x 时，分式 x -13有意义。当________________x 时，分式8x 32x +-无意义； 3、①())0(,10 53≠=a axy xy a ②() 1422=-+a a 。 4、约分：①=b a a b 2205__________，②=+--96922x x x __________。 5、若分式231 --x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。 6、已知a+b=5， ab=3，则 =+b a 11_______。 7、一项工程，甲单独做x 小时完成，乙单独做y 小时完成，则两人一起完成这项工程需要__________小时。 8、要使2415--x x 与的值相等，则x =__________。 9、若关于x 的分式方3 132--=-x m x x 无解，则m 的值为__________。 10、已知a ＋ a 1＝6，则（a －a 1）2 = 。 11．用科学记数法表示：－0.00002005＝ ． 12.已知311=-y x ，则分式y xy x y xy x ---+2232的值为 ． 13. 计算： a b b b a a -+-＝ ． 二、选择题：（每小题3分，共30分） 1、下列各式y x +15、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、6 5xy ：其中分式共有（ ) 个。 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 2、下列判断中，正确的是（ ） A 、分式的分子中一定含有字母 B 、当B=0时，分式B A 无意义 C 、分式B A 的值为0,则A=0或 B ＝0即可 D 、分数一定是分式 3、下列各式正确的是（ ） A 、11++=++b a x b x a B 、22x y x y = C 、()0,≠=a ma na m n D 、a m a n m n --= 4、下列各分式中，最简分式是（ ） A 、()()y x y x +-8534 B 、y x x y +-2 2 C 、2222xy y x y x ++ D 、() 222y x y x +- 5、关于x 的方程4 332=-+x a ax 的解为x=1,则a=（ ） A 、1 B 、3 C 、－1 D 、－3 6、小明通常上学时走上坡路，通常的速度为m 千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的速度为n 千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）千米/时 A 、2n m + B 、 n m mn + C 、 n m mn +2 D 、mn n m + 7、若把分式 xy y x 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 、扩大3倍 B 、不变 C 、缩小3倍 D 、缩小6倍 8、若0≠-=y x xy ，则分式 =-x y 11（ ） A 、xy 1 B 、x y - C 、1 D 、－1 9、A 、B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则可列方程（ ） A 、9448448=-++x x B 、9448448=-++x x C 9448=+x D 94 96496=-++x x 第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?= ,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义 2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。 【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x （2）4 2||2--x x 一、分式方程计算： （1） 21)2(11+-?+÷-x x x x （2）32232)()2(b a c ab ---÷ （3）2323()2()a a a ÷- （4）0142)3()101( )2()21(-++-----π （5）222)()()(b a a b ab ab b a b a b -?-+-÷- （6 ）(3103124π--????-?-÷ ? ????? （7）2211y x xy y x y x -÷???? ??++- 二、分式方程 1、（1）3513+=+x x ； （2) 11322x x x -+=--- (4)512552x x x =--- (5) 25231x x x x +=++. （6） （7） （8） 三、1、先化简，再求值)1121(1 222+---÷--x x x x x x ，其中31-=x 1 211422+=+--x x x x x 233321122--=++-x x x x x x x x 231392---++ 2、若使 互为倒数，求x 的值。 3、若分式方程 3234=++x m mx 的解为1=x ，求m 的值。 2 3223+---x x x x 与 四、二元一次方程组 解方程组： 五、可化为一元二次方程的分式方程、二元二次方程组 56556--=--x x x 22(1)(5)2511 x y x y ?++-=?+=? 