南京市金陵中学高一数学同步辅导教材[整理]

南京市金陵中学高一数学同步辅导教材一、本讲教学进度

1．5（P23-24）

二、本讲内容

1．一元二次不等式>和<的解法.

2．可化为一元一次不等式组的分式不等式.

3．二次函数在给定范围内的最值.

三、重点、难点选讲

1．一元二次不等式>和<的解法.

⑴因一元二次方程的两个根是，故有

一元二次不等式>，(<)的解集为<，或>.

一元二次不等式<，(<)的解集为<<.

⑵引用上述结论时，必须注意不等式右边为零，两个括号中的系数为1的条件.

例1解不等式：

⑴≤；

⑵>；

⑶≤.

解：⑴原不等式即≤，

整理得≥，

≥.

∴不等式的解集为≤，或≥.

⑵∵≥,

∴由，得不是原不等式的解.

当，得>，

即<，<<.

∴原不等式的解集为<<，且.

⑶∵>,

∴原不等式与≤同解，

∴原不等式的解集为≤≤.

评析第⑵题中，因≥，故只需考虑是否满足不等式，就可以在原不等式中将

除去.

例2解关于的不等式：>（,R）.

解：原不等式可化为<.

.

⑴>时，>，∴不等式的解集是<<.

⑵当时，，∴不等式的解集是.

⑶当<<时，<，∴不等式的解集是.

⑷当<<时，>，∴不等式的解集是

⑸当时，，∴不等式的解集是.

⑹当<时，<，∴不等式的解集是.

2．可化为一元一次不等式组的分式不等式

⑴不等式>与二次不等式>同解；不等式<与二次不等式

<同解.

⑵不等式≥的解集是不等式>的解集与集合的并集；不等式

≤的解集是不等式<的解集与集合的并集.

例3解不等式：

⑴≥；⑵≥.

解：(1)原不等式等价于≤.

∴不等式的解集是

=

(2)原不等式等价于.

∴不等式的解集是

评析：对带有等号的不等式求解，可以在相应的不含等号的不等式的解集中，增加使分子等于零的值，就得到所求解集.

例4：求不等式的解集.

①等价.

解：不等式与不等式组

,②

由①，,

∴

由②，，

∴.

∴原不等式的解集是

评析：（1）解时，因不能确定的符号，所以不能把不等式两边同乘以而去分母，只能采用移项、通分的方法求解.

（2）本题也可以分两种情况考虑，①若>0，则-1<恒成立，由2，.②若<0，

则2恒成立.∵->0，∴将-1<两边同乘以-.得<-1，由①、②可得原不等式的解集是

<,或≥.

例5 已知集合，，

且,.求实数a,b的值.

解：由已知，得,

.

由A，从数轴可得集合B又

和2是的实数根.

3. 二次函数在给定范围内的最值

由图像可以看出，二次函数当相应的抛物线开口向上时，在抛物线顶点处二次函数取得最小值，但无最大值；当抛物线开口向下时，在抛物线顶点处二次函数取得最大值，但无最小值.

如果将二次函数的自变量限制在某个范围内，则相应的图象仅是抛物线的一部分，这时函数可能既有最大值，又有最小值例6已

知函数,

(1) 当时，求的最大值、最小值；

(2) 当时，求的最大值、最小值；

(3) 当时，求的最大值、最小值；

解：函数即,抛物线的对称轴为直线. (1)当时，

由图象知，

当时，

当时，

(2)当时，

由图象知,

当时，

当时，

(3)当时，

由图象知,

当时，

当时，

评析(1)此类问题通常根据题设条件画出函数的图象,并由图象求解.

(2)一般情况下,需要说明当x取什么值时, 函数取大或最小值. 例7已知函数求:

(1) 当时，函数的最值;

(2) 当时，函数的最值;

解：函数即抛物线和对称轴为直线

(1) 当时，

由图象知,

当时，

函数无最大值.

(2) 当时，

由图象知,

当时，

函数无最大值.

评析（1）最大值、最小值统称最值.

（2）根据题设条件画图象时，要注意表示x范围的不等式

中是否包含等号.当含等号时，相应的端点在图象上应画实圈；不含

等号时，相应的端点不在图象上，应画空圈.

例8 求函数的最小值。

解：由题设，知令则

由图象知，

当即时，

例9关于的方程有两个实根

（1）求k的取值范围；

（2）设求关于k的函数解析式，以及这个函数的最大值和最小值。解：（1）由题意得

整理得

（2）由韦达定理，

∴

由图像可知，当时，，

当时，.

例10已知函数，在内有最大值-5，求实数值. 解：函数变形为.下面根据的不同情况进行讨论. （1）当即时，由图(1)知，

当时, 取最大值

令得

(2) 当即时，由图(2)知，

当时, 取最大值

令

(3) 当即时，由图(3)知，

当时, 取最大值

令(舍去)，

∴由上知，或

评析对分情况讨论的根据是与的关系。

练习; 一、选择题

1．不等式的解集是（）

A．

C．D

2．不等式（x-4）(x+2)的解集是（）

A． B.

C.D

3. 不等式的解集是（）

A．B

C．D

4．不等式的解集是（）

A．B

C．D

5．当时，若函数的最大值为M，最小值为N，则（）

A．M=7，N=6 B.M=6,N=-2

C. M=7,N=-2

D.M=-6,N=-7

6.已知函数则下列结论中不正确的是（）

A．当时，有最大值3

B. 当时，有最小值-15

C. 当时，无最大值也无最小值

D. 当时，函数有最小值-5

二、填空题

7．不等式的解集是____________________________.

8.不等式的解集是____________________________.

9．设集合A=则实数的取值范围是_____________.

10．10．当时，函数有最小值-2，则t= ______________.

三、解答题

11．解不等式：

12．设集合A=

若实数a的取值范围。

13．关于x的不等式对一切x恒成立，求k的取值范围.

14．关于x的方程的两个实数，满足求:

（1）实数q关于p的函数表达式；

（2）这个函数的最大值和最小值.

答案与提示

【答案】

一、1．B2．C3．D4．A5．C6．D

二、7．8．

9．10．

三、11．解集为，或≥

12．≤≤

13．

14．⑴≤≤

⑵当，；当，

【提示】

一、4．

5．，当，；当，

6．

二、7．，，

8．≤，，且≤，解集是≤≤，且

9．，由数轴及可知

10．≤≤，抛物线的对称轴为直线.

⑴当≤≤时，的最小值∴.

⑵当，由图像知，时，（不合）.∴三、11．≥，≥，∴解集是，或≥

12．，，∴.

当.当，当.

由知，≤≤.

13．原不等式即-.

∵，

∴原不等式等价于

不等式组

即,①.②

由①对R恒成立，，，

.

由②对R恒成立，，，.

∴的取值范围是.

14．.

（1）由韦达定理，，

∵，∴，

.∵、为实根，∴≥，

即≥，≤2，≤≤，

∴≤≤.

（2）当时，；当时，