226232x x x x +---=0 |a + b + 7| + a 2b 2–10ab + 25＝0 2123x x x ++-+2226x x x -+-=2632x x x --+ 第十六章分式练习题 一、选择题： 1、下列式子：,,1,1,32,32π n m b a a b a x x --++ 中是分式的有（ ）个 A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 2、下列等式从左到右的变形正确的是（ ） A 、11++=a b a b B 、22a b a b = C 、b a b ab =2 D 、am bm a b = 3、下列分式中是最简分式的是（ ） A 、a 24 B 、112+-m m C 、1 22+m D 、m m --11 4、下列计算正确的是（ ） A 、m n n m =? ÷1 B 、111=÷?÷m m m m C 、1134=÷÷m m m D 、n n m n 1=?÷ 5、计算32)32()23(m n n m ?-的结果是（ ） A 、m n 3 B 、m n 3- C 、m n 32 D 、m n 32- 6、计算y x y y x x ---的结果是（ ） A 、1 B 、0 C 、 y x xy - D 、y x y x -+ 7、化简n m m n m --+2 的结果是（ ） A 、n m B 、n m m --2 C 、n m n --2 D 、m n - 8、下列计算正确的是（ ） A 、1)1(0-=- B 、1) 1(1=-- C 、2233a a =- D 、235)()(a a a =-÷-- 9、如果关于x 的方程8778=----x k x x 无解，那么k 的值应为（ ） A 、1 B 、-1 C 、1± D 、9 10、甲、乙两人做某一工程，如果两人合作，6天可以完成，如果单独工作，甲比乙少用5天，两人单独工作各需多少天完成？设乙单独工作x 天完成，则根据题意列出的方程是（ ） A 、61511=++x x B 、61511=-+x x C 、61511=--x x D 、6 1511=+-x x 二、填空题： 11、分式a a -2，当a______时，分式的值为0；当a______时，分式无意义，当a______时，分式有意义 15 ． 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1．了解分式的概念，知道分式与整式的区别和联系． 2．了解分式有意义的含义，会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件． 3．理解分式的值为零、为正、为负时，分子分母应具备的条件． 教学重点 分式的意义． 教学难点 准确理解分式的意义，明确分母不得为零． 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者：) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h，它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间， 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等．江水的流速是多少？ 提示：顺流速度＝水速＋静水中的速度；逆流速度＝静水中的速度－水速． ● 自主学习指向目标 1．自学教材第 127 至 128 页． 2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分． 三、合作探究，达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一：阅读教材思考问题：式子a ，S以及式 子20＋ v 和 20－ v 有什么共同特点？它们与 分数有什么相同点和不同点？ 展示点评：如果 A，B 表示两个 ________( 整式 ) ，并且 B 中含有 ________( 字母 ) ，那么式A 子B叫做分式． 小组讨论：如何判断一个式子是否为分式？分式与整式有什么区别？ 反思小结： 判断一个式子是否为分式，可根据：①具有分数的形式；②分子、分母都是整式；③分母中含有字母，分式与整式的区别在于：分式的分母中含有字母，而整式的分母中不含字母． 针对训练： 见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二： (1) 当 x ≠0时，分式 2 有意义； 3x (2) 当 x ≠1时，分式 x 有意义；x － 1 5 1 (3) 当 b ≠3时，分式 5－ 3b 有意义； x ＋ y (4)x ， y 满足 __x ≠y __时，分式 x － y 有意义． 展示点评： 教师示范解答的一般步骤，强调分母不为零． 小组讨论： 归纳分式有意义的条件． 反思小结： 对于任何分式，分母均不能为零，即当分母不为零时，分式有意义；反之，分母为零时，分式无意义． 针对训练： 见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．知识小结—— (1) 学习了分式， 知道了分式与分数的区别． (2) 知道了分式有意义和值 为零的条件． 2．思想方法小结——类比、转化等数学思想． 五、达标检测，反思目标 2 x ＋ y 1 x 1．下列各式① x ，② 5 ，③ 2－ a ，④ π－ 1中，是分式的有 ( C ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 2．当 x 为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是( C ) x － 1 x ＋ 1 x － 1 x － 1 A. x 2 B. x 2－ 1 C. x 2＋1 D. x ＋ 2 3．某食堂有煤 m t ，原计划每天烧煤 a t ，现每天节约用煤 b(b 专题 分式及其运算 ?解读考点 ?2年中考 【2015年题组】 1．（2015常州）要使分式23 -x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A．2 x> B．2 x< C．2 x≠- D．2 x≠ 【答案】D． 【解析】 试题分析：要使分式2 3 - x有意义，须有20 x-≠，即2 x≠，故选D． 考点：分式有意义的条件． 2．（2015济南）化简 29 33 m m m - --的结果是（） A．3 m+ B．3 m- C． 3 3 m m - + D． 3 3 m m + - 【答案】A． 考点：分式的加减法． 3．（2015百色）化简22 26 24 x x x x x - - +-的结果为（） A．2 1 4 x- B．2 1 2 x x + C． 1 2 x- D． 6 2 x x - - 【答案】C． 【解析】 试题分析：原式= 26 2(2)(2) x x x x - - ++-= 2(2)(6) (2)(2) x x x x --- +-= 2 (2)(2) x x x + +-= 1 2 x-．故选C． 考点：分式的加减法． 4．（2015甘南州）在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（） A． 1 3 B． 2 3 C． 1 6 D． 3 4 【答案】B． 【解析】 试题分析：分母含有字母的式子是分式，整式a+1，a+2，2中，抽到a+1，a+2做分母时组成的都是分式，共有3×2=6种情况，其中a+1，a+2为分母的情况有 4种，所以能组成分式的概率= 4 6= 2 3．故选B． 考点：1．概率公式；2．分式的定义；3．综合题． 5．（2015龙岩）已知点P（a，b）是反比例函数 1 y x = 图象上异于点（﹣1，﹣1）的一个动点，则 11 11 a b + ++=（） A．2 B．1 C． 3 2 D． 1 2 【答案】B． 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．分式的化简求值；3．条件求值．6．（2015山西省）化简 22 22 2 a a b b b a b a b ++ - --的结果是（） A． a a b - B． b a b - C． a a b + D． b a b + 【答案】A． 【解析】 试题分析：原式= 2 () ()() a b b a b a b a b + - +--= a b b a b a b + - --= a b b a b +- -= a a b -，故选A． 考点：分式的加减法． 7．（2015泰安）化简： 341 ()(1) 32 a a a a - +- --的结果等于（） A．2 a- B．2 a+ C． 2 3 a a - - D． 3 2 a a - - 【答案】B． 【解析】 试题分析：原式 授课内容: 分式的加减法 教学目标： 1、掌握同分母分式的加减运算法则，会进行同分母分式的加减运算. 2、理解通分的概念，能对异分母的分式进行通分. 3、掌握异分母分式的加减运算法则，会进行异分母分式的加减运算. 4、会进行分式的混合运算. 教学重难点：通分 授课内容: 1、同分母分式的加减（这是重点） 法则： 同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减. 用式子可以表示为： c b a c b c a ±=± 注意：同分母分式的加减运算法则和分数的加减运算法则在实质上是相同的，但分式的分子常常是一个多项式，“把分子相加减”就是把各个分式的“分子整体”相加减，各分子都应加括号，尤其是相减时，要注意避免符号错误，分子相加减的实质就是整式的加减.最后结果要求是最简分式. 2、通分（这是重点、难点） 根据分式的基本性质，异分母的分式可化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母. 确定最简公分母的方法： 先对分式的分母进行分解因式，如果分母中含有相同字母，则取相同字母的最高次幂作为最简公分母的一个因式，如果只在一个分母中出现的字母，则连同它的指数作为最简公分母的一个因式. 举例说明： ab a 3,22 最简公分母：b a 2. 16 24,432--x x 最简公分母： （x+4）（x －4） 3、异分母分式的加减（这是重点、难点） 法则： 异分母分式相加减，先通分化为同分母的分式，然后再加减. 注意：异分母分式的加减必须转化为同分母分式的加减，然后按照同分母分式加减法的法则进行计算，转化的关键是通分.异分母分式的加减运算综合性较强，运算时要用到前面的一系列知识，如整式的四则运算、因式分解、约分、通分等. 其一般步骤为： ①通分：将异分母的分式化成同分母的分式； ②写成“分母不变，分子相加减”的形式； ③分子去括号，合并同类项； ④分子、分母约分，将结果化成最简分式的形式. 16．2分式的运算 第1课时 课前自主练 1．计算下列各题： （1）3 2 × 1 6 =______；（2） 3 5 ÷ 4 5 =_______；（3）3a·16ab=________； （4）（a+b）·4a b2=________；（5）（2a+3b）（a-b）=_________．2．把下列各式化为最简分式： （1） 2 2 16 816 a a a - -+ =_________；（2） 22 22 () () x y z x y z -- +- =_________． 3．分数的乘法法则为_____________________________________________________； 分数的除法法则为_____________________________________________________．4．分式的乘法法则为____________________________________________________； 分式的除法法则为____________________________________________________．课中合作练 题型1：分式的乘法运算 5．（技能题） 2 2 3 4 xy z ·（- 2 8z y ）等于（） A．6xyz B．- 23 38 4 xy z yz - C．-6xyz D．6x2yz 6．（技能题）计算： 2 3 x x + - · 2 2 69 4 x x x -+ - ． 题型2：分式的除法运算 7．（技能题） 2 2 ab cd ÷ 3 4 ax cd - 等于（） A． 2 2 3 b x B． 3 2 b2x C．- 2 2 3 b x D．- 22 22 3 8 a b x c d 8．（技能题）计算： 2 3 a a - + ÷ 2 2 4 69 a a a - ++ ． 课后系统练 16.3.1 分式方程 同步测试 ◆知能点分类训练 知能点1 分式方程 1．下列方程中分式方程有（ ）个． 2D 34 （3）22122563 x x x x x x x --=--+-。 5．解下列分式方程: 6 7．解下列关于x 的方程: （1）1(1);(2) 1 a m n b b x a x x +=≠- -+=0（m ≠0）． 8．解方程：2155 ()14x x x x ---= ． 9 11．a 为何值时，关于x 的方程223 242 ax x x x += --+会产生错误？ 12．已知分式方程21 x a x +-=1的解为非负数，求a 的取值范围． ， ， ． （3）根据上面的规律，可将关于x 的方程2221 111 x x a x a -+=-+--变形为_______，方程的解是_________，?解决这个问题的数学思想是_________． ◆中考真题实战 14．解方程：31144x x x --=--; 15．解方程：54 1x x -+=0． 14．解：（1）方程两边同乘以x-2，得2x=x-2， 解得x=-2．经检验，x=-2是原方程的解． （2）方程两边同乘以x （x+1），得（x+1）2+5x 2=6x （x+1），即x 2+2x+1+5x 2=6x 2+6x ， 解得x=1 4．经检验，x=14 是原方程的解． （3）方程两边同乘以（x-2）（x-3）， 得x（x-3）-（1-x2）=2x（x-2）， 解得x=1．经检验，x=1是原方程的解． 5．解：（1）方程两边同乘以（x-1）（x+1），得 （x+1）2-4=x2-1，化简得2x-2=0，∴x=1． 6 ） ∴原方程的解为x=7． =1-b， 7．解：（1）移项：a - x a 去分母：a=（1-b）（x-a）， 去括号：a=（1-b）x-a（1-b）， 第15章《分 式》 同步练习 （§ 分式的运算） 班级 学号 姓名 得分 一、选择题 1．(河南)一种花瓣的花粉颗粒直径约为 006 5米， 006 5用科学记数法表示为( )． A ．×10－5 B ．×10－6 C ．×10－7 D ．65×10－6 2．(山东淄博)化简2221121 a a a a a a +-÷--+的结果是( )． A ．1a B ．a C ． 1 1 a a +- D ． 1 1 a a -+ 3．化简：2 3 32x y xz yz z y x ?? ???? ?? ? ? ??? ????等于( )． A ．23 2y z x B ．xy 4z 2 C ．xy 4z 4 D ．y 5z 4．计算 37444x x y y x y y x x y ++----得( )． A ．264x y x y +- - B ． 264x y x y +- C ．－2 D ．2 5．化简111a ??+ ?-? ?÷2 21 a a a -+的结果是( )． A ．a ＋1 B ．11 a - C ． 1 a a - D ．a －1 6．下列运算中，计算正确的是( )． (A) ) (212121b a b a +=+ (B)ac b c b a b 2= + (C)a a c a c 1 1=+- (D) 01 1=-+-a b b α 7．a b a b a -++2 的结果是( )． (A)a 2- (B)a 4 (C)b a b --2 (D) a b - 8．化简2 2)11(y x xy y x -? -的结果是( )． (A) y x +1 (B)y x +- 1 (C)x －y (D)y －x 二、填空题 八年级数学下册分式单元测试题 一、精心选一选（每小题3分，共24分） 1．计算223)3(a a ÷-的结果是（ ） （A ）49a - （B ）46a （C ）39a （D ）49a 2．下列算式结果是－3的是（ ） （A ）1)3(-- （B ）0)3(- （C ）)3(-- （D ）|3|-- 4．下列算式中，你认为正确的是( ) A ． 1-=---a b a b a b B 。11=?÷b a a b C ． D ． b a b a b a b a +=--?+1) (1222 5．计算??? ? ??-÷???? ??-?24382342y x y x y x 的结果是（ ） （A ）x 3- （B ）x 3 （C ）x 12- （D ）x 12 6．如果x ＞y ＞0，那么x y x y -++11的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）负数 （D ）不能确定 7．如果m 为整数，那么使分式 13++m m 的值为整数的m 的值有（ ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 8．已知1 22432+--=--+x B x A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（ ） （A ）7 （B ）9 （C ）13 （D ）5 二、细心填一填（每小题3分，共30分） 9．计算：－1 6-＝ ． 10．用科学记数法表示：－0.00002004＝ ． 11．如果32=b a ，那么=+b a a ____ ． 12．计算： a b b b a a -+-＝ ． 13．已知31=-a a ，那么221a a +＝ ． 14．一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u ，像距v 和凸透镜的焦距f 满足关系式：1u ＋1v ＝1f . 若f ＝6厘米，v ＝8厘米，则物距u ＝ 厘米. 15．若54145=----x x x 有增根，则增根为___________． 第15章 分式复习学案（一） 教学年级：八年级 一、教学目标： 1、能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想。 2、经历“实际问题—分式方程模型—求解—解释解的合理性”的过程 。 3、发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识。 二、重点、难点： 1．重点：能将实际问题中的等量关系用分式方程表示、分式方程概念 2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是 原方程的增根. 三、教学方法：讲解法、探究法 四、教具准备：练习纸 五、教学过程： 一、知识回顾： 2、分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以(或除以)_______________ .分式的值________. 用式子表示: ___________ 3、通分关键是找____________________,约分与通分的依据都是:______________________ 4、有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg 和15000kg 。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg ，分别求这两块试验田每公顷的产量。 1)你能找出这一问题中的等量关系吗？ （1）第一块试验田每公顷的产量+3000kg=第二块试验田每公顷的产量 （2）第一块试验田的面积=第二块试验田的面积 （3）土地面积 总产量每公顷的产量 2)如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg ，那么第二块试验田每公顷的产量是 （ ）kg 。第一块试验田的面积为（ ），第二块试验田的面积 为（ ）。 3)根据题意，可得方程：（ ） 二、知识应用 1、当x ＝________时，分式3 1－x 没有意义． 2、一种病菌的直径为0.0000036m ，用科学记数法表示为 . 3. 分式bx ax 1,1的最简公分母为 . 4. 化简=-32224m n m . 5. 在括号内填入适当的单项式,使等式成立:22)(1xy xy = 6. 计算0 22005121??? ??--??? ??--= . 7、某班a 名同学参加植树活动，其中男生b 名(b 授课教案 学员姓名：_____ 授课教师：陈列_____ 所授科目：数学_____ 学员年级：八年级 上课时间_2013_年_03_月_09_日_13_时_00_分至_16_时00分共_3_小时 教学标题 分式的运算与反比例函数的概念 教学目标 掌握分式的运算性质，理解反比例函数的概念 教学重难点 分式的加减法、整数指数幂、反比例函数的图像与性质 上次作业检查 一、 分式的乘除法运算 1、分式乘除法性质 （1）乘法法则：分式乘分式 ，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。即： bd ac = （2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； 用式子表示为：bc ad c d b a d c b a =?=÷ 2.分式的乘方 1.分式乘方法则用式子表示是：()n n n a a b b = (n 是正整数,b ≠0) 注意：分式乘方要把分子分母分别乘方； 2.()[(1)*](1)()(1)n n n n n n n a a a a b b b b -=-=-=- 3.分式乘除,乘方混合运算时,要先乘方,再化除为乘,最后进行约分并把结果化成最简 分式或整式。 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． 二、分式的加减法运算 1、同分母分式的加减法法则：分母不变，把分子相加减．表示为 b c a b c b a ±=±。 注意：同分母分数的加减法法则是与同分母分式的加减法法则基本上是一致的，其中只有一 字之差，一个是数，一个是式． 2、异分母分式的加减法法则：先通分．变为同分母的分式后再加减．表示为： bd bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=±。 3、整数指数幂的性质 1）、当m,n 是正整数时， （1）a m ·a n ＝a n m +； （2）（a m ）n ＝a mn ； （3）（ab ）n ＝a n b n ． 第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1八年级数学上册分式混合计算专题练习80题
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